Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 6/latex

\setcounter{section}{6}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F(x) }
{ \in }{ K[x] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Polynom in einer Variablen über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$. Parametrisiere den \definitionsverweis {Graph}{}{} zu $F$ durch Polynome.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für die parametrisierte Kurve
\mathdisp {x= -3t^2+4t-2 \text{ und } y=2t^2+5t-3} { }
eine Kurvengleichung.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Betrachte die durch \maabbeledisp {} {{\mathbb A}^{1}_{K} } { {\mathbb A}^{2}_{K} } {t} { (t+t^2,t^3) = (x,y) } {,} definierte Parametrisierung. Bestimme eine \zusatzklammer {nichttriviale} {} {} algebraische Gleichung, die für alle Bildpunkte dieser Abbildung erfüllt ist. Man gebe auch einen Punkt in der affinen Ebene an, der nicht auf der Bildkurve liegt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein Körper. Betrachte die durch \maabbeledisp {} {{\mathbb A}^{1}_{K} } {{\mathbb A}^{2}_{K} } {t} { \left( t^2+1 , \, t^3-t \right) } {} definierte polynomiale Abbildung. Bestimme eine \zusatzklammer {nichttriviale} {} {} algebraische Gleichung, die für alle Bildpunkte dieser Abbildung erfüllt ist.

}
{} {}

Das in der folgenden Aufgabe beschriebene Phänomen kann über einem algebraisch abgeschlossenen Körper nicht auftreten.


\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel für eine polynomiale Parametrisierung \maabbdisp {\varphi} { {\mathbb A}^{1}_{\R} } {C \subset {\mathbb A}^{2}_{\R} } {} an, wobei $C$ der Zariski-Abschluss des Bildes sein soll und wobei unendlich viele Punkte von $C$ nicht im Bild liegen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{ }
{ Beweise Lemma 6.8. }

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme für die Abbildung \maabbeledisp {} { {\mathbb A}^{1}_{K} \setminus \{0\}} { {\mathbb A}^{2}_{K} } {t} { \left( { \frac{ t^2+1 }{ t } } , \, { \frac{ t+1 }{ t } } \right) } {,} eine algebraische Gleichung der Bildkurve. Führe eine Probe durch.

}
{} {}

In den folgenden Aufgaben wird auf den Begriff der differenzierbaren Kurve Bezug genommen, wie er in der Analysis 2 behandelt wird.


\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel für eine nicht-algebraische \zusatzklammer {nicht polynomiale} {} {} \definitionsverweis {differenzierbare Kurve}{}{} im $\R^2$, deren Bild aber mit einer \definitionsverweis {algebraischen Kurve}{}{} übereinstimmt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \zusatzklammer {Bahn der} {} {} archimedische Spirale \maabbeledisp {f} {\R_{\geq 0}} {\R^2 } {t} {\left( t \cos t , \, t \sin t \right) } {,} nicht \definitionsverweis {algebraisch}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C }
{ = }{ V(F) }
{ \subset }{ {\mathbb A}^{2}_{\R} }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {rational-parametrisierbare Kurve}{}{.} Zeige, dass es auch nicht-algebraische \definitionsverweis {differenzierbare}{}{} Parametrisierungen der Kurve gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe eine \definitionsverweis {differenzierbare Kurve}{}{} \maabbdisp {f} {\R} {\R^2 } {} an, deren \definitionsverweis {Bild}{}{} genau das \definitionsverweis {Achsenkreuz}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Sei \maabb {\varphi} { {\mathbb A}^{2}_{K} } { {\mathbb A}^{2}_{K} } {} eine \definitionsverweis {polynomiale Abbildung}{}{} und sei $C$ eine ebene \definitionsverweis {rationale}{}{} Kurve. Es sei ferner vorausgesetzt, dass $C$ durch $\varphi$ nicht auf einen einzigen Punkt abgebildet wird. Zeige, dass dann $\overline{\varphi(C)}$ ebenfalls eine rationale Kurve ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $p \in [0,1]$ die Wahrscheinlichkeit, mit der ein bestimmtes Ereignis $A$ bei der Durchführung eines Experiments eintritt, und entsprechend sei $1-p$ die Wahrscheinlichkeit, dass es nicht eintritt. Das Experiment werde zweimal \definitionsverweis {unabhängig}{}{} voneinander durchgeführt. Die möglichen Gesamtereignisse
\mathl{(A,A),(A, \neg A), (\neg A,A) , (\neg A, \neg A)}{} haben dann eine von $p$ abhängige Wahrscheinlichkeit. Diese Abhängigkeit fassen wir als die \definitionsverweis {polynomiale Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb A}^{1}_{K} } { { {\mathbb A}_{ K }^{ 4 } } } {p} { \left( p^2 , \, p(1-p) , \, (1-p)p , \, (1-p)^2 \right) = \left( x , \, y , \, z , \, w \right) } {,} auf. \aufzaehlungzwei {Zeige, dass die Abbildung \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist. } {Beschreibe das \definitionsverweis {Bild}{}{} der Abbildung vollständig durch polynomiale Gleichungen. }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $p \in [0,1]$ die Wahrscheinlichkeit, mit der ein bestimmtes Ereignis $A$ bei der Durchführung eines ersten Experiments eintritt und sei $q \in [0,1]$ die Wahrscheinlichkeit, mit der ein bestimmtes Ereignis $B$ bei der Durchführung eines zweiten Experiments eintritt. Die beiden Experimente werden \definitionsverweis {unabhängig}{}{} voneinander durchgeführt. Die möglichen Gesamtereignisse
\mathl{(A,B),(A, \neg B), (\neg A,B) , (\neg A, \neg B)}{} haben dann eine von $p$ und $q$ abhängige Wahrscheinlichkeit. Diese Abhängigkeit fassen wir als die \definitionsverweis {polynomiale Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb A}^{2}_{K} } { { {\mathbb A}_{ K }^{ 4 } } } {(p,q)} { \left( pq , \, p(1-q) , \, (1-p)q , \, (1-p)(1-q) \right) = \left( x , \, y , \, z , \, w \right) } {,} auf. \aufzaehlungzwei {Zeige, dass die Abbildung \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist. } {Beschreibe das \definitionsverweis {Bild}{}{} der Abbildung vollständig durch polynomiale Gleichungen. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {} { {\mathbb A}^{2}_{K} \supseteq D(s) } { { {\mathbb A}_{ K }^{ 3 } } } { (s,t) } { \left( s , \, { \frac{ t^2 }{ s } } , \, t \right) = (x,y,z) } {.} Bestimme eine algebraische Gleichung $F$ für das Bild. Untersuche die Abbildung auf Injektivität und Surjektivität (als Abbildung nach $V(F)$). Vergleiche diese Abbildung mit den in Aufgabe 6.25 diskutierten Abbildungen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$ in $n$ Variablen und
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n,Z]}{} der Polynomring in
\mathl{n+1}{} Variablen. Zu
\mathl{F \in K[X_1 , \ldots , X_n]}{} sei
\mathl{\hat{F} \in K[X_1 , \ldots , X_n,Z]}{} die \definitionsverweis {Homogenisierung}{}{} \zusatzklammer {bezüglich $Z$} {} {} und zu
\mathl{G \in K[X_1 , \ldots , X_n,Z]}{} sei
\mathl{\tilde{ G }}{} die \zusatzklammer {durch
\mathl{Z \mapsto 1}{} gegebene} {} {} \definitionsverweis {Dehomogenisierung}{}{} von $G$. Zeige, dass
\mathl{\tilde{ \hat{ F } } = F}{,} aber nicht
\mathl{\hat{ \tilde{ G } }= G}{} gelten muss.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n,Z]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$ in
\mathl{n+1}{} Variablen. Es seien
\mathl{G,H \in K[X_1 , \ldots , X_n,Z]}{} \definitionsverweis {homogene Polynome}{}{} vom gleichen Grad. Für die \definitionsverweis {Dehomogenisierungen}{}{} \zusatzklammer {bezüglich $Z$} {} {} gelte
\mathl{\tilde{ G } = \tilde{ H }}{.} Zeige, dass dann
\mathl{G= H}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$ in $n$ Variablen und
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n,Z]}{} der Polynomring in
\mathl{n+1}{} Variablen. Zeige, dass die \definitionsverweis {Homogenisierung}{}{} \zusatzklammer {bezüglich $Z$} {} {} mit der Multiplikation verträglich ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$ in $n$ Variablen und
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n,Z]}{} der Polynomring in
\mathl{n+1}{} Variablen. Beschreibe die \definitionsverweis {Dehomogenisierung}{}{} \zusatzklammer {bezüglich $Z$} {} {} als einen \definitionsverweis {Einsetzungshomomorphismus}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Formuliere und beweise eine Division mit Rest-Aussage für homogene Polynome in zwei Variablen über einem Körper.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F }
{ =} { X^4+9X^3Y+7X^2Y^2+XY^3+8Y^4 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G }
{ =} {X^3 +5X^2Y }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Finde \definitionsverweis {homogene Polynome}{}{}
\mathl{Q,R \in \Q[X,Y]}{,}
\mathl{Q \neq 0}{,} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F }
{ =} {GQ+R }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme den Flächeninhalt der durch die reelle Kurve
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V(y^2-x^3-x^2) }
{ \subset} { {\mathbb A}^{2}_{\R} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eingeschlossenen Schlaufe.

}
{} {}

Die folgenden Aufgaben erfordert eventuell den Einsatz eines Computers.


\inputaufgabe
{6}
{

Bestimme für die Abbildung \maabbeledisp {} { {\mathbb A}^{1}_{K} } { {\mathbb A}^{2}_{K} } {t} { (t^2+t^3, 2t^2-t^4) } {,} eine algebraische Gleichung der Bildkurve.

}
{} {}

\inputaufgabe
{6}
{

Bestimme für die Abbildung \maabbeledisp {} { {\mathbb A}^{1}_{K} \setminus \{0\}} { {\mathbb A}^{2}_{K} } {t} { \left( { \frac{ t^2-1 }{ t } } , \, { \frac{ t+3 }{ t } } \right) } {,} eine algebraische Gleichung der Bildkurve. Führe eine Probe durch.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Wir betrachten die beiden Abbildungen
\mathdisp {(s,t) \longmapsto (s^2,t^2,st)=(x,y,z) \text{ und } (s,t) \longmapsto (s,st^2,st)=(x,y,z)} { . }
Zeige, dass das Bild der beiden Abbildungen die gleiche algebraische Gleichung $F$ erfüllt. Untersuche die Abbildungen auf Injektivität und Surjektivität (als Abbildung nach $V(F)$). Welche Abbildung liefert eine \anfuehrung{bessere}{} Beschreibung von $V(F)$?

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{F\in K[X,Y]}{} ein \definitionsverweis {irreduzibles}{}{} Polynom. Die \definitionsverweis {Nullstellenmenge}{}{}
\mathl{V(F)}{} sei unendlich. Zeige, dass dann
\mathl{V(F)}{} eine \definitionsverweis {irreduzible}{}{} \definitionsverweis {affin-algebraische}{}{} Menge ist.

}
{Man gebe auch ein Beispiel, dass diese Aussage in drei Variablen falsch ist.} {}