Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 20/latex

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\zwischenueberschrift{Aufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ \subseteq }{S }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Erweiterung}{}{} von \definitionsverweis {kommutativen Ringen}{}{,} sei ${\mathfrak p}$ ein \definitionsverweis {Primideal}{}{} von $R$ und ${\mathfrak q}$ ein Primideal von $S$ über ${\mathfrak p}$. Zeige, dass eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} der \definitionsverweis {Restekörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \kappa ( {\mathfrak p} ) }
{ \subseteq }{\kappa ( {\mathfrak q} ) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} vorliegt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass bei einem \definitionsverweis {quadratischen Zahlbereich}{}{} jedes numerisch mögliche Zerlegungsverhalten im Sinne der fundamentalen Gleichung auch auftritt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche}{}{} \definitionsverweis {separable Körpererweiterung}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K[X] }
{ \subseteq }{L[X] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die zugehörige endliche Erweiterung der \definitionsverweis {Polynomringe}{}{} in einer Variablen. Beweise die fundamentale Gleichung in diesem Fall.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für den \definitionsverweis {kubischen Zahlbereich}{}{}
\mathl{\Z[\sqrt[3]{2}]}{,} welche der numerisch möglichen Zerlegungsverhalten im Sinne der fundamentalen Gleichung wirklich auftreten.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme das Zerlegungsverhalten von Primzahlen in dem durch die \definitionsverweis {biquadratische Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Q }
{ \subseteq }{ \Q[\sqrt{3}, \sqrt{5} ] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegebenen \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{.}

}
{} {}