Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 4/latex

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\zwischenueberschrift{Aufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und $I$ ein \definitionsverweis {Ideal}{}{.} Zeige, dass ${ \left\{ 1+x \mid x \in I \right\} }$ ein \definitionsverweis {multiplikatives System}{}{} in $R$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S }
{ \subseteq }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {multiplikatives System}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I }
{ \subseteq }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Ideal}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{J }
{ \defeq} { { \left\{ f \in R \mid \text{Es gibt ein } s \in S \text{ mit } sf \in I \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein Ideal in $R$ ist, dass $I$ umfasst.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y }
{ \subseteq }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine fixierte Teilmenge. Zeige, dass die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S }
{ =} { { \left\{ f:\R \rightarrow \R \mid f \text{ stetig} , \, f \text{ besitzt in } T \text{ keine Nullstelle} \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {multiplikatives System}{}{} im \definitionsverweis {Ring der stetigen Funktionen}{}{} auf $\R$ ist.

}
{} {}


Ein \definitionsverweis {multiplikatives System}{}{} $S$ in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ heißt \definitionswort {saturiert}{,} wenn folgendes gilt: Ist $g \in R$ und gibt es ein $f \in S$, das von $g$ geteilt wird, so ist auch $g \in S$.


Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.} Ein \definitionsverweis {multiplikatives System}{}{} $F \subseteq R$ nennt man einen \definitionswort {Ultrafilter}{,} wenn $0 \not\in F$ ist und wenn $F$ maximal mit dieser Eigenschaft ist.





\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.} Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {Nichtnullteiler}{}{} in $R$ ein \definitionsverweis {saturiertes}{}{} \definitionsverweis {multiplikatives System}{}{} bilden.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien $A,B$ \definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{} und sei
\mathl{\varphi:A \rightarrow B}{} ein \definitionsverweis {Ringhomomorphismus }{}{.} Zeige, dass das Urbild
\mathl{\varphi^{-1}(B^\times)}{} der Einheitengruppe ein \definitionsverweis {saturiertes multiplikatives System}{}{} in $A$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F }
{ \subseteq }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {multiplikatives System}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0 }
{ \notin }{F }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass $F$ genau dann ein \definitionsverweis {Ultrafilter}{}{} ist, wenn es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g }
{ \in }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g }
{ \notin }{F }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \in }{F }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und eine natürliche Zahl $n$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ fg^n }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei
\mathl{F\subset R}{} ein \definitionsverweis {Ultrafilter}{}{.} Zeige, dass das Komplement von $F$ ein \definitionsverweis {minimales Primideal}{}{} in $R$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
\mathl{{\mathfrak a} \subseteq R}{} ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} und
\mathl{M \subseteq R}{} ein \definitionsverweis {multiplikatives System}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} \cap M }
{ = }{ \emptyset }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige mit dem Lemma von Zorn, dass es dann auch ein \definitionsverweis {Primideal}{}{} ${\mathfrak p}$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} }
{ \subseteq }{ {\mathfrak p} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p} \cap M }
{ = }{ \emptyset }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S }
{ \subseteq }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {multiplikatives System}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Überkreuzrelation}{}{} auf der \definitionsverweis {Produktmenge}{}{}
\mathl{R \times S}{} eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} ist, und dass für die \definitionsverweis {Äquivalenzklassen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ r }{ s } } }
{ \defeq }{ [(r,s)] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ r }{ s } } + { \frac{ r' }{ s' } } }
{ \defeq} { { \frac{ rs'+r's }{ ss' } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine wohldefinierte Addition und durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ r }{ s } } \cdot { \frac{ r' }{ s' } } }
{ \defeq} { { \frac{ rr' }{ ss' } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine wohldefinierte Multiplikation gegeben ist, derart, dass die Quotientenmenge ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} wird.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S }
{ \subseteq }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {multiplikatives System}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0 }
{ \notin }{S }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} \aufzaehlungzwei {Zeige, dass die \definitionsverweis {Nenneraufnahme}{}{} zu $S$, also $R_S$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R_S }
{ \defeq} { { \left\{ \frac{f}{g} \mid f \in R , \, g \in S \right\} } }
{ \subseteq} { Q(R) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein Unterring von
\mathl{Q(R)}{} ist. } {Zeige, dass nicht jeder Unterring von $Q(R)$ eine Nenneraufnahme ist.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{T \subseteq {\mathbb P}}{} eine Teilmenge der \definitionsverweis {Primzahlen}{}{.} Zeige, dass die Menge
\mathdisp {R_T = { \left\{ q \in \Q \mid q \text{ lässt sich mit einem Nenner schreiben, in dem nur Primzahlen aus } T \text{ vorkommen} \right\} }} { }
ein \definitionsverweis {Unterring}{}{} von $\Q$ ist. Was ergibt sich bei $T= \emptyset$,
\mathl{T= \{3 \}}{,}
\mathl{T= \{2,5 \}}{,}
\mathl{T= {\mathbb P}}{?}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R=\Z[ { \frac{ 2 }{ 3 } }]$ der von $\Z$ und $2/3$ \definitionsverweis {erzeugte Unterring}{}{} von $\Q$. Zeige, dass $R$ alle rationalen Zahlen enthält, die sich mit einer Potenz von $3$ im Nenner schreiben lassen.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und sei
\mathl{f \in R}{} mit zugehöriger \definitionsverweis {Nenneraufnahme}{}{} $R_f$. Beweise die $R$-\definitionsverweis {Algebraisomorphie}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R_f }
{ \cong} { R[T]/(Tf- 1) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f,g }
{ \in }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} Elemente. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind. \aufzaehlungsieben{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D(f) }
{ \subseteq }{D(g) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {im \definitionsverweis {Spektrum}{}{} von $R$} {} {.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{rad} { \left( (f) \right) } }
{ \subseteq }{ \operatorname{rad} { \left( (g) \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \in }{ \operatorname{rad} { \left( (g) \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es gibt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f^n }
{ \in }{ (g) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} }{Das Element $g$ teilt eine Potenz von $f$. }{Es ist $g$ eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} in $R_f$. }{Es gibt einen $R$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{} \maabb {} {R_g} {R_f } {.} }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
\mathl{f \in R}{} ein Element und $R_f$ die zugehörige \definitionsverweis {Nenneraufnahme}{}{.} Zeige, dass $f$ genau dann \definitionsverweis {nilpotent}{}{} ist, wenn $R_f$ der Nullring ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{} mit \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q }
{ = }{Q(R) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass jeder Zwischenring
\mathbed {S} {}
{R \subseteq S \subseteq Q} {}
{} {} {} {,} eine \definitionsverweis {Nenneraufnahme}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass $\mathbb Q$ keine \definitionsverweis {Algebra von endlichem Typ}{}{} über $\mathbb Z$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein Integritätsbereich und
\mathl{S \subseteq R}{} ein multiplikatives System. Zeige, dass die Primideale in $R_S$ genau denjenigen Primidealen in $R$ entsprechen, die mit $S$ einen leeren Durchschnitt haben.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,} sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \in }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und sei ${\mathfrak a}$ ein \definitionsverweis {Ideal}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \in }{{\mathfrak a} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann gilt, wenn für alle \definitionsverweis {Lokalisierungen}{}{} $R_{\mathfrak p}$ gilt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \in }{ {\mathfrak a} R_{\mathfrak p} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} }
{ \subseteq }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S }
{ \subseteq }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {multiplikatives System}{}{.} Zeige, dass es eine natürliche \definitionsverweis {Ringisomorphie}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( R/ {\mathfrak a} \right) }_S }
{ =} { R_S/ {\mathfrak a} R_S }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt, wobei links die \definitionsverweis {Nenneraufnahme}{}{} am Bild des multiplikativen Systems in $R/ {\mathfrak a}$ bezeichnet.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} }
{ \subseteq }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S }
{ \subseteq }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {multiplikatives System}{}{.} In der \definitionsverweis {Nenneraufnahme}{}{} $R_S$ gelte
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} R_S }
{ =} { { \left( f_1 , \ldots , f_n \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g }
{ \in }{S }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_1 , \ldots , a_n }
{ \in }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} R_g }
{ =} { { \left( a_1 , \ldots , a_n \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Man gebe ein Beispiel einer integren, endlich erzeugten ${\mathbb C}$-Algebra $R$ und eines multiplikativen Systems
\mathbed {S \subseteq R} {}
{0 \not\in S} {}
{} {} {} {,} an derart, dass die Nenneraufnahme $R_S$ kein Körper ist, aber jedes maximale Ideal aus $R$ zum Einheitsideal in $R_S$ wird.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Unterringe}{}{} der \definitionsverweis {rationalen Zahlen}{}{} $\Q$, die \definitionsverweis {lokal}{}{} sind.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.} Zeige die Äquivalenz folgender Aussagen. \aufzaehlungzwei {$R$ hat genau ein \definitionsverweis {maximales Ideal}{}{} } {Die Menge der \definitionsverweis {Nichteinheiten}{}{} $R \setminus R^\times$ bildet ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} in $R$. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {lokaler Ring}{}{} mit \definitionsverweis {Restekörper}{}{} $K$. Zeige, dass $R$ und $K$ genau dann die gleiche \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} haben, wenn $R$ einen \definitionsverweis {Körper}{}{} enthält.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {R} {K } {} ein \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} in einen \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$. Zeige, dass es eine eindeutig bestimmte Faktorisierung
\mathdisp {R \longrightarrow \kappa( {\mathfrak p} ) \longrightarrow K} { }
mit einem \definitionsverweis {Restekörper}{}{}
\mathl{\kappa( {\mathfrak p} )}{} zu einem \definitionsverweis {Primideal}{}{} ${\mathfrak p}$ gibt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {lokaler Ring}{}{} und ${\mathfrak a}$ ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} von $R$. Zeige, dass \maabbdisp {} { R^{\times} } { { \left( R/ {\mathfrak a} \right) }^{\times} } {} \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {\varphi} {R} {S } {} ein \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} zwischen den \definitionsverweis {kommutativen Ringen}{}{} \mathkor {} {R} {und} {S} {} und es sei
\mathl{{\mathfrak p} \in \operatorname{Spek} { \left( S \right) }}{} ein \definitionsverweis {Primideal}{}{.} Zeige, dass es natürliche Ringhomomorphismen \maabbdisp {} {R_{ \varphi^{-1}( {\mathfrak p} )}} { S_{\mathfrak p} } {} \zusatzklammer {zwischen den \definitionsverweis {Lokalisierungen}{}{}} {} {} und \maabbdisp {} {\kappa { \left( \varphi^{-1}( {\mathfrak p} ) \right) } } { \kappa { \left( {\mathfrak p} \right) } } {} \zusatzklammer {zwischen den \definitionsverweis {Restekörpern}{}{}} {} {} gibt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
\mathl{S \subseteq R}{} ein \definitionsverweis {multiplikatives System}{}{} und $M$ ein $R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.} Definiere die \anfuehrung{Nenneraufnahme}{}
\mathdisp {M_S} { }
und zeige, dass sie ein $R_S$-Modul ist.

}
{} {}