Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 27/latex
\setcounter{section}{27}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mathl{f \in R}{} ein
\definitionsverweis {nilpotentes Element}{}{.}
Zeige, dass $1+f$ eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
a) Es sei $K$ ein Körper. Zeige, dass die Einheitengruppe von $K$ nicht zyklisch unendlich ist.
b) Es sei $R$ ein kommutativer Ring, dessen Charakteristik nicht zwei ist. Zeige, dass die Einheitengruppe von $R$ nicht zyklisch unendlich ist.
c) Beschreibe einen kommutativen Ring, dessen Einheitengruppe zyklisch unendlich ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die zweiten \definitionsverweis {Einheitswurzeln}{}{} in $\Z/(105)$.
}
{} {}
Zu einer
\definitionsverweis {kommutativen Gruppe}{}{}
$G$ nennt man
\mathl{{ \left\{ g \in G \mid g \text{ hat endliche Ordnung} \right\} }}{}
die
\definitionswort {Torsionsuntergruppe}{}
von $G$.
Eine
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
$G$ heißt
\definitionswort {torsionsfrei}{,}
wenn für jedes Element
\mathbed {x \in G} {}
{x \neq 0} {}
{} {} {} {,}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{nx
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Torsionsuntergruppe}{}{} einer \definitionsverweis {kommutativen Gruppe}{}{} $G$ in der Tat eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Torsionsuntergruppe}{}{}
einer
\definitionsverweis {kommutativen Gruppe}{}{}
$G$. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{}
\mathl{G/T}{}
\definitionsverweis {torsionsfrei}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Einheitswurzeln}{}{} in $R$ die \definitionsverweis {Torsionsuntergruppe}{}{} der \definitionsverweis {Einheitengruppe}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass es in der
\definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{}
\mathl{\Q/\Z}{} zu jedem
\mathl{n \in \N_+}{} Elemente gibt, deren
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
gleich $n$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{} $\Q/\Z$ unendlich ist und jedes Element eine endliche \definitionsverweis {Ordnung}{}{} besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S^1_\Q
}
{ =} { { \left\{ z \in \Q[ { \mathrm i} ] \mid \betrag { z } = 1 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit der Multiplikation in
\mathl{\Q[ { \mathrm i} ]}{} eine
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S^1_\Q
}
{ =} { { \left\{ z \in \Q[ { \mathrm i} ] \mid \betrag { z } = 1 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der rationale Einheitskreis mit der aus
\mathl{\Q[ { \mathrm i} ]^{\times}}{} ererbten Gruppenstruktur. Berechne die ersten vier Potenzen von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ 3 }{ 5 } } + { \frac{ 4 }{ 5 } } { \mathrm i}
}
{ \in }{S^1_\Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S^1_\Q
}
{ =} { { \left\{ z \in \Q[ { \mathrm i} ] \mid \betrag { z } = 1 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der rationale Einheitskreis mit der aus
\mathl{\Q[ { \mathrm i} ]^{\times}}{} ererbten Gruppenstruktur. Zeige, dass die Gruppen
\mathl{ S^1_\Q}{} und
\mathl{\Q/\Z}{} nicht
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme für den siebten
\definitionsverweis {Kreisteilungsring}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R_7
}
{ = }{ \Z[X]/ { \left( X^6+X^5+X^4+X^3+X^2 +X+1 \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y
}
{ = }{X+X^{-1}
}
{ = }{ X+X^6
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Ist $Y$ eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für den neunten
\definitionsverweis {Kreisteilungsring}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R_9
}
{ = }{ \Z[X]/ { \left( \Phi_{9} \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y
}
{ = }{X+X^{-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Ist $Y$ eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme für den elften
\definitionsverweis {Kreisteilungsring}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R_{11}
}
{ = }{ \Z[X]/ { \left( \Phi_{11} \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y
}
{ = }{X+X^{-1}
}
{ = }{ X+X^{10}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Ist $Y$ eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für die
\definitionsverweis {Kreisteilungsringe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R_n
}
{ = }{ \Z[X]/ { \left( \Phi_{n} \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{1,2 , \ldots , 12
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
ob das Element $X+X^{-1}$ eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
ist oder nicht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Einheiten}{}{} im Ring $\Z[ \sqrt{-3}]$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} und sei
\mathl{\mu_n(L)}{}
\zusatzklammer {zu \mathlk{n \in \N_+}{}} {} {}
die Gruppe der $n$-ten
\definitionsverweis {Einheitswurzeln}{}{}
in $L$. Zeige, dass es zu jedem $n$ einen
\definitionsverweis {natürlichen}{}{}
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} { \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K ) } { \operatorname{Aut} \, (\mu_n(L))
} {}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine endliche
\definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{}
und sei $H$ der
\definitionsverweis {Kern}{}{}
des
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {} { \operatorname{Gal}\, ( K {{|}} \Q ) } { \operatorname{Aut} ( \mu_{ } { \left( K \right) } )
} {\sigma} { (\zeta \mapsto \sigma (\zeta) )
} {,}
aus
Lemma 27.8.
Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K^H
}
{ = }{ K_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei $n$ die Anzahl der Einheitswurzeln in $K$ bezeichnet.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel für eine endliche
\definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass der
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {} { \operatorname{Gal}\, ( K {{|}} \Q ) } { \operatorname{Aut} ( \mu_{ } { \left( K \right) } )
} {\sigma} { (\zeta \mapsto \sigma (\zeta) )
} {,}
aus
Lemma 27.8
nicht
\definitionsverweis {injektiv}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die
\definitionsverweis {endlichen Körpererweiterungen}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq} {\Q[ { \mathrm i} ]
}
{ \subseteq} {\Q[ { \mathrm i} , \sqrt[3]{1 +{ \mathrm i} } ]
}
{ =} {K
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass der
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {} { \operatorname{Gal}\, ( K {{|}} \Q ) } { \operatorname{Aut} ( \mu_{ } { \left( K \right) } )
} {\sigma} { (\zeta \mapsto \sigma (\zeta) )
} {,}
aus
Lemma 27.8
nicht
\definitionsverweis {surjektiv}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
und $R$ der zugehörige
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{.}
Zeige, dass es einen
\definitionsverweis {natürlichen}{}{}
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} { \operatorname{Gal}\, ( K {{|}} \Q ) } { \operatorname{Aut} \, ( R^{\times} )
} {}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
und $R$ der zugehörige
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{.}
Zeige, dass es
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismen}{}{}
\mathdisp {\operatorname{Gal}\, ( K {{|}} \Q ) \longrightarrow \operatorname{Aut} \, ( R^{\times} ) \longrightarrow \operatorname{Aut} ( \mu_{ } { \left( K \right) } )} { }
derart gibt, dass die Gesamtabbildung der Homomorphismus aus
Lemma 27.8
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Galoiserweiterung}{}{}
mit zugehörigem
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
$R$. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.
\aufzaehlungdrei{Die
\definitionsverweis {Einheiten}{}{}
bilden ein
\definitionsverweis {Algebraerzeugendensystem}{}{}
von $R$ über $\Z$.
}{Für jeden Zahlbereich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ \subset }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die
\definitionsverweis {Einheitengruppe}{}{}
$S^{\times}$ eine echte Teilmenge von $R^{\times}$.
}{Die Wirkung der
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
auf
\mathl{R^{\times}}{} ist
\definitionsverweis {treu}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Man gebe ein Beispiel von zwei \definitionsverweis {Zahlbereichen}{}{} \mathkor {} {R} {und} {S} {,} die als Ringe nicht \definitionsverweis {isomorph}{}{} sind, aber die Eigenschaft haben, dass sowohl die additiven Strukturen \mathkor {} {(R,+,0)} {und} {(S,+,0)} {} als Gruppen \definitionsverweis {isomorph}{}{} als auch die multiplikativen Strukturen \mathkor {} {(R, \cdot,1)} {und} {(S, \cdot,1)} {} als Monoide isomorph sind.
}
{} {}