Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/11/Klausur


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Punkte 3 4 4 4 4 5 4 5 9 0 5 0 47



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die offene Kugel mit Mittelpunkt und Radius in einem metrischen Raum .
  2. Der Grenzwert einer Abbildung

    in , wobei metrische Räume sind, eine Teilmenge und ein Berührpunkt von ist.

  3. Eine Differentialgleichung höherer Ordnung (in einer Variablen).
  4. Die Hesse-Matrix zu einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion

    in einem Punkt .

  5. Den Tangentialraum an die Faser einer stetig differenzierbare Abbildung

    zwischen endlichdimensionalen -Vektorräumen durch einen Punkt , in dem das totale Differential surjektiv ist.

  6. Die Eigenschaft eines Vektorfeldes

    lokal einer Lipschitz-Bedingung zu genügen.


Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über zusammenhängende Teilmengen unter einer stetigen Abbildung.
  2. Der Satz über eine Differentialgleichung höherer Ordnung und das zugehörige System erster Ordnung.
  3. Der Trägheitssatz von Sylvester.
  4. Der Satz über die Differentialgleichung zu einem Gradientenfeld.


Aufgabe * (4 (1+1+1+1) Punkte)

Es seien und zwei Punkte im . Bestimme den Abstand zwischen diesen beiden Punkten in

a) der euklidischen Metrik,

b) der Summenmetrik,

c) der Maximumsmetrik.

d) Vergleiche diese verschiedenen Abstände der Größe nach.


Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)

Es sei eine Menge und

eine Abbildung.

a) Zeige, dass injektiv ist, wenn die Einschränkung auf jede (affine) Gerade injektiv ist.

b) Zeige durch ein Beispiel, dass nicht injektiv sein muss, wenn die Einschränkung auf jede Gerade durch den Nullpunkt injektiv ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel einer bijektiven Abbildung

die nicht rektifizierbar ist.


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei

ein lineares Differentialgleichungssystem auf ( ein reelles Intervall) mit einer Funktionenmatrix

wobei das zugrunde liegende Vektorfeld zugleich ein Zentralfeld sei. Zeige, dass die Matrix die Gestalt

mit einer geeigneten Funktion

besitzt.


Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

die einem Dreieck die Längenquadrate seiner Seiten zuordnet. Bestimme die regulären Punkte der Abbildung.


Aufgabe (5 (1+1+3) Punkte)

Sei

und

a) Skizziere und .

b) Zeige, dass und offen sind.

c) Zeige, dass die Abbildung

ein Diffeomorphismus ist.


Aufgabe * (9 (2+3+3+1) Punkte)

Es sei

fixiert und sei

a) Zeige, dass die Abbildung

wohldefiniert ist.

b) Sei nun zusätzlich . Zeige, dass die Abbildung aus a) eine starke Kontraktion ist (wobei mit der Maximumsnorm versehen sei).

c) Zeige, dass durch die Maximumsnorm ein vollständiger metrischer Raum wird.

d) Bestimme den Fixpunkt von .


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei

eine stetig differenzierbare Funktion und

das zugehörige Gradientenfeld. Es sei

eine stetig differenzierbare Lösung zur zugehörigen Differentialgleichung, die eine Faser zu zu zwei verschiedenen Zeitpunkten trifft. Zeige, dass konstant ist.


Aufgabe (0 Punkte)