Kurs:Algebraische Kurven/11/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 0 }
\renewcommand{\avier}{ 3 }
\renewcommand{\afuenf}{ 4 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 0 }
\renewcommand{\aacht}{ 12 }
\renewcommand{\aneun}{ 0 }
\renewcommand{\azehn}{ 3 }
\renewcommand{\aelf}{ 3 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 2 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 2 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 5 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 50 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{K}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungsechs{Das \stichwort {Radikal} {} zu einem
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
\mathl{{\mathfrak a} \subseteq R}{} in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$.
}{Ein \stichwort {Kegelschnitt} {.}
}{Die \stichwort {Lokalisierung} {} eines kommutativen Ringes $R$ an einem \definitionsverweis {Primideal}{}{} ${\mathfrak p}$.
}{Die \stichwort {Normalisierung} {} zu einem kommutativen Monoid $M$.
}{Die
\stichwort {Homogenisierung} {}
zu einem Ideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ = }{ K[X_1 , \ldots , X_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Eine \stichwort {projektive} {} Varietät. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die Stetigkeit der Spektrumsabbildung.}{Der Satz über die universelle Eigenschaft der Monoidringe.}{Der Satz über die Glattheit und Normalität einer ebenen Kurve.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3 (1+1+1)}
{
\aufzaehlungdrei{Ist das \definitionsverweis {Bild}{}{} der Funktion \maabbeledisp {} {\R} {\R^2 } {t} { \left( e^t , \, e^t \right) } {,} eine \definitionsverweis {algebraische Kurve}{}{?} }{Ist das Bild der Funktion \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C}^2 } {z} { \left( e^z , \, e^z \right) } {,} eine algebraische Kurve? }{Ist das Bild der Funktion \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C}^2 } {z} { \left( e^z , \, e^z \right) } {,} \anfuehrung{isomorph}{} zu einer algebraischen Kurve? }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte von
\mathl{V(X^2+Y^2-1)}{} und
\mathl{V(Y-2X^2+2)}{} in
\mathl{{\mathbb A}^{2}_{{\mathbb C}}}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Beweise den Satz über den Zariski-Abschluss zu einer Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{12 (3+5+3+1)}
{
Es seien
\mathl{R_1, R_2 , \ldots , R_n}{}
\definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{}
und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ =} { R_1 \times R_2 \times \cdots \times R_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Produktring}{}{.}
\aufzaehlungvier{Es seien
\mathdisp {I_1 \subseteq R_1, I_2 \subseteq R_2 , \ldots , I_n \subseteq R_n} { }
\definitionsverweis {Ideale}{}{.}
Zeige, dass die Produktmenge
\mathdisp {I_1 \times I_2 \times \cdots \times I_n} { }
ein Ideal in $R$ ist.
}{Zeige, dass jedes Ideal
\mathl{I \subseteq R}{} die Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{I
}
{ =} {
I_1 \times I_2 \times \cdots \times I_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit Idealen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I_j
}
{ \subseteq }{ R_j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besitzt.
}{Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{I
}
{ =} { I_1 \times I_2 \times \cdots \times I_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein Ideal in $R$. Zeige, dass $I$ genau dann ein Hauptideal ist, wenn sämtliche $I_j$ Hauptideale sind.
}{Zeige, dass $R$ genau dann ein
\definitionsverweis {Hauptidealring}{}{}
ist, wenn alle $R_j$ Hauptidealringe sind.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3 (1+1+1)}
{
Wir betrachten die beiden Kurven
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C
}
{ = }{ V(Y)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ = }{ V(Y-X^2)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$.
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass der
\definitionsverweis {affine Koordinatenring}{}{}
von $C$ und auch der von $D$ in natürlicher Weise gleich
\mathl{K[X]}{} ist.
}{Bestimme die
$K$-\definitionsverweis {Dimension}{}{}
des Restklassenringes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ K[X,Y]/(Y,Y-X^2)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
der den Durchschnitt der beiden Kurven beschreibt.
}{Zeige, dass es
\definitionsverweis {Einheiten}{}{}
in $R$ gibt, die man nicht als ein Produkt von Einheiten schreiben kann, die von den beiden Koordinantenringen herrühren.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C
}
{ \subseteq }{\R^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das
\definitionsverweis {Bild}{}{}
der
\definitionsverweis {Abbildung
}{}{}
\maabbeledisp {} {\R} {\R^3
} {t} { (t,t^2,t^3) = (x,y,z)
} {.}
Skizziere die Bilder von $C$ unter den
\definitionsverweis {Projektionen}{}{}
auf die verschiedenen Koordinatenebenen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Man gebe ein Beispiel für einen \definitionsverweis {injektiven}{}{} \definitionsverweis {Monoidhomomorphismus}{}{} \maabb {} {M} {N } {} zwischen kommutativen \definitionsverweis {Monoiden}{}{} derart an, dass die zugehörige \definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{} nicht \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Ist die
\definitionsverweis {ebene projektive Kurve}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V_+ { \left( X^4+Z^3Y+Z^4 \right) }
}
{ \subset }{ {\mathbb P}^{2}_{{\mathbb C}}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
isomorph zum
\definitionsverweis {projektiven Abschluss}{}{}
einer
\definitionsverweis {monomialen Kurve}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $A$ eine kommutative
$R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
über einem kommutativen Ring $R$. Zu
\mathl{f \in A}{} bezeichne
\maabbeledisp {\mu_f} {A} {A
} {x} {fx
} {,}
die $R$-lineare Multiplikationsabbildung und zu zwei $R$-linearen Abbildungen
\maabbdisp {\varphi_1, \varphi_2} {A} {A
} {}
bezeichne
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ [\varphi_1,\varphi_2]
}
{ =} { \varphi_1 \circ \varphi_2-\varphi_2 \circ \varphi_1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es sei
\maabb {\delta} {A} {A
} {}
eine
$R$-\definitionsverweis {Derivation}{}{.}
Zeige, dass zu jedem
\mathl{g \in A}{} die Abbildung
\mathl{[\delta, \mu_g ]}{} eine Multiplikationsabbildung ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3 (1+1+1)}
{
Betrachte die affine Nullstellenmenge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ \defeq} {V { \left( X^2+Y^2+1 \right) }
}
{ \subseteq} { {\mathbb A}^{2}_{K}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über dem Körper
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{ \Z/(2)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit zwei Elementen.
\aufzaehlungdrei{Bestimme die Punkte von $V$.
}{Bestimme den
\definitionsverweis {projektiven Abschluss}{}{}
von $V$.
}{Zeige, dass der projektive Abschluss von $V$ nicht mit der projektiven Nullstellenmenge zur
\definitionsverweis {Homogenisierung}{}{}
von
\mathl{X^2+Y^2+1}{} übereinstimmt.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Beweise den Satz über die noethersche Normalisierung für projektive Kurven.
}
{} {}