Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/10/Klausur


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Punkte 4 4 2 0 4 6 1 8 5 8 8 0 50



Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Abstandsfunktion auf einem reellen Vektorraum mit einem Skalarprodukt .
  2. Ein wegzusammenhängender metrischer Raum .
  3. Die Differenzierbarkeit einer Funktion

    in einem Punkt , wobei ein Intervall und ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum ist.

  4. Eine gleichmäßig stetige Abbildung

    zwischen den metrischen Räumen und .

  5. Ein regulärer Punkt einer differenzierbaren Abbildung

    zwischen endlichdimensionalen reellen Vektorräumen.

  6. Die Hesse-Matrix zu einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion

    in einem Punkt .

  7. Die gleichmäßige Konvergenz einer Abbildungsfolge

    wobei eine Menge und ein metrischer Raum ist.

  8. Eine sternförmige Teilmenge .


Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über Folgen und abgeschlossene Mengen in einem metrischen Raum .
  2. Der Satz über das Verhalten von Lösungen einer linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten bei einem Basiswechsel.
  3. Der Satz über die Richtungsableitungen in einem lokalen Extremum.
  4. Der Satz über die injektive Abbildung.


Aufgabe * (2 Punkte)

Beschreibe die Einschränkung der Funktion

auf die durch

gegebene Gerade (als Funktion in einer Variablen).


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (4 Punkte)

Wir betrachten im die offenen Bälle und . Man gebe für jeden Punkt

einen expliziten offenen Ball mit Mittelpunkt an, der ganz innerhalb von liegt.


Aufgabe * (6 Punkte)

Man gebe ein Beispiel einer bijektiven Abbildung

die rektifizierbar ist, deren Länge aber ist.


Aufgabe * (1 Punkt)

Es sei

eine Lösung der zeitunabhängigen Differentialgleichung

zum Vektorfeld

Zeige, dass auch

zu jedem eine Lösung ist.


Aufgabe * (8 (4+4) Punkte)

Es sei ein euklidischer Vektorraum und

ein zeitunabhängiges Zentralfeld zur stetig differenzierbaren Funktion

a) Zeige, dass das Wegintegral dieses Vektorfeldes längs eines stetig-differenzierbaren Weges, der zum Nullpunkt einen konstanten Abstand besitzt, gleich ist.

b) Zeige, dass genau dann ein Gradientenfeld ist, wenn es eine stetige Funktion

mit

gibt.


Aufgabe * (5 (2+1+2) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

a) Zeige, dass die Determinante des totalen Differentials von in jedem Punkt gleich ist.

b) Zeige, dass nicht injektiv ist.

c) Bestimme das Bild von .


Aufgabe * (8 (2+3+3) Punkte)

Es sei ein metrischer Raum und sei

eine Abbildung. Mit bezeichnen wir die -fache Hintereinanderschaltung von mit sich selbst.

a) Zeige, dass wenn Lipschitz-stetig ist, dass dann auch Lipschitz-stetig ist.

b) Man gebe ein Beispiel für eine Lipschitz-stetige Abbildung , die keine starke Kontraktion, wo aber jedes für eine starke Kontraktion ist.

c) Es sei Lipschitz-stetig und es sei eine starke Kontraktion für ein gewisses . Zeige, dass es ein derart gibt, dass für jedes eine starke Kontraktion ist.


Aufgabe * (8 Punkte)

Es sei

ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf einer offenen Menge und es sei

Zeige

wobei den einmal gegen den Uhrzeigersinn durchlaufenen Kreisweg um mit Radius bezeichnet.


Aufgabe (0 Punkte)