Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 11/latex
\setcounter{section}{11}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{.} Zeige, dass der \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} \maabbeledisp {} {R} { \prod_{p \text{ Primzahl} } R/pR } {f} { (f \operatorname{mod} Rp)_{p \text{ Primzahl} } } {,} wobei rechts das Produkt der \definitionsverweis {Faserringe}{}{} über alle Primzahlen steht, und komponentenweise die \definitionsverweis {Restklassenbildung}{}{} durchgeführt wird, \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{}
zu
\mathl{840}{} in $\Z$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{}
zu
\mathl{840}{} in $\Z[ { \mathrm i} ]$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{}
zur Gaußschen Zahl
\mathl{5+7 { \mathrm i}}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Dedekindbereich}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
als ein Produkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f
}
{ =} { u p_1^{\nu_1} \cdots p_r^{\nu_r}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\definitionsverweis {Primelementen}{}{}
$p_i$ und einer
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
$u$ gegeben. Zeige, dass dann für den zugehörigen
\definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{div} { \left( f \right) }
}
{ =} { \nu_1 (p_1) + \cdots + \nu_r (p_r)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt, wobei die $(p_i)$ die von $p_i$ erzeugten
\definitionsverweis {Primideale}{}{}
bezeichnen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Dedekindbereich}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {multiplikatives System}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \notin }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass ein
\definitionsverweis {kommutatives Diagramm}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix} R \setminus \{0\} & \stackrel{ }{\longrightarrow} & \operatorname{Eff Div} (R) & \\ \downarrow & & \downarrow & \\ R_S \setminus \{0\} & \stackrel{ }{\longrightarrow} & \operatorname{Eff Div} (R_S) & \!\!\!\!\! \\ \end{matrix}} { }
vorliegt, wobei die vertikale Abbildung rechts einfach diejenigen Komponenten ${\mathfrak p}$ eines
\definitionsverweis {effektiven Divisors}{}{}
$D$ vergisst, die nicht zu $\operatorname{Spek} { \left( R_S \right) }$ gehören.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
und
\mathl{f,g \in R}{,}
\mathl{f,g \neq 0}{.} Zeige ohne Verwendung
des Bijektionssatzes,
dass die
\definitionsverweis {Hauptdivisoren}{}{}
$\operatorname{div} { \left( f \right) }$ und
\mathl{\operatorname{div} { \left( g \right) }}{} genau dann gleich sind, wenn $f$ und $g$
\definitionsverweis {assoziiert}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f,g
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
von $0$ verschiedene Elemente. Zeige, dass $f$ genau dann ein Teiler von $g$ ist, wenn für die
\definitionsverweis {Hauptdivisoren}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{div} { \left( f \right) }
}
{ \leq} {\operatorname{div} { \left( g \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
und sei
\mathbed {f \in R} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {.}
Zeige die beiden folgenden Äquivalenzen:
Das Element $f$ ist genau dann
\definitionsverweis {prim}{}{,}
wenn der zugehörige
\definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{}
\mathl{\operatorname{div} { \left( f \right) }}{} die Gestalt $1 {\mathfrak p}$ mit einem
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{{\mathfrak p}
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besitzt.
Das Element $f$ ist genau dann
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{,}
wenn
\mathl{\operatorname{div} { \left( f \right) }}{} minimal unter allen effektiven Hauptdivisoren $\neq 0$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{ \Z[\sqrt{-5}]
}
{ = }{ \Z \oplus \Z \sqrt{-5}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ = }{-5
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Betrachte in $R$ die Zerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2 \cdot 3
}
{ =} { (1+\sqrt{-5} )(1-\sqrt{-5})
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die beteiligten Elemente
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{,}
aber nicht
\definitionsverweis {prim}{}{}
sind, und bestimme für jedes dieser vier Elemente die Primoberideale. Bestimme die
\definitionsverweis {Hauptdivisoren}{}{}
zu diesen Elementen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {noetherscher}{}{}
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.}
Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.
\aufzaehlungfuenf{$R$ hat
\definitionsverweis {Krulldimension}{}{}
$0$.
}{$R$ ist ein
\definitionsverweis {artinscher Ring}{}{.}
}{$R$ besitzt endlich viele
\definitionsverweis {Primideale}{}{,}
die alle
\definitionsverweis {maximal}{}{}
sind.
}{Es gibt eine natürliche Zahl $n$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}^n
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für jedes maximale Ideal ${\mathfrak m}$.
}{Die
\definitionsverweis {Reduktion}{}{}
von $R$ ist ein Produkt von Körpern.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beschreibe die
\definitionsverweis {nilpotenten Elemente}{}{}
von
\mathl{\Z/(n)}{} und die
\definitionsverweis {Reduktion}{}{}
von
\mathl{\Z/(n)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{n \geq 2}{} eine
\definitionsverweis {natürliche Zahl}{}{.} Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
\aufzaehlungsieben{$n$ ist die
\definitionsverweis {Potenz}{}{} einer
\definitionsverweis {Primzahl}{}{.}
}{Der Restklassenring
\mathl{{\mathbb Z}/(n)}{} ist
\definitionsverweis {zusammenhängend}{}{.}
}{Der Restklassenring
\mathl{{\mathbb Z}/(n)}{} ist
\definitionsverweis {lokal}{}{.}
}{Die
\definitionsverweis {Reduktion}{}{} von
\mathl{{\mathbb Z}/(n)}{} ist ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
}{Jeder Nullteiler von
\mathl{{\mathbb Z}/(n)}{} ist
\definitionsverweis {nilpotent}{}{.}
}{Der Restklassenring
\mathl{{\mathbb Z}/(n)}{} besitzt genau ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{.}
}{Der Restklassenring
\mathl{{\mathbb Z}/(n)}{} besitzt genau ein
\definitionsverweis {maximales Ideal}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Dedekindbereich}{}{}
und
\mathbed {f \in R} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {.}
Zeige, dass der
\definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{}
\mathl{\operatorname{div} { \left( f \right) }}{} mit dem
\definitionsverweis {Divisor}{}{}
zum
\definitionsverweis {Hauptideal}{}{}
$(f)$ übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein von $0$ verschiedenes
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
mit einem
\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ = }{ (f_1 , \ldots , f_n)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{div} ( {\mathfrak a} )
}
{ =} { \operatorname{min} { \left\{ \operatorname{div} { \left( f_i \right) } \mid i = 1 , \ldots , n \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass unter der Korrespondenz \zusatzklammer {siehe Satz 11.13} {} {} zwischen Idealen $\neq 0$ und Divisoren in einem \definitionsverweis {Dedekindbereich}{}{} die \definitionsverweis {Summe}{}{} von Idealen dem Minimum von Divisoren entspricht.
}
{} {}