Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/36/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{. 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 4 }
\renewcommand{\azwei}{ 4 }
\renewcommand{\adrei}{ 4 }
\renewcommand{\avier}{ 3 }
\renewcommand{\afuenf}{ 7 }
\renewcommand{\asechs}{ 8 }
\renewcommand{\asieben}{ 4 }
\renewcommand{\aacht}{ 5 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 4 }
\renewcommand{\aelf}{ 4 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 2 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 8 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 64 }
\renewcommand{\asechzehn}{ }
\renewcommand{\asiebzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellevierzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungacht{Eine \stichwort {Relation} {} zwischen den Mengen $X$ und $Y$.
}{Der \stichwort {Betrag} {} eines Elementes $x$ in einem angeordneten Körper $K$.
}{Der \stichwort {Grad} {} eines Polynoms
\mathbed {P \in K[X]} {}
{P \neq 0} {}
{} {} {} {,}
über einem Körper $K$.
}{Ein \stichwort {lokales Maximum} {} einer Funktion
\maabbdisp {f} {D} {\R
} {}
\zusatzklammer {\mathlk{D \subseteq \R}{} eine Teilmenge} {} {}
in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Die
\stichwort {Summierbarkeit} {}
einer Familie
\mathbed {a_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
komplexer Zahlen.
}{Die Zahl $\pi$ \zusatzklammer {gefragt ist nach der analytischen Definition} {} {.}
}{Die
\stichwort {Taylor-Reihe} {}
zu einer unendlich oft differenzierbaren Funktion
\maabbdisp {f} {U} { {\mathbb K}
} {}
auf einer offenen Menge
\mathl{U \subseteq {\mathbb K}}{} in einem Punkt
\mathl{a \in U}{.}
}{Eine
\stichwort {ortsunabhängige} {}
\definitionsverweis {gewöhnliche Differentialgleichung}{}{}
\mathdisp {y'= f(t,y)} { . }
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungvier{Der
\stichwort {Satz über beschränkte Teilmengen} {}
von $\R$.}{Der
\stichwort {Satz über die Interpolation durch Polynome} {.}}{Der
\stichwort {Satz über die stetige Fortsetzbarkeit} {}
einer Funktion
\maabbdisp {} {T} {{\mathbb K}
} {,}
wobei
\mathl{T \subseteq {\mathbb K}}{} eine Teilmenge ist.}{Der
\stichwort {Mittelwertsatz der Integralrechnung} {.}}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es seien
\mathl{x,y}{} reelle Zahlen. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x- \left \lfloor x \right \rfloor
}
{ =} { y- \left \lfloor y \right \rfloor
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
genau dann gilt, wenn es ein
\mathl{n \in \Z}{} mit
\mathl{y=x+n}{} gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Entscheide, ob die
\definitionsverweis {reelle Folge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ =} { { \frac{ 5n^{ \frac{ 3 }{ 2 } } +4 n^{ \frac{ 4 }{ 3 } } +n }{ 7n^{ \frac{ 5 }{ 3 } } +6 n^{ \frac{ 3 }{ 2 } } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {mit
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ n
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
in $\R$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{}
und bestimme gegebenenfalls den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7}
{
Beweise das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion
\maabb {f} {\R} {\R
} {}
in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{8}
{
Zeige, dass es stetige Funktionen
\maabbdisp {f,g} {\R_{\geq 0}} {\R
} {,}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ fg
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
weder
\mathl{f {{|}}_{[0, \delta]}}{} noch
\mathl{g {{|}}_{[0, \delta]}}{} die Nullfunktion ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Wir betrachten das Polynom
\mathdisp {f(x)= x^4 -x^3+5x+2 \in {\mathbb C}[X]} { . }
Bestimme die $x$-Koordinaten sämtlicher Schnittpunkte der Tangente an $f$ im Punkt $x=1$ mit dem Graphen von $f$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Wir betrachten die durch
\mathdisp {f(x) = \begin{cases}x \cdot \sin \frac{1}{x} \text{ für } x \neq 0\, , \\ 0 \text{ sonst} \, , \end{cases}} { }
definierte Funktion
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {.}
Zeige, dass es zu jedem
\mathl{\lambda,\, - 1 \leq \lambda \leq 1}{,} eine Nullfolge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N } \in \R_+}{} derart gibt, dass die Folge der Differenzenquotienten
\mathdisp {{ \frac{ f(x_n) -f(0) }{ x_n } }} { }
gegen $\lambda$ konvergiert.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme für die Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} { 2^x + { \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } \right) }^x} {,} die Extrema.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{}
der Funktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ x } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
im Entwicklungspunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Ordnung $4$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Die beiden lokalen Extrema der Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { x^3 -6x^2 +9x+1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definieren ein achsenparalleles Rechteck, das vom Funktionsgraphen in zwei Bereiche zerlegt wird. Bestimme deren Flächeninhalte.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Berechne das bestimmte Integral zur Funktion
\maabbeledisp {f} {\R} {\R
} {x} {f(x) = 2x^3 +3e^x - \sin x
} {,}
über
\mathl{[-1,0]}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{8 (4+1+3)}
{
a) Bestimme die
\definitionsverweis {reelle Partialbruchzerlegung}{}{}
von
\mathdisp {{ \frac{ 4s }{ s^4-2s^2+1 } }} { . }
b) Bestimme eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} von
\mathdisp {{ \frac{ 4s }{ s^4-2s^2+1 } }} { . }
c) Bestimme eine Stammfunktion von
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ \sinh^{ 2 } t } }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Nach Satz 13.1
Nach dem Zwischenwertsatz
$5$
\mathdisp {} { }
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'
}
{ <} { { \frac{ 2t }{ t^2+1 } } y
}
{ <} {100
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}