Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 4/latex
\setcounter{section}{4}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und $I$ ein \definitionsverweis {Ideal}{}{.} Zeige, dass ${ \left\{ 1+x \mid x \in I \right\} }$ ein \definitionsverweis {multiplikatives System}{}{} in $R$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {multiplikatives System}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{J
}
{ \defeq} { { \left\{ f \in R \mid \text{Es gibt ein } s \in S \text{ mit } sf \in I \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein Ideal in $R$ ist, dass $I$ umfasst.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y
}
{ \subseteq }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine fixierte Teilmenge. Zeige, dass die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S
}
{ =} { { \left\{ f:\R \rightarrow \R \mid f \text{ stetig} , \, f \text{ besitzt in } T \text{ keine Nullstelle} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {multiplikatives System}{}{}
im
\definitionsverweis {Ring der stetigen Funktionen}{}{}
auf $\R$ ist.
}
{} {}
Ein \definitionsverweis {multiplikatives System}{}{} $S$ in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ heißt \definitionswort {saturiert}{,} wenn folgendes gilt: Ist $g \in R$ und gibt es ein $f \in S$, das von $g$ geteilt wird, so ist auch $g \in S$.
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.} Ein \definitionsverweis {multiplikatives System}{}{} $F \subseteq R$ nennt man einen \definitionswort {Ultrafilter}{,} wenn $0 \not\in F$ ist und wenn $F$ maximal mit dieser Eigenschaft ist.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.} Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {Nichtnullteiler}{}{} in $R$ ein \definitionsverweis {saturiertes}{}{} \definitionsverweis {multiplikatives System}{}{} bilden.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $A,B$ \definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{}
und sei
\mathl{\varphi:A \rightarrow B}{} ein \definitionsverweis {Ringhomomorphismus
}{}{.}
Zeige, dass das Urbild
\mathl{\varphi^{-1}(B^\times)}{} der Einheitengruppe ein
\definitionsverweis {saturiertes multiplikatives System}{}{}
in $A$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {multiplikatives System}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \notin }{F
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $F$ genau dann ein
\definitionsverweis {Ultrafilter}{}{}
ist, wenn es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g
}
{ \notin }{F
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{F
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und eine natürliche Zahl $n$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ fg^n
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei
\mathl{F\subset R}{} ein
\definitionsverweis {Ultrafilter}{}{.}
Zeige, dass das Komplement von $F$ ein
\definitionsverweis {minimales Primideal}{}{}
in $R$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
\mathl{{\mathfrak a} \subseteq R}{} ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
und
\mathl{M \subseteq R}{} ein
\definitionsverweis {multiplikatives System}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} \cap M
}
{ = }{ \emptyset
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige mit dem
Lemma von Zorn,
dass es dann auch ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
${\mathfrak p}$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{ {\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p} \cap M
}
{ = }{ \emptyset
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {multiplikatives System}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Überkreuzrelation}{}{}
auf der
\definitionsverweis {Produktmenge}{}{}
\mathl{R \times S}{} eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
ist, und dass für die
\definitionsverweis {Äquivalenzklassen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ r }{ s } }
}
{ \defeq }{ [(r,s)]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ r }{ s } } + { \frac{ r' }{ s' } }
}
{ \defeq} { { \frac{ rs'+r's }{ ss' } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine wohldefinierte Addition und durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ r }{ s } } \cdot { \frac{ r' }{ s' } }
}
{ \defeq} { { \frac{ rr' }{ ss' } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine wohldefinierte Multiplikation gegeben ist, derart, dass die Quotientenmenge ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {multiplikatives System}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \notin }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass die
\definitionsverweis {Nenneraufnahme}{}{}
zu $S$, also $R_S$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R_S
}
{ \defeq} { { \left\{ \frac{f}{g} \mid f \in R , \, g \in S \right\} }
}
{ \subseteq} { Q(R)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein Unterring von
\mathl{Q(R)}{} ist.
} {Zeige, dass nicht jeder Unterring von $Q(R)$ eine Nenneraufnahme ist.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{T \subseteq {\mathbb P}}{} eine Teilmenge der
\definitionsverweis {Primzahlen}{}{.}
Zeige, dass die Menge
\mathdisp {R_T = { \left\{ q \in \Q \mid q \text{ lässt sich mit einem Nenner schreiben, in dem nur Primzahlen aus } T \text{ vorkommen} \right\} }} { }
ein
\definitionsverweis {Unterring}{}{}
von $\Q$ ist. Was ergibt sich bei $T= \emptyset$,
\mathl{T= \{3 \}}{,}
\mathl{T= \{2,5 \}}{,}
\mathl{T= {\mathbb P}}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R=\Z[ { \frac{ 2 }{ 3 } }]$ der von $\Z$ und $2/3$ \definitionsverweis {erzeugte Unterring}{}{} von $\Q$. Zeige, dass $R$ alle rationalen Zahlen enthält, die sich mit einer Potenz von $3$ im Nenner schreiben lassen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und sei
\mathl{f \in R}{} mit zugehöriger
\definitionsverweis {Nenneraufnahme}{}{}
$R_f$. Beweise die
$R$-\definitionsverweis {Algebraisomorphie}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R_f
}
{ \cong} { R[T]/(Tf- 1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f,g
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Elemente. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.
\aufzaehlungsieben{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D(f)
}
{ \subseteq }{D(g)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {im
\definitionsverweis {Spektrum}{}{}
von $R$} {} {.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{rad} { \left( (f) \right) }
}
{ \subseteq }{ \operatorname{rad} { \left( (g) \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{ \operatorname{rad} { \left( (g) \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es gibt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f^n
}
{ \in }{ (g)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
}{Das Element $g$ teilt eine Potenz von $f$.
}{Es ist $g$ eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
in $R_f$.
}{Es gibt einen
$R$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{}
\maabb {} {R_g} {R_f
} {.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
\mathl{f \in R}{} ein Element und $R_f$ die zugehörige
\definitionsverweis {Nenneraufnahme}{}{.}
Zeige, dass $f$ genau dann
\definitionsverweis {nilpotent}{}{}
ist, wenn $R_f$ der Nullring ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{}
mit
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ = }{Q(R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass jeder Zwischenring
\mathbed {S} {}
{R \subseteq S \subseteq Q} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {Nenneraufnahme}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass $\mathbb Q$ keine \definitionsverweis {Algebra von endlichem Typ}{}{} über $\mathbb Z$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein Integritätsbereich und
\mathl{S \subseteq R}{} ein multiplikatives System. Zeige, dass die Primideale in $R_S$ genau denjenigen Primidealen in $R$ entsprechen, die mit $S$ einen leeren Durchschnitt haben.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei ${\mathfrak a}$ ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{{\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann gilt, wenn für alle
\definitionsverweis {Lokalisierungen}{}{}
$R_{\mathfrak p}$ gilt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{ {\mathfrak a} R_{\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {multiplikatives System}{}{.}
Zeige, dass es eine natürliche
\definitionsverweis {Ringisomorphie}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( R/ {\mathfrak a} \right) }_S
}
{ =} { R_S/ {\mathfrak a} R_S
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt, wobei links die
\definitionsverweis {Nenneraufnahme}{}{}
am Bild des multiplikativen Systems in $R/ {\mathfrak a}$ bezeichnet.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {multiplikatives System}{}{.}
In der
\definitionsverweis {Nenneraufnahme}{}{}
$R_S$ gelte
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} R_S
}
{ =} { { \left( f_1 , \ldots , f_n \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g
}
{ \in }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_1 , \ldots , a_n
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} R_g
}
{ =} { { \left( a_1 , \ldots , a_n \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Man gebe ein Beispiel einer integren, endlich erzeugten ${\mathbb C}$-Algebra $R$ und eines multiplikativen Systems
\mathbed {S \subseteq R} {}
{0 \not\in S} {}
{} {} {} {,} an derart, dass die Nenneraufnahme $R_S$ kein Körper ist, aber jedes maximale Ideal aus $R$ zum Einheitsideal in $R_S$ wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Unterringe}{}{} der \definitionsverweis {rationalen Zahlen}{}{} $\Q$, die \definitionsverweis {lokal}{}{} sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.} Zeige die Äquivalenz folgender Aussagen. \aufzaehlungzwei {$R$ hat genau ein \definitionsverweis {maximales Ideal}{}{} } {Die Menge der \definitionsverweis {Nichteinheiten}{}{} $R \setminus R^\times$ bildet ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} in $R$. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {lokaler Ring}{}{} mit \definitionsverweis {Restekörper}{}{} $K$. Zeige, dass $R$ und $K$ genau dann die gleiche \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} haben, wenn $R$ einen \definitionsverweis {Körper}{}{} enthält.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {R} {K
} {}
ein
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
in einen
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$. Zeige, dass es eine eindeutig bestimmte Faktorisierung
\mathdisp {R \longrightarrow \kappa( {\mathfrak p} ) \longrightarrow K} { }
mit einem
\definitionsverweis {Restekörper}{}{}
\mathl{\kappa( {\mathfrak p} )}{} zu einem
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
${\mathfrak p}$ gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {lokaler Ring}{}{} und ${\mathfrak a}$ ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} von $R$. Zeige, dass \maabbdisp {} { R^{\times} } { { \left( R/ {\mathfrak a} \right) }^{\times} } {} \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {R} {S
} {}
ein
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
zwischen den
\definitionsverweis {kommutativen Ringen}{}{}
\mathkor {} {R} {und} {S} {}
und es sei
\mathl{{\mathfrak p} \in \operatorname{Spek} { \left( S \right) }}{} ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{.}
Zeige, dass es natürliche Ringhomomorphismen
\maabbdisp {} {R_{ \varphi^{-1}( {\mathfrak p} )}} { S_{\mathfrak p}
} {}
\zusatzklammer {zwischen den
\definitionsverweis {Lokalisierungen}{}{}} {} {}
und
\maabbdisp {} {\kappa { \left( \varphi^{-1}( {\mathfrak p} ) \right) } } { \kappa { \left( {\mathfrak p} \right) }
} {}
\zusatzklammer {zwischen den
\definitionsverweis {Restekörpern}{}{}} {} {}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
\mathl{S \subseteq R}{} ein
\definitionsverweis {multiplikatives System}{}{}
und $M$ ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}
Definiere die \anfuehrung{Nenneraufnahme}{}
\mathdisp {M_S} { }
und zeige, dass sie ein $R_S$-Modul ist.
}
{} {}