Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 21/latex

\setcounter{section}{21}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ \subseteq }{\N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {numerisches Monoid}{}{,} das von teilerfremden Erzeugern erzeugt werde, es sei
\mathl{K[M]}{} der \definitionsverweis {Monoidring}{}{} zu $M$ über einem Körper $K$ und es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R }
{ =} { K[M]_{\mathfrak m} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die \definitionsverweis {Lokalisierung}{}{} am \definitionsverweis {maximalen Ideale}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m} }
{ = }{ K[ M_+] }
{ = }{ \langle T^m ,\, m \in M \rangle }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass $R$ allein im Fall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ = }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{} mit \definitionsverweis {maximalem Ideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m} }
{ = }{ (p) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Ordnung}{}{} \maabbeledisp {} {R \setminus \{0\} } { \N } {f} {\operatorname{ord} \, (f) } {,} folgende Eigenschaften besitzt. \aufzaehlungvier{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (fg) }
{ = }{ \operatorname{ord} \, (f) + \operatorname{ord} \, (g) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (f+g) }
{ \geq }{ \operatorname{min} \left( \operatorname{ord} \, (f) ,\, \operatorname{ord} \, (g) \right) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \in }{ {\mathfrak m} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (f) }
{ \geq }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \in }{ R^{\times} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (f) }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{} mit \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{} $Q$. Zeige, dass es keinen echten Zwischenring zwischen $R$ und $Q$ gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{} mit \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{} $Q$. Charakterisiere die \definitionsverweis {endlich erzeugten}{}{} $R$-\definitionsverweis {Untermoduln}{}{} von $Q$. Auf welche Form kann man ein Erzeugendensystem bringen?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{.} Definiere zu einem Element
\mathbed {q \in Q(R)} {}
{q \neq 0} {}
{} {} {} {,} die Ordnung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (q) }
{ \in} { \Z }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dabei soll die Definition mit der \definitionsverweis {Ordnung}{}{} für Elemente aus $R$ übereinstimmen und einen Gruppenhomomorphismus \maabb {} {Q(R) \setminus \{0\} } { \Z } {} definieren. Was ist der Kern dieses Homomorphismus?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V }
{ = }{ V(x^2+y^2-1) }
{ \subseteq }{ {\mathbb A}^{2}_{K} }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der \stichwort {Einheitskreis} {} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ = }{(a,b) }
{ \in }{V }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt. \aufzaehlungvier{Zeige, dass der \definitionsverweis {lokale Ring}{}{} $R$ von $V$ im Punkt $P$ ein \definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{} ist. }{Folgere, dass der \definitionsverweis {Koordinatenring}{}{}
\mathl{K[X,Y]/(X^2+Y^2-1)}{} \definitionsverweis {normal}{}{} ist \zusatzklammer {man kann $K$ algebraisch abgeschlossen annehmen} {} {.} }{Zeige, dass
\mathl{K[X,Y]/(X^2+Y^2-1)}{} nicht \definitionsverweis {faktoriell}{}{} ist. }{Bestimme die \definitionsverweis {Ordnung}{}{} von $X$ und von $Y-1$ im lokalen Ring zum Punkt
\mathl{(0,1)}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m} }
{ = }{ ( \pi) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ = }{R/ (\pi) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der \definitionsverweis {Restklassenkörper}{}{} von $R$. Zeige, dass es für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} einen $R$-\definitionsverweis {Modulisomorphismus}{}{} \maabbdisp {} { (\pi^ n)/( \pi^ {n+1} )} { K } {} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei \maabbdisp {\nu} {(K^\times, \cdot,1)} { (\Z,+,0) } {} ein \definitionsverweis {surjektiver}{}{} \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \nu(f+g) }
{ \geq }{\min\{ \nu(f) , \nu(g)\} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f,g }
{ \in }{ K^{\times} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R }
{ =} { { \left\{ f \in K^\times \mid \nu(f) \geq 0 \right\} } \cup \{0\} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathbed {f \in {\mathbb C}[X]} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {,} und
\mathl{a \in {\mathbb C}}{.} Zeige, dass die folgenden \anfuehrung{Ordnungen}{} von $f$ an der Stelle $a$ übereinstimmen. \aufzaehlungdrei{Die Verschwindungsordnung von $f$ an der Stelle $a$, also die maximale Ordnung einer Ableitung mit
\mathl{f^{(k)}(a) =0}{.} }{Der Exponent des Linearfaktors
\mathl{X-a}{} in der Zerlegung von $f$ in irreduzible Polynome. }{Die \definitionsverweis {Ordnung}{}{} von $f$ an der Lokalisierung
\mathl{{\mathbb C}[X]_{(X-a)}}{} von
\mathl{{\mathbb C}[X]}{} am maximalen Ideal
\mathl{(X-a)}{.} }

}
{} {}

Die vorstehende Aufgabe kann man über das Konzept des formalen Ableitens auf andere Grundkörper erweitern.

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Zu einem Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F }
{ = }{ \sum_{ i = 0 }^{ n } a_{ i } X^{ i} }
{ \in }{ K[X] }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} heißt das Polynom
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F' }
{ =} { n a_nX^{n-1} + (n-1)a_{n-1}X^{n-2} + \cdots + 3a_3X^2 +2a_2X+a_1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die \definitionswort {formale Ableitung}{} von $F$.

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {formale Ableitung}{}{} von
\mathdisp {2X^7+X^6+2X^5+X^4+X^3+X^2+2 \in \Z/(3) [X]} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Beweise die folgenden Rechenregeln für das \definitionsverweis {formale Ableiten}{}{}
\mathl{F \mapsto F'}{:} \aufzaehlungdrei{Die Ableitung eines konstanten Polynoms ist $0$. }{Die Ableitung ist $K$-\definitionsverweis {linear}{}{.} }{Es gilt die \stichwort {Produktregel} {,} also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (FG)' }
{ =} {FG'+F'G }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es sei
\mathl{F \in K[X]}{} und
\mathl{a \in K}{.} Zeige, dass $a$ genau dann eine \definitionsverweis {mehrfache Nullstelle}{}{} von $F$ ist, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F'(a) }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist, wobei $F'$ die \definitionsverweis {formale Ableitung}{}{} von $F$ bezeichnet.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} der \definitionsverweis {positiven Charakteristik}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Bestimme die Menge der Polynome
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F }
{ \in }{ K[T] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit \definitionsverweis {formaler Ableitung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F' }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass über einem Körper $K$ der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $0$ für das \definitionsverweis {formale Ableiten}{}{} die Beziehung \zusatzklammer {
\mathl{i \leq n}{}} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ i ! } } { \left( X^n \right) }^{(i)} }
{ =} { \binom { n } { i } X^{n-i} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein Körper der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $0$ und sei
\mathbed {f \in K[X]} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {,} und
\mathl{a \in K}{.} Zeige, dass die folgenden \anfuehrung{Ordnungen}{} von $f$ an der Stelle $a$ übereinstimmen. \aufzaehlungdrei{Die Verschwindungsordnung von $f$ an der Stelle $a$, also die maximale Ordnung einer \definitionsverweis {formalen Ableitung}{}{} mit
\mathl{f^{(k)}(a) =0}{.} }{Der Exponent des Linearfaktors
\mathl{X-a}{} in der Zerlegung von $f$. }{Die \definitionsverweis {Ordnung}{}{} von $f$ an der \definitionsverweis {Lokalisierung}{}{}
\mathl{K[X]_{(X-a)}}{} von
\mathl{K[X]}{} am \definitionsverweis {maximalen Ideal}{}{}
\mathl{(X-a)}{.} }

}
{} {}

Die nächste Aufgabe benötigt die folgenden Definitionen, die das Bewertungskonzept verallgemeinern.

Es sei $K$ ein Körper und $(A, \cdot, <)$ eine angeordnete abelsche Gruppe. Eine \definitionswort {Bewertung}{} auf $K$ mit Werten in $A$ ist ein Gruppenhomomorphismus $\nu: K^\times \to A$, so dass für alle $x, y \in K^\times$ mit $x \neq -y$ gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \nu(x + y) }
{ \geq} { \min\{\nu(x), \nu(y) \} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

Es sei $\nu$ eine \definitionsverweis {Bewertung}{}{} auf einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$. Dann ist
\mathdisp {{ \left\{ x \in K^\times \mid \nu(x) \geq 0 \right\} } \cup \{ 0 \}} { }
ein \definitionsverweis {Unterring}{}{} von $K$, der sogenannte \definitionswort {Bewertungsring}{} von $\nu$.

Ein \definitionsverweis {nullteilerfreier Ring}{}{} $R$ mit \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{} $K$ heißt ein \definitionswort {Bewertungsring}{} \zusatzklammer {oder \definitionswort {abstrakter Bewertungsring}{}} {} {,} falls eine \definitionsverweis {Bewertung }{}{} $\nu$ von $K$ existiert, so dass $R$ der \definitionsverweis {Bewertungsring }{}{} von $\nu$ ist.

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass ein noetherscher \definitionsverweis {abstrakter Bewertungsring}{}{} schon diskret ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{(R, {\mathfrak m} )}{} ein \definitionsverweis {noetherscher}{}{} \definitionsverweis {lokaler Ring}{}{.} Zeige, dass aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}^{n+1} }
{ = }{ {\mathfrak m}^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} folgt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}^n }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{(R, {\mathfrak m} )}{} ein \definitionsverweis {lokaler}{}{} \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{,} der kein \definitionsverweis {Körper}{}{} sei. Es sei $Q$ der \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{} von $R$. Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m} Q }
{ = }{ Q }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $K(T)$ der \definitionsverweis {Körper der rationalen Funktionen}{}{} über $K$. Finde einen \definitionsverweis {diskreten Bewertungsring}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R }
{ \subseteq }{ K(T) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q(R) }
{ = }{ K(T) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R \cap K[T] }
{ = }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Eine
\definitionswortenp{Potenzreihe in einer Variablen}{} über $K$ ist ein formaler Ausdruck der Form
\mathdisp {a_0+a_1T+a_2T^2+a_3T^3+ \ldots \text{ mit } a_i \in K} { . }
Es kann hier also unendlich viele von $0$ verschiedene Koeffizienten $a_i$ geben. Definiere eine Ringstruktur auf der Menge aller Potenzreihen, die die Ringstruktur auf dem Polynomring in einer Variablen fortsetzt. Zeige, dass dieser Ring ein \definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $R$ ein Integritätsbereich mit folgender Eigenschaft: zu je zwei Elementen
\mathl{f,g \in R}{} gelte, dass $f$ ein Teiler von $g$ ist oder dass $g$ ein Teiler von $f$ ist. Es sei $R$ noethersch, aber kein Körper. Zeige, dass $R$ ein \definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Zeige, dass in
\mathl{K[X,Y]_{(X,Y)}/(X^2-Y^3)}{} jedes Ideal durch maximal zwei Erzeuger gegeben ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Man gebe ein Beispiel einer ebenen monomialen Kurve und eines Ideals im zugehörigen lokalen Ring der Singularität, das nicht von zwei Elementen erzeugt werden kann.

}
{} {}