Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Vorlesung 20

Konvexe Funktionen

Eine konvexe Teilmenge.

Eine nichtkonvexe Teilmenge.

Definition

Eine Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten ${}P,Q\in T$ auch jeder Punkt der Verbindungsstrecke, also jeder Punkt der Form

$rP+(1-r)Q{\text{ mit }}r\in [0,1],$

ebenfalls zu ${}T$ gehört.

Definition

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge und

$f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Dann nennt man die Menge

${}S(f)={\left\{(x,y)\in T\times \mathbb {R} \mid y\leq f(x)\right\}}\,$

den Subgraphen und

${}E(f)={\left\{(x,y)\in T\times \mathbb {R} \mid y\geq f(x)\right\}}\,$

den Epigraphen der Funktion.

Subgraph und Epigraph sind nach unten bzw. nach oben unbeschränkt. Im Kontext der Integrationstheorie interessiert man sich für den positiven Subgraphen, der durch die ${}x$-Achse nach unten beschränkt ist. Der Graph der Funktion gehört sowohl zum Subgraphen als auch zum Epigraphen.

Der Graph und der Epigraph einer konvexen Funktion.

Definition

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Man sagt, dass ${}f$ konvex ist, wenn der Epigraph ${}E(f)$ konvex ist.

Definition

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Man sagt, dass ${}f$ konkav ist, wenn der Subgraph ${}S(f)$ konvex ist.

Bei beiden Begriffen muss man lediglich überprüfen, ob die Verbindungsstrecke zwischen je zwei Punkten des Graphen jeweils oberhalb bzw. unterhalb des Graphen verläuft, siehe Aufgabe *****. Die Verbindungsstrecke zwischen ${}(a,f(a))$ und ${}(b,f(b))$ ist durch ${}f(a)+s{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$, ${}s\in [0,b-a]$, bzw. als Ausschnitt (zu ${}x\in [a,b]$) des Graphen zur linearen Funktion

${}g(x)=f(b){\frac {x-a}{b-a}}+f(a){\frac {x-b}{a-b}}={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}x+{\frac {-af(b)+bf(a)}{b-a}}\,$

gegeben. Im differenzierbaren Fall gibt es einfache Ableitungskriterien für diese Verhaltensweisen, wobei wir nur den konvexen Fall anführen.

Satz

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine differenzierbare Funktion.

Dann ist ${}f$ genau dann eine konvexe (konkave) Funktion, wenn die Ableitung ${}f'$ wachsend (fallend) ist.

Beweis

Es sei zunächst ${}f$ konvex und seien zwei Punkte ${}a<b$ aus ${}I$ gegeben. Es sei ${}g\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ die lineare Funktion, die ${}(a,f(a))$ und ${}(b,f(b))$ verbindet. Aufgrund der Konvexität ist ${}f(x)\leq g(x)$ für alle ${}x\in [a,b]$. Für die Differenzenquotienten gilt daher

${}{\begin{aligned}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}&\leq {\frac {g(x)-f(a)}{x-a}}\\&={\frac {g(x)-g(a)}{x-a}}\\&={\frac {g(b)-g(a)}{b-a}}\\&={\frac {g(b)-g(x)}{b-x}}\\&={\frac {f(b)-g(x)}{b-x}}\\&\leq {\frac {f(b)-f(x)}{b-x}}.\end{aligned}}$

Durch Übergang zu den Limiten für ${}x\rightarrow a$ bzw. ${}x\rightarrow b$ folgt

${}f'(a)\leq {\frac {g(b)-g(a)}{b-a}}\leq f'(b)\,.$

Es sei nun ${}f$ als nicht konvex vorausgesetzt und seien zwei Punkte ${}a<b$ aus ${}I$ mit der Eigenschaft gegeben, dass die verbindende Gerade von ${}(a,f(a))$ und ${}(b,f(b))$ nicht vollständig oberhalb des Graphen von ${}f$ verläuft. Es gibt also ein ${}c\in [a,b]$ mit ${}g(c)<f(c)$, wobei wieder ${}g$ die verbindende lineare Funktion ist. Durch Übergang zu ${}f-g$ können wir ${}f(a)=f(b)=0$ und ${}f(c)>0$ annehmen. Nach dem Mittelwertsatz gibt es Punkte ${}s\in [a,c]$ und ${}t\in [c,b]$ mit ${}f'(s)>0$ und ${}f'(t)<0$, sodass ${}f'$ nicht wachsend ist.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine zweimal differenzierbare Funktion.

Dann ist ${}f$ genau dann eine konvexe Funktion, wenn für die zweite Ableitung ${}f^{\prime \prime }(x)\geq 0$ für alle ${}x\in I$ gilt.

Beweis

Siehe Aufgabe 20.6.

$\Box$

Die folgende Aussage heißt Jensensche Ungleichung.

Satz

Es sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine konvexe Funktion, seien ${}x_{1},\ldots ,x_{n}\in I$ und ${}t_{1},\ldots ,t_{n}\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ mit ${}\sum _{i=1}^{n}t_{i}=1$.

Dann ist

${}f{\left(\sum _{i=1}^{n}t_{i}x_{i}\right)}\leq \sum _{i=1}^{n}t_{i}f(x_{i})\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe 20.22.

$\Box$

Definition

Es sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine auf einem Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$ definierte Funktion und ${}c\in I$ ein innerer Punkt von ${}I$. Man sagt, dass in ${}c$ ein Wendepunkt von ${}f$ vorliegt, wenn es ein ${}\epsilon >0$ derart gibt, dass ${}f$ auf ${}[c-\epsilon ,c]$ konvex (konkav) und auf ${}[c,c+\epsilon ]$ konkav (konvex) ist.

Für eine zweimal differenzierbare Funktion liegt nach Korollar 20.6 genau dann ein Wendepunkt in ${}c\in I$ vor, wenn ${}f^{\prime \prime }(x)\leq 0$ für ${}x\in [c-\epsilon ,c]$ und ${}f^{\prime \prime }(x)\geq 0$ für ${}x\in [c,c+\epsilon ]$ ist (oder umgekehrt). Eine notwendige Voraussetzung für die Existenz eines Wendepunktes ist somit, dass ${}f^{\prime \prime }(c)=0$ ist. Die Funktion ${}f(x)=x^{4}$ erfüllt im Nullpunkt dieses notwendige Kriterium, es liegt aber kein Wendepunkt vor.

Ableitung von Potenzreihen

Satz

Es sei

${}g=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-a)^{n}\,$

eine

konvergente Potenzreihe mit dem Konvergenzradius ${}R>0$.

Dann ist auch die formal abgeleitete Potenzreihe

${}{\tilde {g}}=\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}(z-a)^{n-1}\,$

konvergent mit demselben Konvergenzradius. Die durch die Potenzreihe ${}g$ dargestellte Funktion ${}f$ ist in jedem Punkt ${}z\in U{\left(a,R\right)}$ differenzierbar mit

${}f'(z)={\tilde {g}}(z)\,.$

Beweis

Es sei ${}s\in \mathbb {R} _{+}$, ${}s<R$, vorgegeben und sei ${}r$ mit ${}s<r<R$. Dann konvergiert ${}\sum _{n=0}^{\infty }\vert {a_{n}}\vert r^{n}$ gemäß der Definition von Konvergenzradius. Wegen ${}n\leq {\left({\frac {r}{s}}\right)}^{n}$ für ${}n$ hinreichend groß ist

${}{\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }n\vert {a_{n}}\vert s^{n-1}&=\sum _{n=1}^{N}n\vert {a_{n}}\vert s^{n-1}+\sum _{n=N+1}^{\infty }n\vert {a_{n}}\vert s^{n-1}\\&\leq \sum _{n=1}^{N}n\vert {a_{n}}\vert s^{n-1}+{\frac {1}{s}}\sum _{n=N+1}^{\infty }\vert {a_{n}}\vert r^{n},\end{aligned}}$

sodass die Potenzreihe ${}{\tilde {g}}$ in ${}B\left(a,s\right)$ und somit in ${}U{\left(a,R\right)}$ konvergiert (dafür, dass der Konvergenzradius von ${}{\tilde {g}}$ nicht größer als ${}R$ ist, siehe Aufgabe 20.8).
Die Potenzreihe

${}\rho (z)=\sum _{n=2}^{\infty }a_{n}(z-a)^{n-1}\,$

ist ebenfalls in dieser Kreisscheibe konvergent, stellt eine nach Korollar 16.9 stetige Funktion dar und besitzt in ${}a$ den Wert ${}0$. Daher zeigt die Gleichung (von Potenzreihen und dargestellten Funktionen)

${}f(z)=f(a)+a_{1}(z-a)+\rho (z)(z-a)\,,$

dass ${}f$ in ${}a$ linear approximierbar, also nach Satz 18.5 differenzierbar ist mit der Ableitung

${}f'(a)=a_{1}={\tilde {g}}(a)\,.$

Es sei nun ${}b\in U{\left(a,R\right)}$. Nach dem Entwicklungssatz gibt es eine konvergente Potenzreihe mit Entwicklungspunkt ${}b$,

${}h(z)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(z-b)^{n}\,,$

deren dargestellte Funktion mit der durch ${}g$ dargestellten Funktion in einer offenen Umgebung von ${}b$ übereinstimmt, und wobei ${}b_{1}=\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}(b-a)^{n-1}$ gilt. Daher gilt nach dem schon Bewiesenen (angewendet auf ${}h$ und die formale Potenzreihenableitung ${}{\tilde {h}}$)

${}f'(b)={\tilde {h}}(b)=b_{1}=\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}(b-a)^{n-1}={\tilde {g}}(b)\,.$

$\Box$

Korollar

Eine durch eine Potenzreihe gegebene Funktion

ist in ihrem Konvergenzbereich unendlich oft differenzierbar.

Beweis

Dies ergibt sich direkt aus Satz 20.9.

$\Box$

Satz

Die Exponentialfunktion

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \exp z,$

ist differenzierbar mit

${}\exp \!'(z)=\exp z\,.$

Beweis

Aufgrund von Satz 20.9 ist

${}{\begin{aligned}\exp \!'(z)&={\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}\right)}'\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\left({\frac {z^{n}}{n!}}\right)}'\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{n!}}z^{n-1}\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n-1)!}}z^{n-1}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}\\&=\exp z.\end{aligned}}$

$\Box$

Korollar

Die Ableitung des natürlichen Logarithmus

$\ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \ln x,$

ist

$\ln \!'\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {1}{x}}.$

Beweis

Siehe Aufgabe 20.10.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}\alpha \in \mathbb {R}$.

Dann ist die Funktion

$f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,x\longmapsto x^{\alpha },$

differenzierbar und ihre Ableitung ist

${}f'(x)=\alpha x^{\alpha -1}\,.$

Beweis

Nach Aufgabe 17.1 ist

${}x^{\alpha }=\exp \left(\alpha \,\ln x\right)\,.$

Die Ableitung nach ${}x$ ist aufgrund von Satz 20.11, Korollar 20.12 und der Kettenregel gleich

${}(x^{\alpha })'=(\exp \left(\alpha \,\ln x\right))'={\frac {\alpha }{x}}\cdot \exp \left(\alpha \,\ln x\right)={\frac {\alpha }{x}}x^{\alpha }=\alpha x^{\alpha -1}\,.$

$\Box$

Korollar

Für die eulersche Zahl gilt die Gleichheit

${}e=\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}=\exp 1\,.$

Beweis

Die äußeren Gleichheiten sind Definitionen. Aufgrund von

Korollar 20.12 ist ${}\ln \!'(1)=1$. Dies bedeutet aufgrund der Definition des Differentialquotienten insbesondere

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\ln(1+{\frac {1}{n}})}{\frac {1}{n}}}=1.$

Wir schreiben die Folgenglieder der linken Seite als ${}n\cdot \ln {\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}$ und wenden darauf die Exponentialfunktion an. Daraus ergibt sich unter Verwendung der Stetigkeit und der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion die Gleichungskette

${}{\begin{aligned}\exp 1&=\exp \left(\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(n\cdot \ln {\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}\right)}\right)\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }\exp \left(n\cdot \ln {\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}\right)\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}\\&=e.\end{aligned}}$

$\Box$

Satz

Die Sinusfunktion

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \sin z,$

ist differenzierbar mit

${}\sin \!'(z)=\cos z\,$

und die

Kosinusfunktion

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \cos z,$

ist differenzierbar mit

${}\cos \!'(z)=-\sin z\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe 20.14.

$\Box$

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