Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Vorlesung 24

Tangenten bei Parametrisierungen

Satz

Es sei ${}K$ ein unendlicher Körper und

$\varphi \colon {\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$

eine durch ${}n$ Polynome ${}\varphi =\left(\varphi _{1}(t),\,\ldots ,\,\varphi _{n}(t)\right)$ in einer Variablen gegebene Abbildung, deren Bild in der Kurve ${}C=V(F_{1},\ldots ,F_{m})$ liege. Es sei ${}P=\varphi (Q)\in C$.

Dann liegt der (Ableitungs)-Vektor ${}{\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial t}}(Q),\ldots ,{\frac {\partial \varphi _{n}}{\partial t}}(Q)\right)}$ im Kern der durch die Jacobi-Matrix

${\left({\frac {\partial F_{i}}{\partial X_{j}}}(P)\right)}_{ij}$

definierten linearen Tangentialabbildung

$(TF)_{P}\colon {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{m}}.$

Ist ${}n=2$ und verschwinden nicht beide partiellen Ableitungen von ${}\varphi$ und ist ${}P$ ein glatter Punkt von ${}C$, so definiert der Vektor ${}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial t}}(Q),\,{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial t}}(Q)\right)$ die Richtung der Tangente von ${}C$ in ${}P$.

Beweis

Wegen ${}\varphi {\left({\mathbb {A} }_{K}^{1}\right)}\subseteq V(F_{1},\ldots ,F_{m})$ ist die Hintereinanderschaltung ${}F\circ \varphi$ die konstante Abbildung auf den Nullpunkt. Über einem unendlichen Körper sind dann auch die beschreibenden Komponentenpolynome gleich ${}0$. Daher ist nach der (algebraischen) Kettenregel auch

${}0=(T(F\circ \varphi ))_{Q}=(TF)_{P}\circ (T\varphi )_{Q}\,,$

und das ist die Behauptung. Daraus folgt auch der Zusatz, da unter den angegebenen Bedingungen der Kern der Jacobi-Matrix und das Bild der Tangentialabbildung eindimensional sind, also wegen der Inklusion übereinstimmen müssen.

$\Box$

Beispiel

Es sei ${}K$ der endliche Körper mit ${}q=p^{e}$ Elementen, wobei ${}p$ eine Primzahl und ${}e\geq 1$ ist. Die Abbildung

${\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{2},\,t\longmapsto \left(t^{q}-t,\,t^{q}-t\right)$

besitzt den einzigen Bildpunkt ${}\left(0,\,0\right)$. Der formale Ableitungsvektor dieser Parametrisierung ist aber

$\left(-1,-1\right).$

Eine geometrisch konstante Kurve kann also in positiver Charakteristik eine nicht-verschwindende Ableitung besitzen. Der Nullpunkt ist ein glatter Punkt auf sämtlichen Geraden ${}C=V(aX+bY)$. Die Tangente stimmt mit der Geradengleichung überein, diese annulliert aber nur bei ${}a=-b$ den Vektor ${}\left(-1,-1\right)$. In Satz 24.1 kann man also nicht auf die Unendlichkeitsvoraussetzung verzichten.

Beispiel

Wir knüpfen an Beispiel 6.3 an, d.h. wir betrachten die Kurve ${}V(y^{2}-x^{2}-x^{3})$ mit der Parametrisierung

${}(\varphi (t),\psi (t))=\left(t^{2}-1,\,t{\left(t^{2}-1\right)}\right)=(x,y)\,.$

Die partiellen Ableitungen von ${}F$ sind

${\frac {\partial F}{\partial x}}=-2x-3x^{2}{\text{ und }}{\frac {\partial F}{\partial y}}=2y.$

Die Jacobi-Matrix der Parametrisierung ist

${}{\left({\frac {\partial \varphi }{\partial t}},{\frac {\partial \psi }{\partial t}}\right)}=\left(2t,\,3t^{2}-1\right)\,.$

Damit ist in der Tat (mit $P=(\varphi (t),\psi (t))$)

${}{\begin{aligned}{\left({\frac {\partial F}{\partial x}}(P),{\frac {\partial F}{\partial y}}(P)\right)}{\begin{pmatrix}2t\\3t^{2}-1\end{pmatrix}}&={\left(-2{\left(t^{2}-1\right)}-3{\left(t^{2}-1\right)}^{2},2{\left(t^{3}-t\right)}\right)}{\begin{pmatrix}2t\\3t^{2}-1\end{pmatrix}}\\&=-4t(t^{2}-1)-6t{\left(t^{2}-1\right)}^{2}+2{\left(t^{3}-t\right)}{\left(3t^{2}-1\right)}\\&=-4t^{3}+4t-6t^{5}+12t^{3}-6t+6t^{5}-2t^{3}-6t^{3}+2t\\&=0.\end{aligned}}$

Für ${}t=2$ ergibt sich beispielsweise der Bildpunkt ${}P=(3,6)$. Für diesen Wert ist der Ableitungsvektor gleich ${}(4,11)$. Die partiellen Ableitungen an ${}P$ ergeben den Gradienten ${}(-33,12)$, der senkrecht zum Tangentialvektor steht. Die Tangente selbst wird durch

${\left\{(3,6)+s(4,11)\mid s\in K\right\}}{\text{ oder als }}V(-11x+4y+9)$

beschrieben.

Tangenten bei Raumkurven

Wir beschränken uns zwar hauptsächlich auf den Fall von ebenen Kurven, dennoch kann man auch für Kurven in einer höherdimensionalen Umgebung und überhaupt für beliebige Varietäten mit der Hilfe von Ableitungen die Begriffe glatt und singulär definieren. Wir demonstrieren dies kurz für Raumkurven, die durch zwei Polynome ${}F,G\in K[X,Y,Z]$ in drei Variablen ohne gemeinsame Komponenten gegeben seien (nicht jede Raumkurve lässt sich so beschreiben!). In diesem Fall betrachtet man zu einem Punkt ${}P\in C=V(F,G)$ wieder die Jacobi-Matrix

${\begin{pmatrix}{\frac {\partial F}{\partial x}}&{\frac {\partial F}{\partial y}}&{\frac {\partial F}{\partial z}}\\{\frac {\partial G}{\partial x}}&{\frac {\partial G}{\partial y}}&{\frac {\partial G}{\partial z}}\end{pmatrix}}_{P}\colon {{\mathbb {A} }_{K}^{3}}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{2}.$

Dann ist ${}P$ ein glatter Punkt der Kurve genau dann, wenn diese Matrix den Rang zwei hat. Der eindimensionale Kern definiert dann die Tangente.

Beispiel

Wir knüpfen an Beispiel 4.6 an, also den Schnitt ${}C$ der beiden Zylinder, die durch

$F=x^{2}+y^{2}-1{\text{ und }}G=x^{2}+z^{2}-1$

gegeben sind. Die partiellen Ableitungen sind

$\partial F=(2x,2y,0){\text{ und }}\partial G=(0,2y,2z).$

Ein singulärer Punkt liegt vor, wenn diese durch die Jacobi-Matrix definierte Abbildung einen Rang ${}\leq 1$ hat, und dies ist genau dann der Fall, wenn die beiden partiellen Ableitungstupel linear abhängig sind (und es ein Punkt der zugehörigen Varietät ist). Wegen der beiden Nullen kann lineare Abhängigkeit nur bei ${}x=z=0$ vorliegen, und dort liegt sie für beliebiges ${}y$ auch vor. Bei ${}x=z=0$ ergibt allerdings nur ${}y=\pm 1$ einen Punkt der Kurve, und das sind die beiden singulären Punkte von ${}C$. Dies sind natürlich genau die beiden Schnittpunkte der beiden Kreise, die nach Beispiel 4.6 die irreduziblen Komponenten von ${}C$ sind.

Wenn die Radien der beiden Zylinder nicht gleich groß sind, sagen wir ${}r_{1}\neq r_{2}$, so funktioniert die Bestimmung der singulären Punkte zunächst genau gleich, und man gelangt zur Bedingung ${}y^{2}=r_{1}$ und ${}y^{2}=r_{2}$, die nicht beide zugleich erfüllt sein können. Bei unterschiedlichen Radien ist die Schnittkurve also glatt.

Potenzreihenringe

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}T_{1},\ldots ,T_{n}$ eine Menge von Variablen. Eine formale Potenzreihe ist ein Ausdruck der Form

${}F=\sum _{\nu }a_{\nu }T^{\nu }=\sum _{\nu }a_{\nu }T_{1}^{\nu _{1}}\cdots T_{n}^{\nu _{n}}\,,$

wobei ${}a_{\nu }\in R$ für alle ${}\nu =(\nu _{1},\ldots ,\nu _{n})\in \mathbb {N} ^{n}$ ist.

Man addiert zwei Potenzreihen komponentenweise und multipliziert sie in der gleichen Weise wie Polynome. In einer Variablen hat man

${}F\cdot G={\left({\sum }_{i=0}^{\infty }a_{i}T^{i}\right)}{\left({\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}\right)}={\sum }_{k=0}^{\infty }c_{k}T^{k}\,$

mit ${}c_{k}=\sum _{i=0}^{k}a_{i}b_{k-i}$.

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Dann bezeichnet man mit

$R[[X_{1},\ldots ,X_{n}]]$

den Potenzreihenring in ${}n$ Variablen (oder den Ring der formalen Potenzreihen in ${}n$ Variablen).

Wir interessieren uns hauptsächlich für den Potenzreihenring ${}K[\![T]\!]$ in einer Variablen über einem Körper ${}K$. Mit Hilfe von Potenzreihenringen kann man „formale Parametrisierungen“ für beliebige algebraische Kurven in jedem Punkt finden, was wir in der nächsten Vorlesung behandeln werden. Zunächst müssen wir einige grundlegende Eigenschaften der Potenzreihenringe verstehen.

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[\![T]\!]$ der Ring der formalen Potenzreihen in einer Variablen.

Dann ist eine formale Potenzreihe ${}F={\sum }_{n=0}^{\infty }a_{n}T^{n}$ genau dann eine Einheit, wenn der konstante Term ${}a_{0}\neq 0$ ist.

Beweis

Die angegebene Bedingung ist notwendig, da die Abbildung

$K[\![T]\!]\longrightarrow K,\,F\longmapsto a_{0},$

die eine Potenzreihe ${}F$ auf ihren konstanten Term schickt, ein Ringhomomorphismus ist, siehe Aufgabe *****. Für die Umkehrung müssen wir eine Potenzreihe ${}G={\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}$ mit

${}FG={\left({\sum }_{i=0}^{\infty }a_{i}T^{i}\right)}{\left({\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}\right)}=1\,$

angeben. Für ${}b_{0}$ ergibt sich daraus die Bedingung ${}a_{0}b_{0}=1$, die wegen ${}a_{0}\neq 0$ eine eindeutige Lösung besitzt, nämlich ${}b_{0}=a_{0}^{-1}$. Nehmen wir induktiv an, dass die Koeffizienten ${}b_{j}$ für ${}j<n$ schon konstruiert seien, und zwar derart, dass sämtliche Koeffizienten ${}c_{k}$, ${}1\leq k<n$, der Produktreihe ${}FG$ gleich ${}0$ sind. Für den ${}n$-ten Koeffizienten ergibt sich die Bedingung

${}0=c_{n}=a_{0}b_{n}+a_{1}b_{n-1}+\cdots +a_{n-1}b_{1}+a_{n}b_{0}\,.$

Dabei sind bis auf ${}b_{n}$ alle Werte schon festgelegt, und wegen ${}a_{0}\neq 0$ ergibt sich eine eindeutige Lösung für ${}b_{n}$.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}R=K[\![T]\!]$ der Potenzreihenring in einer Variablen.

Dann ist ${}R$ ein diskreter Bewertungsring.

Beweis

Zunächst ist ${}R$ ein lokaler Ring mit maximalem Ideal ${}{\mathfrak {m}}=(T)$. Wenn nämlich eine Potenzreihe ${}F$ keine Einheit ist, so muss nach Satz 24.7 der konstante Term von ${}F$ gleich ${}0$ sein. Dann kann man aber ${}F=T{\tilde {F}}$ mit der umindizierten Potenzreihe ${}{\tilde {F}}$ schreiben. Die Nullteilerfreiheit folgt durch Betrachten der Anfangsterme: Sind ${}F$ und ${}G$ von ${}0$ verschiedene Potenzreihen, so ist

${}F=a_{k}T^{k}+a_{k+1}T^{k+1}+\ldots \,$

und

${}G=b_{\ell }T^{\ell }+a_{\ell +1}T^{\ell +1}+\ldots \,$

mit ${}a_{k},b_{\ell }\neq 0$. Für die Produktreihe ist dann der Koeffizient

${}c_{k+\ell }=a_{k}b_{\ell }\neq 0\,,$

da die kleineren Koeffizienten alle ${}0$ sind. Es bleibt also noch noethersch zu zeigen. Es ergibt sich aber direkt, dass ein Hauptidealbereich vorliegt, und zwar wird jedes Ideal ${}\neq 0$ von ${}T^{j}$ erzeugt, wobei ${}j$ das Minimum über alle Indizes von Koeffizienten ${}\neq 0$ von Potenzreihen in dem Ideal ist.

$\Box$

Man kann Potenzreihen nicht nur addieren und multiplizieren, sondern auch, unter gewissen Zusatzbedingungen, Potenzreihen in andere Potenzreihen einsetzen. Diese Operation entspricht der Hintereinanderschaltung von Abbildungen.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}F={\sum }_{i=0}^{\infty }a_{i}T^{i}\in K[\![T]\!]$ eine Potenzreihe. Es sei ${}G={\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}$ eine weitere Potenzreihe mit konstantem Term ${}0$. Dann nennt man die Potenzreihe

${}{\begin{aligned}F(G)&=a_{0}+a_{1}{\left({\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}\right)}+a_{2}{\left({\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}\right)}^{2}+a_{3}{\left({\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}\right)}^{3}+\ldots \\&={\sum }_{k=0}^{\infty }c_{k}T^{k}\end{aligned}}$

die eingesetzte Potenzreihe. Ihre Koeffizienten sind durch

${}c_{k}=\sum _{s=0}^{k}a_{s}{\left(\sum _{j_{1}+\cdots +j_{s}=k}b_{j_{1}}\cdots b_{j_{s}}\right)}\,$

festgelegt. Hierbei wird über alle geordneten ${}s$-Tupel ${}(j_{1},\ldots ,j_{s})\in \mathbb {N} _{+}^{s}$ summiert.

Man beachte in der vorstehenden Definition, dass wegen ${}b_{0}=0$ nur über ${}j\geq 1$ summiert wird, sodass alle beteiligten Summen endlich sind. Die Formeln für das Einsetzen sind derart, dass sie bei Polynomen das übliche Einsetzen von Polynomen in Polynome ergeben. Einsetzen von Potenzreihen in Potenzreihen liefert wieder einen Einsetzungshomomorphismus der Potenzreihenringe.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper mit dem Potenzreihenring ${}K[\![T]\!]$. Es sei ${}G\in K[\![S]\!]$ eine Potenzreihe mit konstantem Term ${}0$.

Dann definiert ${}G$ durch Einsetzen einen ${}K$- Algebrahomomorphismus

$K[\![T]\!]\longrightarrow K[\![S]\!],\,F\longmapsto F(G).$

Beweis

Die Abbildung ist wohldefiniert. Um zu zeigen, dass ein Ringhomomorphismus vorliegt, muss man lediglich gewisse Koeffizienten vergleichen. Diese hängen immer nur von endlich vielen Koeffizienten der beteiligten Potenzreihen an, sodass sich diese Aussage aus dem polynomialen Fall ergibt.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}K[\![T]\!]$ der Potenzreihenring über ${}K$ und ${}G={\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}$ mit $b_{0}=0$ und $b_{1}\neq 0$.

Dann definiert der durch ${}T\mapsto G$ definierte Einsetzungshomomorpismus einen ${}K$- Algebraautomorphismus auf ${}K[\![T]\!]$.

Beweis

Wir zeigen zunächst, dass es eine Potenzreihe ${}F={\sum }_{i=0}^{\infty }a_{i}T^{i}$ mit ${}F(G)=T$ gibt. Dabei muss ${}a_{0}=0$ und ${}a_{1}=b_{1}^{-1}$ sein. Es sei nun die Potenreihe ${}F$ mit der gewünschten Eigenschaft bis zum ${}(k-1)$-Koeffizienten bereits konstruiert. Für den Koeffizienten ${}c_{k}$ hat man nach der Definition 24.9 die Bedingung

${}{\begin{aligned}0&=c_{k}\\&=\sum _{s=0}^{k}a_{s}{\left(\sum _{j_{1}+\cdots +j_{s}=k}b_{j_{1}}\cdots b_{j_{s}}\right)}\\&=\sum _{s=0}^{k-1}a_{s}{\left(\sum _{j_{1}+\cdots +j_{s}=k}b_{j_{1}}\cdots b_{j_{s}}\right)}+a_{k}b_{1}^{k}.\end{aligned}}$

Daraus ergibt sich eine eindeutig lösbare Bedingung an ${}a_{k}$.

Wir betrachten nun die Hintereinanderschaltung

$K[\![T]\!]{\stackrel {T\mapsto F}{\longrightarrow }}K[\![T]\!]{\stackrel {T\mapsto G}{\longrightarrow }}K[\![T]\!].$

Dabei ist die Gesamtabbildung der Einsetzungshomomorphismus ${}T\mapsto T$, und das ist die Identität. Insbesondere ist die hintere Abbildung surjektiv. Da ${}K[\![T]\!]$ nach Korollar 24.8 ein diskreter Bewertungsring, sind die Ideale darin bekannt, und nur das Nullideal kommt als Kern der Abbildung in Frage. Die Abbildung ist also auch injektiv und damit bijektiv.

$\Box$

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