Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 29/latex
\setcounter{section}{29}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$d$ und sei $R$ der zugehörige
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{.}
Zeige, dass für
\definitionsverweis {Rang}{}{}
der
\definitionsverweis {Einheitengruppe}{}{}
$R^{\times}$ die Abschätzungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{rang} \, R^{\times}
}
{ \leq} {d-1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{rang} \, R^{\times}
}
{ \geq} { \begin{cases} { \frac{ d }{ 2 } } -1, \text{ bei } d \text{ gerade} , \\ { \frac{ d-1 }{ 2 } }, \text{ bei } d \text{ ungerade} , \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gelten.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
\aufzaehlungdrei{Zeige die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { \ln \betrag { { \frac{ 1+ \sqrt{5} }{ 2 } } } }
}
{ =} { \betrag { \ln \betrag { { \frac{ 1- \sqrt{5} }{ 2 } } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Stimmt diese Gleichung auch ohne die äußeren Beträge?
}{Wie sieht es aus, wenn man die inneren Beträge weglässt?
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten auf den von $0$ verschiedenen
\definitionsverweis {reellen Zahlen}{}{}
$\R^{\times}$ die folgende Menge von vier Abbildungen.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G
}
{ =} {\{ \text{Identität}\, , \text{Negation} \, , \text{Invertierung} ,\, \text{Negation des Inversen} \}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass $G$ eine
\definitionsverweis {kommutativen Gruppe}{}{}
ist. Was ist die
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
der Abbildungen? Was ist der Isomorphietyp der Gruppe?
}{Die Gruppe $G$
\definitionsverweis {operiert}{}{}
in natürlicher Weise auf $\R^{\times}$. Bestimme die
\definitionsverweis {Bahnen}{}{}
zu dieser Operation, wie viele Elemente besitzen die Bahnen? Gibt es
\definitionsverweis {Fixpunkte}{}{?}
}{Bestimme ein übersichtliches
\definitionsverweis {Repräsentantensystem}{}{}
für die Operation aus (2).
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für den
\definitionsverweis {quadratischen Zahlbereich}{}{}
$A_D$ zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ = }{5
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Fundamentaleinheit}{}{}
$> 1$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für den
\definitionsverweis {quadratischen Zahlbereich}{}{}
$A_D$ zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ = }{6
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Fundamentaleinheit}{}{}
$> 1$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für den
\definitionsverweis {quadratischen Zahlbereich}{}{}
$A_D$ zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ = }{7
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Fundamentaleinheit}{}{}
$> 1$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass man Lemma 29.3 auch mit der zweiten Komponente formulieren kann. Zeige ferner, dass die erste Komponente nur in der \definitionsverweis {Fundamentaleinheit}{}{} minimal ist, während die zweite Komponente mehrfach minimal sein kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Einheitengruppe}{}{}
von $\Z[\sqrt{5}]$
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
zu
\mathl{\{1,-1\} \times \Z}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{\Z[Y]/ { \left( Y^2-6Y+1 \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Restklasse $y$ von $Y$ in $R$ kein Quadrat ist, wohl aber im
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
$Q(R)$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $u$ die
\definitionsverweis {Fundamentaleinheit}{}{}
von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{\Z[\sqrt{2}]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bestimme die multiplikative
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
von $u$ in $R/pR$ für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ = }{2,3,5,7,11
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Beschreibe die
\definitionsverweis {logarithmische Ableitung}{}{}
\maabbeledisp {} { R^{\times} } { \Omega_{ R {{|}} \Z }
} {f} { { \frac{ df }{ f } }
} {,}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{ \Z[\sqrt{2}]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit Hilfe einer
\definitionsverweis {Fundamentaleinheit}{}{}
von $R$. Was ist die
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
des Bildes einer Fundamentaleinheit?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Beschreibe die
\definitionsverweis {logarithmische Ableitung}{}{}
\maabbeledisp {} { R^{\times} } { \Omega_{ R {{|}} \Z }
} {f} { { \frac{ df }{ f } }
} {,}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{ \Z[\sqrt{7}]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit Hilfe einer
\definitionsverweis {Fundamentaleinheit}{}{}
von $R$. Was ist die
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
des Bildes einer Fundamentaleinheit?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass im 15.
\definitionsverweis {Kreisteilungsring}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R_{15}
}
{ = }{ \Q[X]/ { \left( \Phi_{15} \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Phi_{15}
}
{ =} { X^8-X^7+X^5-X^4+X^3-X+1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
das Element $X-1$ eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
\aufzaehlungvier{Bestimme für den 15.
\definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R_{15}
}
{ = }{ \Q[X]/ { \left( \Phi_{15} \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Phi_{15}
}
{ =} { X^8-X^7+X^5-X^4+X^3-X+1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y
}
{ = }{X+X^{-1}
}
{ = }{ X+X^{14}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ = }{ \Z[Y]
}
{ \subseteq }{ R_{15}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der von $Y$ erzeugte Unterring. Bestimme die
\definitionsverweis {Ringautomorphismen}{}{}
von $S$.
}{Ist $Y$ eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
in $S$?
}{Beschreibe die Einheitengruppe von $S$.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S
}
{ =} { \Z[Y]/ { \left( Y^4-Y^3-4Y^2+4Y+1 \right) }
}
{ \subseteq} {R_{15}
}
{ =} { \Z[X]/ { \left( X^8-X^7+X^5-X^4+X^3-X+1 \right) }
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y
}
{ = }{X+X^{-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass das Element
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Z
}
{ =} { { \frac{ 1+ \sqrt{5} }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zu $S$ gehört.
}{Schreibe $Z$ als polynomialen Ausdruck in $Y$.
}{Beschreibe $S$ als quadratische Erweiterung von $\Z[ Z]$.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
mit $r$ reellen Einbettungen und $s$ Paaren von komplexen Einbettungen und es sei
\mathl{u_1 , \ldots , u_{r+s-1}}{} ein System von
\definitionsverweis {Fundamentaleinheiten}{}{}
von $R$. Es sei $\Lambda$ das von
\mathl{L(u_1) , \ldots , L(u_{r+s-1})}{} im Untervektorraum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ = }{ { \left\{ (v_1 , \ldots , v_{r+s}) \mid \sum_{j = 1}^{r+s} v_j = 0 \right\} }
}
{ \subset }{ \R^{r+s}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erzeugte
\definitionsverweis {Gitter}{}{.}
Zeige, dass zwischen dem
\definitionsverweis {Regulator}{}{}
und dem Volumen einer
\definitionsverweis {Grundmasche}{}{}
$\mathfrak M$ von $\Lambda$ der Zusammenhang
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sqrt{r+s} \cdot \operatorname{Reg} (R)
}
{ =} { \operatorname{vol} { \left( \mathfrak M \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
besteht.
}
{} {}