Kurs:Analysis/Teil I/36/Klausur mit Lösungen/latex

%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}


%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 1 }

\renewcommand{\avier}{ 2 }

\renewcommand{\afuenf}{ 3 }

\renewcommand{\asechs}{ 3 }

\renewcommand{\asieben}{ 5 }

\renewcommand{\aacht}{ 3 }

\renewcommand{\aneun}{ 5 }

\renewcommand{\azehn}{ 6 }

\renewcommand{\aelf}{ 4 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 5 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 5 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ 3 }

\renewcommand{\aachtzehn}{ 1 }

\renewcommand{\aneunzehn}{ 64 }

\renewcommand{\azwanzig}{ }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabelleachtzehn


\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Der \stichwort {Betrag} {} eines Elementes $x$ in einem angeordneten Körper $K$.

}{Der \stichwort {Grad} {} eines Polynoms
\mathbed {P \in K[X]} {}
{P \neq 0} {}
{} {} {} {,} über einem Körper $K$.

}{Ein \stichwort {lokales Maximum} {} einer Funktion \maabbdisp {f} {D} {\R } {} \zusatzklammer {\mathlk{D \subseteq \R}{} eine Teilmenge} {} {} in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{D }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}{Die Zahl $\pi$ \zusatzklammer {gefragt ist nach der analytischen Definition} {} {.}

}{Die \stichwort {Taylor-Reihe} {} zu einer unendlich oft differenzierbaren Funktion \maabbdisp {f} {U} { {\mathbb K} } {} auf einer offenen Menge
\mathl{U \subseteq {\mathbb K}}{} in einem Punkt
\mathl{a \in U}{.}

}{Eine \stichwort {ortsunabhängige} {} \definitionsverweis {gewöhnliche Differentialgleichung}{}{}
\mathdisp {y'= f(t,y)} { . }
}

}
{

\aufzaehlungsechs{Der Betrag von
\mathl{x}{} ist folgendermaßen definiert.
\mathdisp {\betrag { x } = \begin{cases} x \text{ falls } x \geq 0 \\ -x \text{ falls } x < 0 \, . \end{cases}} { }
}{Der Grad eines von
\mathl{0}{} verschiedenen Polynoms
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P }
{ =} {a_0 + a_1X+a_2X^2 + \cdots + a_nX^n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mathl{a_n \neq 0}{} ist $n$. }{Man sagt, dass $f$ in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{D }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein lokales Maximum besitzt, wenn es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart gibt, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x' }
{ \in }{ D }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x-x' } }
{ \leq }{ \epsilon }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x) }
{ \geq} { f(x') }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt. }{Es sei $s$ die eindeutig bestimmte \definitionsverweis {reelle}{}{} \definitionsverweis {Nullstelle}{}{} der \definitionsverweis {Kosinusfunktion}{}{} auf dem \definitionsverweis {Intervall}{}{}
\mathl{[0,2]}{.} Die Kreiszahl $\pi$ ist definiert durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \pi }
{ \defeq} { 2s }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Die Taylor-Reihe zu $f$ im Entwicklungspunkt $a$ ist
\mathdisp {\sum_{ k = 0}^{ \infty } \frac{ f^{( k )}(a)}{ k !} (x-a)^{ k }} { . }
}{Ortsunabhängig bedeutet, dass die Funktion $f$ nicht von $y$ abhängt. }


}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der \stichwort {Satz über beschränkte Teilmengen} {} von $\R$.}{Der \stichwort {Satz über die stetige Fortsetzbarkeit} {} einer Funktion \maabbdisp {} {T} {{\mathbb K} } {,} wobei
\mathl{T \subseteq {\mathbb K}}{} eine Teilmenge ist.}{Der \stichwort {Mittelwertsatz der Integralrechnung} {.}}

}
{

\aufzaehlungdrei{Jede nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge der reellen Zahlen besitzt ein Supremum in $\R$.}{Es sei $\overline{ T }$ die Menge aller Berührpunkte von $T$ und \maabbdisp {f} {T} { {\mathbb K} } {} sei gleichmäßig stetig. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte stetige Fortsetzung \maabbdisp {\tilde{f}} { \overline{ T } } { {\mathbb K} } {.}}{Es sei $[a,b]$ ein kompaktes Intervall und sei \maabbdisp {f} {[a,b]} {\R } {} eine stetige Funktion. Dann gibt es ein
\mathl{c \in [a,b]}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ a }^{ b } f ( t) \, d t }
{ =} {f(c)(b-a) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}


}





\inputaufgabeklausurloesung
{1}
{

In einer psychologischen Längsschnittstudie wird die Entwicklung von Einstellungen und Verhaltensweisen von Personen untersucht. Ein Fallbeispiel: Im Alter von $20$ Jahren geht Linda regelmäßig auf Demonstrationen, sie hilft im Eine-Welt-Laden mit, braut ökologisches Bier, kocht Bio-Gemüse und studiert manchmal Soziologie.

Welcher der folgenden Befunde ist nach 10 Jahren am unwahrscheinlichsten? \aufzaehlungdrei{Linda arbeitet für eine Versicherungsagentur. }{Linda engagiert sich bei Attac und arbeitet für eine Versicherungsagentur. }{Linda engagiert sich bei Attac. }

}
{

(2) ist am unwahrscheinlichsten. Dass zwei Ereignisse gleichzeitig eintreffen ist stets unwahrscheinlicher als die beiden einzelnen Ereignisse.


}





\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{

\aufzaehlungvier{Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in genau drei Punkten schneiden. }{Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich in keinem Punkt schneiden. }{Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich in einem Punkt schneiden. }{Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in sechs Punkten schneiden. }

}
{

\aufzaehlungvier{




\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {4Geraden3Schnittpunkte.png} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { 4Geraden3Schnittpunkte.png } {} {Mgausmann} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}








$\,$ }{




\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {4GeradenKeinSchnittpunkt.png} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { 4GeradenKeinSchnittpunkt.png } {} {Mgausmann} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}








$\,$ }{




\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {4Geraden1Schnittpunkt.png} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { 4Geraden1Schnittpunkt.png } {} {Mgausmann} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}








$\,$ }{




\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {4Geraden6Schnittpunkte.png} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { 4Geraden6Schnittpunkte.png } {} {Mgausmann} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}








$\,$ }


}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Es sei \maabbdisp {\varphi} {L} {M } {} eine \definitionsverweis {surjektive Abbildung}{}{.} Zeige, dass es eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart gibt, dass man $\varphi$ als Abbildung \maabbdisp {\varphi'} {S} {M } {} auffassen kann \zusatzklammer {$\varphi$ und $\varphi'$ unterscheiden sich nur hinsichtlich des Definitionsbereiches} {} {} und dass $\varphi'$ bijektiv ist.

}
{

Wegen der Surjektivität von $\varphi$ gibt es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y }
{ \in }{ M }
{ }{}
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} mindestens ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ L }
{ }{}
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi(x) }
{ = }{y }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Wir wählen nun zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y }
{ \in }{ M }
{ }{}
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} ein solches zugehöriges $x$. Es sei $S$ die Vereinigung all dieser gewählten $x$. Die auf $S$ eingeschränkte Abbildung \maabbeledisp {\varphi'} {S} {M } {x} { \varphi(x) } {,} ist nach wie vor surjektiv, da ja jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y }
{ \in }{ M }
{ }{}
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} von einem \zusatzklammer {dem gewählten} {} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ S }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} erreicht wird. Die Abbildung ist injektiv, da es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y }
{ \in }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} in $S$ nur das eine gewählte Urbild gibt. Insgesamt ist also $\varphi'$ bijektiv.


}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Zwei Personen, \mathkor {} {A} {und} {B} {,} liegen unter einer Palme, $A$ besitzt $2$ Fladenbrote und $B$ besitzt $3$ Fladenbrote. Eine dritte Person $C$ kommt hinzu, die kein Fladenbrot besitzt, aber $5$ Taler. Die drei Personen werden sich einig, für die $5$ Taler die Fladenbrote untereinander gleichmäßig aufzuteilen. Wie viele Taler gibt $C$ an $A$ und an $B$?

}
{

Es gibt insgesamt $5$ Fladenbrote, sodass also jede Person ${ \frac{ 5 }{ 3 } }$ Brote isst. Somit gibt $A$ genau ${ \frac{ 1 }{ 3 } }$ Brot an $C$ ab und $B$ gibt ${ \frac{ 4 }{ 3 } }$ Brote an $C$ ab. $B$ gibt also $4$-mal soviel ab wie $A$ und bekommt daher $4$ Taler, und $A$ bekommt einen Taler von $C$.


}





\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {archimedisch angeordneter Körper}{}{.} Zeige, dass es zu je zwei Elementen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ < }{y }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine rationale Zahl
\mathl{n/k}{} \zusatzklammer {mit $n\in \Z,\, k \in \N_+$} {} {} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x }
{ <} { { \frac{ n }{ k } } }
{ <} { y }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt.

}
{

Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y }
{ > }{x }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y-x }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und daher gibt es nach Lemma 4.14 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ k } } }
{ < }{ y-x }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Nach Lemma 4.13 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) gibt es auch ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ n { \frac{ 1 }{ k } } }
{ >} { x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n' }
{ \in }{ \Z _- }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ n' { \frac{ 1 }{ k } } }
{ \leq} { x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Daher gibt es auch ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \in }{ \Z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart, dass
\mathdisp {n { \frac{ 1 }{ k } } > x \text{ und } (n-1){ \frac{ 1 }{ k } } \leq x} { }
ist. Damit ist einerseits
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x }
{ <} { { \frac{ n }{ k } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und andererseits
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ n }{ k } } }
{ =} { { \frac{ n-1 }{ k } } + { \frac{ 1 }{ k } } }
{ <} { x + y-x }
{ =} { y }
{ } {}
} {}{}{} wie gewünscht.


}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Vergleiche
\mathdisp {\sqrt{3} + \sqrt{10} \text{ und } \sqrt{5} + \sqrt{6}} { . }

}
{

Wir fragen uns, ob
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sqrt{3} + \sqrt{10} }
{ >} { \sqrt{5} + \sqrt{6} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist. Dies ist, da das Quadrieren von positiven Zahlen eine Äquivalenzumformung für die Größenbeziehung ist, äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3+10 + 2 \sqrt{30} }
{ =} { { \left( \sqrt{3} + \sqrt{10} \right) }^2 }
{ >} { { \left( \sqrt{5} + \sqrt{6} \right) }^2 }
{ =} { 5+6 + 2 \sqrt{30} }
{ } { }
} {}{}{.} Dies ist durch Subtraktion mit $11$ äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2 +2 \sqrt{30} }
{ >} { 2 \sqrt{30} }
{ } { }
{ } { }
{ } {}
} {}{}{,} was stimmt. Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sqrt{3} + \sqrt{10} }
{ >} { \sqrt{ 5} + \sqrt{6} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}


}





\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{

Finde die komplexen Quadratwurzeln von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{w }
{ =} { { \frac{ -5 + \sqrt{3} { \mathrm i} }{ 2 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} über den Ansatz
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(a+b { \mathrm i} )^2 }
{ =} {w }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{

Der Ansatz
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (a+b { \mathrm i} )^2 }
{ =} { a^2-b^2 + 2ab { \mathrm i} }
{ =} { w }
{ =} { { \frac{ -5 + \sqrt{3} { \mathrm i} }{ 2 } } }
{ } { }
} {}{}{} führt auf die beiden reellen Gleichungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a^2-b^2 }
{ =} { { \frac{ -5 }{ 2 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2ab }
{ =} { { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Daraus folgt direkt, dass \mathkor {} {a} {und} {b} {} nicht $0$ sein können. Wir lösen die zweite Gleichung nach $b$ auf und erhalten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b }
{ =} { { \frac{ \sqrt{3} }{ 4a } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dies setzen wir in die erste Gleichung ein und erhalten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a^2 -b^2 }
{ =} { a^2- \left( \frac{ \sqrt{3} }{ 4a } \right)^2 }
{ =} { a^2 - \left( \frac{ 3 }{ 16a^2 } \right) }
{ =} { - { \frac{ 5 }{ 2 } } }
{ } { }
} {}{}{.} Multiplikation mit $a^2$ und umstellen ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a^4+ { \frac{ 5 }{ 2 } } a^2 - { \frac{ 3 }{ 16 } } }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dies ist eine biquadratische Gleichung, die zugrunde liegende quadratische Gleichung ist \zusatzklammer {mit
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{y }
{ = }{a^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^2+ { \frac{ 5 }{ 2 } } y - { \frac{ 3 }{ 16 } } }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit den Lösungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y_1,y_2 }
{ =} { { \frac{ - { \frac{ 5 }{ 2 } } \pm \sqrt{ { \frac{ 25 }{ 4 } } + { \frac{ 3 }{ 4 } } } }{ 2 } } }
{ =} { { \frac{ - { \frac{ 5 }{ 2 } } \pm \sqrt{ { \frac{ 28 }{ 4 } } } }{ 2 } } }
{ =} { { \frac{ - { \frac{ 5 }{ 2 } } \pm \sqrt{ 7 } }{ 2 } } }
{ =} { - { \frac{ 5 }{ 4 } } \pm { \frac{ \sqrt{ 7 } }{ 2 } } }
} {}{}{.} Dabei ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y_1 }
{ =} { - { \frac{ 5 }{ 4 } } + { \frac{ \sqrt{ 7 } }{ 2 } } }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 4 } } { \left( -5 + 2 \sqrt{7} \right) } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} positiv und besitzt die reellen Quadratwurzeln
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_1,a_2 }
{ =} { \pm { \frac{ 1 }{ 2 } } \sqrt{ - 5 + 2 \sqrt{ 7 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und somit sind die komplexen Quadratwurzeln von $w$ gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z_1 }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } \sqrt{ - 5 + 2 \sqrt{ 7 } } + { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 \sqrt{ - 5 + 2 \sqrt{ 7 } } } }{ \mathrm i} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z_2 }
{ =} {- { \frac{ 1 }{ 2 } } \sqrt{ - 5 + 2 \sqrt{ 7 } } - { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 \sqrt{ - 5 + 2 \sqrt{ 7 } } } }{ \mathrm i} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}


}





\inputaufgabeklausurloesung
{6}
{

Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {reelle Folge}{}{} und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S }
{ =} {{ \left\{ { \frac{ 1 }{ n } } \mid n \in \N_+ \right\} } }
{ \subseteq} {\R }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die Funktion \maabb {f} {S} {\R } {} sei durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f { \left( { \frac{ 1 }{ n } } \right) } }
{ =} { x_n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} festgelegt. Zeige, dass $f$ genau dann \definitionsverweis {gleichmäßig stetig}{}{} ist, wenn die Folge eine \definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{} ist.

}
{

Es sei zunächst $x_n$ eine Cauchy-Folge. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} vorgegeben. Wegen der Cauchy-Eigenschaft gibt es ein $n_0$ derart, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m }
{ \geq }{ n }
{ = }{ n_0 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x_m } }
{ \leq} { \epsilon }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt. Wir wählen ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta }
{ < }{ { \frac{ 1 }{ n_0^2 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { { \frac{ 1 }{ n } } - { \frac{ 1 }{ m } } } }
{ \leq} { \delta }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m }
{ \geq }{n }
{ \geq }{n_0 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist unmittelbar
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x_m } }
{ \leq} { \epsilon }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ < }{n_0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m }
{ \geq }{n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} nach wie vor} {} {} ist \zusatzklammer {bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m }
{ > }{n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ n } } - { \frac{ 1 }{ m } } }
{ \geq} { { \frac{ 1 }{ n } } - { \frac{ 1 }{ n+1 } } }
{ =} { { \frac{ 1 }{ n(n+1) } } }
{ \geq} { { \frac{ 1 }{ (n+1)^2 } } }
{ \geq} { { \frac{ 1 }{ n_0^2 } } }
} {
\vergleichskettefortsetzung
{ >} { \delta }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{.} Das heißt, dass in diesem Fall die $\delta$-Bedingung nur bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m }
{ = }{n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} erfüllt ist.

Es sei nun $f$ gleichmäßig stetig und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} vorgegeben. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine zugehörige Aufwandsgenauigkeit. Es sei $n_0$ derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ n_0 } } }
{ \leq }{ \delta }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Dann ist für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m }
{ \geq }{n }
{ \geq }{n_0 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ n } } - { \frac{ 1 }{ m } } }
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ n } } }
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ n_0 } } }
{ \leq} { \delta }
{ } { }
} {}{}{} und somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_m-x_n } }
{ \leq} { \betrag { f(m)-f(n) } }
{ \leq} { \epsilon }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}


}





\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der Geraden, die durch die beiden Punkte \mathkor {} {(-1,1)} {und} {(4,-2)} {} verläuft.

}
{

Der Richtungsvektor der Geraden ist
\mathl{\begin{pmatrix} 5 \\-3 \end{pmatrix}}{.} Somit besitzt die Geradengleichung die Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3x+5y }
{ =} { c }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Einsetzen eines Punkt ergibt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c }
{ = }{2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y }
{ =} { { \frac{ 2- 3x }{ 5 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dies setzen wir in die Kreisgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2+y^2 }
{ =} {1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein und erhalten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2 + { \left( { \frac{ 2- 3x }{ 5 } } \right) }^2 }
{ =} { 1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} oder
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2 + { \frac{ 4 - 12x +9x^2 }{ 25 } } -1 }
{ =} { { \frac{ 34 }{ 25 } } x^2 - { \frac{ 12 }{ 25 } } x - { \frac{ 21 }{ 25 } } }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die Normierung davon ist
\mathdisp {x^2 - { \frac{ 6 }{ 17 } } x - { \frac{ 21 }{ 34 } }} { . }
Somit ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ x_{1,2} }
{ =} { { \frac{ { \frac{ 6 }{ 17 } } \pm \sqrt{ { \left( { \frac{ 6 }{ 17 } } \right) }^2 + 4 \cdot { \frac{ 21 }{ 34 } } } }{ 2 } } }
{ =} { { \frac{ { \frac{ 6 }{ 17 } } \pm \sqrt{ { \left( { \frac{ 6 }{ 17 } } \right) }^2 + { \frac{ 42 }{ 17 } } } }{ 2 } } }
{ =} { { \frac{ 6 \pm \sqrt{ 6^2 + 714 } }{ 34 } } }
{ =} { { \frac{ 6 \pm \sqrt{ 750 } }{ 34 } } }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ 6 \pm 5 \sqrt{ 30 } }{ 34 } } }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
} {}{} und
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{y_{1,2} }
{ =} { { \frac{ 2- 3x_{1,2} }{ 5 } } }
{ =} { { \frac{ 2- 3 { \left( { \frac{ 6 \pm 5 \sqrt{ 30 } }{ 34 } } \right) } }{ 5 } } }
{ =} { { \frac{ 68 - 3 { \left( 6 \pm 5 \sqrt{ 30 } \right) } }{ 170 } } }
{ =} { { \frac{ 50 \mp 15 \sqrt{ 30 } }{ 170 } } }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ 10 \mp 3 \sqrt{ 30 } }{ 34 } } }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
} {}{.} Die Schnittpunkte sind also
\mathdisp {\left( { \frac{ 6 + 5 \sqrt{ 30 } }{ 34 } } , \, { \frac{ 10 - 3 \sqrt{ 30 } }{ 34 } } \right) \text{ und } \left( { \frac{ 6 - 5 \sqrt{ 30 } }{ 34 } } , \, { \frac{ 10 + 3 \sqrt{ 30 } }{ 34 } } \right)} { . }


}





\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I }
{ \subseteq }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {offenes Intervall}{}{,} \maabb {f} {I} { \R } {} eine durch eine \definitionsverweis {Potenzreihe}{}{} gegebene Funktion und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \in }{I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart gibt, dass $f$ eine der folgenden Möglichkeiten erfüllt. \aufzaehlungvier{$f$ ist auf
\mathl{[a- \epsilon, a+ \epsilon ]}{} \definitionsverweis {konvex}{}{.} }{$f$ ist auf
\mathl{[a- \epsilon, a+ \epsilon ]}{} \definitionsverweis {konkav}{}{.} }{$f$ ist auf
\mathl{[a- \epsilon, a]}{} konvex und auf
\mathl{[a, a + \epsilon]}{} konkav. }{$f$ ist auf
\mathl{[a- \epsilon, a]}{} konkav und auf
\mathl{[a, a + \epsilon]}{} konvex. }

}
{

Nach Korollar 20.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) ist $f$ beliebig oft differenzierbar. Es sei zunächst
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f^{\prime \prime} (a) }
{ >} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dann gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart, dass $f^{\prime \prime}$ positiv auf ganz
\mathl{[a- \epsilon, a+ \epsilon]}{} ist. Dann ist $f'$ nach Satz 19.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) wachsend und somit ist $f$ nach Satz 20.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) konvex.

Bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f^{\prime \prime} (a) }
{ <} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} führt die entsprechende Argumentation dazu, dass $f$ in einer Umgebung konkav ist.

Es sei nun
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f^{\prime \prime} (a) }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Wenn $f^{\prime \prime}$ die Nullfunktion ist, so ist $f$ affin-linear und dann ist $f$ sowohl konvex als auch konkav. Es sei also $f^{\prime \prime}$ nicht die Nullfunktion. Dann gibt es eine offene $\epsilon$-Umgebung von $a$ derart, dass dort $a$ die einzige Nullstelle ist. Dann ist $f^{\prime \prime}$ auf
\mathl{[a- \epsilon, a[}{} und auf
\mathl{]a,a+ \epsilon]}{} jeweils entweder positiv oder negativ. Daraus folgt jeweils die Konvexität oder die Konkavität wie zuvor.


}





\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {reelle Sinusfunktion}{}{} eine \definitionsverweis {bijektive}{}{,} \definitionsverweis {streng wachsende}{}{} Funktion \maabbdisp {} {[- \pi/2, \pi/2]} {[-1,1] } {} induziert, und dass die \definitionsverweis {reelle Kosinusfunktion}{}{} eine bijektive, streng fallende Funktion \maabbdisp {} {[0,\pi]} {[-1,1] } {} induziert.

}
{

Die Ableitung des Sinus ist nach [[Reelle Sinus und Kosinusfunktion/Ableitung/Fakt|Kurs:Analysis/Komplexe Sinus und Kosinusfunktion/Ableitung/Fakt/Faktreferenznummer (Analysis (Osnabrück 2021-2023))]] der Kosinus. Dieser hat im Innern von
\mathl{[- \pi/2, \pi/2]}{} keine Nullstelle, da ja $\pi/2$ als kleinste positive Nullstelle des Kosinus definiert ist und da der Kosinus gerade ist. Ferner besitzt der Kosinus an der Stelle $0$ den Wert $1$. Nach dem Zwischenwertsatz muss als der Kosinus im Innern des Intervalls positiv sein. Nach Satz 19.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) ist daher der Sinus im angegebenen Intervall streng wachsend und damit injektiv. Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sin \left( - \pi/2 \right) }
{ = }{ -1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sin \left( \pi/2 \right) }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist aufgrund des Zwischenwertsatzes das Bild gleich dem Intervall
\mathl{[-1,1]}{} und der Sinus ist bijektiv.

Die Aussage für den Kosinus folgt daraus mittels [[Sinus und Kosinus/R/Periodizitätseigenschaften/Fakt|Satz . (Analysis (Osnabrück 2021-2023))  (3)]].


}





\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{

Beweise die \stichwort {Produktregel} {} für differenzierbare Funktionen mit Hilfe der linearen Approximierbarkeit.

}
{

Wir gehen von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ =} { f(a) + s (x-a) + r(x) (x-a) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g(x) }
{ =} { g(a) + \tilde{s} (x-a) + \tilde{r}(x) (x-a) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} aus, wobei die Bedingungen aus der linearen Approximierbarkeit erfüllt sein sollen, und multiplizieren die beiden Gleichungen. Dies führt zu
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{f(x) g(x) }
{ =} { ( f(a) + s (x-a) + r(x) (x-a) ) ( g(a) + \tilde{s} (x-a) + \tilde{r}(x) (x-a) ) }
{ =} { f(a)g(a) + ( sg(a) + \tilde{s} f(a)) (x-a) }
{ \, \, \, \, \,} {+ ( f(a) \tilde{r}(x) + g(a)r(x) + s \tilde{s} (x-a) \bruchhilfealign + s \tilde{r}(x) (x-a) +\tilde{s} r (x) (x-a) + r(x) \tilde{r}(x) (x-a) ) (x-a) }
{ } { }
} {} {}{.} Aufgrund von Lemma 12.12 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) für \definitionsverweis {Limiten}{}{} ist die aus der letzten Zeile ablesbare Funktion stetig mit dem Wert $0$ für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ = }{ a }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}


}





\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{

Beweise den Satz über die Ableitung in einem Extremum.

}
{

Wir können annehmen, dass $f$ ein lokales Maximum in $c$ besitzt. Es gibt also ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x) }
{ \leq }{f(c) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{ [c - \epsilon, c + \epsilon] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es sei
\mathl{{ \left( s_n \right) }_{n \in \N }}{} eine Folge mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c- \epsilon }
{ \leq }{s_n }
{ < }{ c }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} die gegen $c$ \zusatzklammer {\anfuehrung{von unten}{}} {} {} konvergiere. Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s_n- c }
{ < }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(s_n) -f(c) }
{ \leq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und somit ist der Differenzenquotient
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{ f (s_n )-f (c) }{ s_n -c } }
{ \geq} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} was sich dann nach Lemma 6.3 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) auf den Limes, also den Differentialquotienten, überträgt. Also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f'(c) }
{ \geq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Für eine Folge
\mathl{{ \left( t_n \right) }_{n \in \N }}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c + \epsilon }
{ \geq }{ t_n }
{ > }{ c }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt andererseits
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{ f (t_n )-f (c) }{ t_n -c } }
{ \leq} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Daher ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f'(c) }
{ \leq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und somit ist insgesamt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f'(c) }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}


}





\inputaufgabeklausurloesung
{5 (1+1+3)}
{

Wir betrachten das Polynom
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P }
{ =} {1+X + { \frac{ 1 }{ 2 } } X^2 +{ \frac{ 1 }{ 6 } } X^3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} \aufzaehlungdrei{Berechne die Werte von $P$ an den Stellen
\mathl{-2,-1,0,1,2}{.} }{Skizziere den Graphen von $P$ auf dem Intervall
\mathl{[-2,2]}{.} Gibt es einen Bezug zur Exponentialfunktion $e^x$? }{Bestimme eine Nullstelle von $P$ innerhalb von
\mathl{[-2,2]}{} mit einem Fehler von maximal
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 4 } }}{.} }

}
{

\aufzaehlungdrei{\wertetabellefuenfausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {-2} {-1} {0} {1} {2} }
{ $P(x)$ }
{\mazeileundfuenf { - { \frac{ 1 }{ 3 } } } { { \frac{ 1 }{ 3 } } } {1} { { \frac{ 8 }{ 3 } } } { { \frac{ 19 }{ 3 } } } } }{Da die Exponentialfunktion $e^x$ die Reihendarstellung
\mathl{\sum_{k = 0}^\infty { \frac{ x^k }{ k! } }}{} besitzt, handelt es sich bei $P$ um eine polynomiale Approximation der Exponentialfunktion. Dies erklärt für betragsmäßig kleine Werte eine gewisse Verwandtschaft mit der Exponentialfunktion, die sich im Graphen niederschlägt. }{Aufgrund des Zwischenwertsatzes muss $P$ eine Nullstelle zwischen \mathkor {} {-2} {und} {-1} {} besitzen. Zur Bestimmung der Nullstelle rechnen wir mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Q }
{ =} {6 P }
{ =} {6+6x +3x^2+x^3 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{Q (- { \frac{ 3 }{ 2 } } ) }
{ =} {6 -6 \cdot { \frac{ 3 }{ 2 } } + 3 { \left( - { \frac{ 3 }{ 2 } } \right) }^2 + { \left( - { \frac{ 3 }{ 2 } } \right) }^3 }
{ =} { 6-9 + { \frac{ 27 }{ 4 } } - { \frac{ 27 }{ 8 } } }
{ =} { -3 + { \frac{ 27 }{ 8 } } }
{ >} { 0 }
} {} {}{.} Die Nullstelle muss also zwischen \mathkor {} {-2} {und} {- { \frac{ 3 }{ 2 } }} {} liegen. } Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{Q (- { \frac{ 7 }{ 4 } } ) }
{ =} {6 -6 \cdot { \frac{ 7 }{ 4 } } + 3 { \left( - { \frac{ 7 }{ 4 } } \right) }^2 + { \left( - { \frac{ 7 }{ 4 } } \right) }^3 }
{ =} { 6- { \frac{ 21 }{ 2 } } + { \frac{ 3 \cdot 49 }{ 16 } } - { \frac{ 343 }{ 64 } } }
{ =} { - { \frac{ 9 }{ 2 } } + { \frac{ 588-343 }{ 64 } } }
{ =} { - { \frac{ 288 }{ 64 } } + { \frac{ 245 }{ 64 } } }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ <} { 0 }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
} {}{.} Also liegt eine Nullstelle im Intervall
\mathl{[ - { \frac{ 7 }{ 4 } }, - { \frac{ 3 }{ 2 } } ]}{} der Länge
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 4 } }}{.}


}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Zeige, dass die Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F(x) }
{ =} {x^4 -x^3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} im Innern von
\mathl{[0,1]}{} stets negativ ist und berechne den Flächeninhalt der durch den Graphen unterhalb von
\mathl{[0,1]}{} eingeschlossenen Fläche.

}
{

Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^4-x^3 }
{ =} { x^3(x-1) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{]0,1[ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der Faktor $x^3$ positiv und der Faktor $x-1$ negativ, auf diesem Intervall ist also die Funktion negativ und hat den Wert $0$ an den Rändern. Eine Stammfunktion ist
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 5 } } x^5- { \frac{ 1 }{ 4 } } x^4}{.} Daher ist das bestimmte Integral gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_0^1 (x^4-x^3) dx }
{ =} { [ { \frac{ 1 }{ 5 } } x^5- { \frac{ 1 }{ 4 } } x^4 ]_0^1 }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 5 } } - { \frac{ 1 }{ 4 } } }
{ =} { - { \frac{ 1 }{ 20 } } }
{ } { }
} {}{}{} und der eingeschlossene Flächeninhalt ist ${ \frac{ 1 }{ 20 } }$.


}





\inputaufgabeklausurloesung
{1}
{

Löse das \definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {y'=2 \text{ mit } y (5) = 3} { . }

}
{

Eine Lösung ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y(x) }
{ =} {2x-7 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} wie man unmittelbar durch Ableiten und Einsetzen bestätigt.


}