Kurs:Algebraische Kurven/13/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 7 }
\renewcommand{\avier}{ 4 }
\renewcommand{\afuenf}{ 10 }
\renewcommand{\asechs}{ 5 }
\renewcommand{\asieben}{ 3 }
\renewcommand{\aacht}{ 0 }
\renewcommand{\aneun}{ 5 }
\renewcommand{\azehn}{ 2 }
\renewcommand{\aelf}{ 0 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 5 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 2 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 56 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellefuenfzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Der \stichwort {affine Raum} {.}
}{Eine
\stichwort {rationale Parametrisierung} {}
einer affin-algebraischen Kurve
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V(F)
}
{ \subseteq }{ {\mathbb A}^{2}_{}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Ein \stichwort {Morphismus} {} \maabb {{\psi}} {Y} {X } {} zwischen quasiaffinen Varietäten.
}{Ein \stichwort {lokaler} {} Ring.
}{Der
\stichwort {Singularitätsgrad} {}
zu einem
\definitionsverweis {numerischen Monoid}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \subseteq }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Das
\stichwort {Nullstellengebilde} {}
zu einem homogenen Ideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{ K[X_0 , \ldots , X_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die polynomiale Parametrisierung einer ebenen Kurve.}{Der Satz über die Überdeckung und das Einheitsideal.}{Der Satz über die Schnittmultiplizität und die Multiplizität.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7}
{
Beweise den Satz über irreduzible Teilmengen und Verschwindungsideale.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Wir betrachten die reelle algebraische Kurve
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C
}
{ =} {V { \left( Y^4-Y^2+X^2 \right) }
}
{ \subset} { \R^2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass durch
\maabbeledisp {} { [0,2 \pi [ } {C
} { \theta} { \left( \sin \theta \cos \theta , \, \sin \theta \right)
} {,}
eine Parametrisierung von $C$ gegeben ist, die surjektiv und abgesehen von einem Punktepaar injektiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{(10 (1+2+2+1+1+2+1)}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
Wir betrachten zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abbildung
\maabbeledisp {\varphi} {K^n} {K^n
} { \left( \lambda_1 , \, \lambda_2 , \, \ldots , \, \lambda_n \right) } { \left( c_0 , \, c_1 , \, \ldots , \, c_{n-1} \right)
} {,}
die einem Nullstellentupel
\mathl{\left( \lambda_1 , \, \lambda_2 , \, \ldots , \, \lambda_n \right)}{} das Koeffiziententupel
\mathl{\left( c_0 , \, c_1 , \, \ldots , \, c_{n-1} \right)}{}
\zusatzklammer {ohne die $1$} {} {}
des
\definitionsverweis {normierten Polynoms}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (X- \lambda_1) (X- \lambda_2) \cdots (X- \lambda_n)
}
{ =} { P
}
{ =} { c_0 +c_1X + \cdots + c_{n-1}X^{n-1} +X^n
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zuordnet.
\aufzaehlungsieben{Beschreibe $\varphi$ explizit für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Beschreibe $\varphi$ explizit für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Begründe, dass die $\varphi$
\definitionsverweis {polynomiale Abbildungen}{}{}
sind.
}{Zeige, dass die
\definitionsverweis {Fasern}{}{}
von $\varphi$ endlich sind.
}{Wann ist die Faser zu einem Tupel
\mathl{\left( c_0 , \, c_1 , \, \ldots , \, c_{n-1} \right)}{} leer?
}{Was ist die maximale Anzahl in einer Faser? Man gebe Beispiele, dass diese Maximalanzahl für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erreicht wird.
}{Es sei $K$ nun
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossen}{}{.}
Zeige, dass $\varphi$ surjektiv ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Beweise den Satz über den Koordinatenring des affinen Raumes.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {lokaler Ring}{}{} und ${\mathfrak a}$ ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} von $R$. Zeige, dass \maabbdisp {} { R^{\times} } { { \left( R/ {\mathfrak a} \right) }^{\times} } {} \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Beweise den Satz über die universelle Eigenschaft der Monoidringe.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es sei
\mathl{n \in \N_+}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \subseteq }{ \N \times \Z/(n)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Untermonoid}{}{.}
Zeige, dass
\mathl{m \in M}{} genau dann eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
ist, wenn $m$ aufgefasst in
\mathl{\N \times \Z/(n)}{} eine Einheit ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es sei $K$ ein Körper. Beweise die Produktregel für das formale Ableiten \maabbeledisp {D} {K[X]} {K[X] } {F} {F' } {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {ebene projektive Kurve}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V_+ { \left( XY^3+YZ^3+ZX^3 \right) }
}
{ \subset} { {\mathbb P}^{2}_{{\mathbb C}}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {glatt}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{,}
sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C
}
{ = }{ V_+ { \left( X^2+Y^2+Z^2 \right) }
}
{ \subset }{ {\mathbb P}^{2}_{K}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {C} { {\mathbb P}^{1}_{K}
} {}
der durch die
\definitionsverweis {Projektion weg vom Punkt}{}{}
\maabbeledisp {} { {\mathbb P}^{2}_{K} \setminus \{(1,0,0)\}} { {\mathbb P}^{1}_{K}
} {(x,y,z)} { (y,z)
} {,}
definierte
\definitionsverweis {Morphismus}{}{.}
Bestimme das Urbild des Punktes
\mathl{(3,5) \in {\mathbb P}^{1}_{K}}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Fixpunkte}{}{} der Abbildung \maabbeledisp {} { {\mathbb P}^{1}_{K} } { {\mathbb P}^{1}_{K} } {(s,t)} { (t,s) } {.}
}
{} {}