Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/12/Klausur


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 4 5 4 3 3 0 0 4 0 0 0 0 4 0 0 8 38



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Fakultätsfunktion
  2. Eine Metrik auf einer Menge .
  3. Eine abgeschlossene Menge in einem metrischen Raum .
  4. Eine Lipschitz-stetige Abbildung

    zwischen den metrischen Räumen und .

  5. Die Jacobi-Matrix zu einer partiell differenzierbaren Abbildung

    in einem Punkt .

  6. Eine gewöhnliche Differentialgleichung zu einem (zeitabhängigen) Vektorfeld.


Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Formel für die Länge einer Kurve
  2. Das Minorenkriterium für den Typ einer symmetrischen Bilinearform.
  3. Die Mittelwertabschätzung für eine differenzierbare Abbildung

    wobei offen und und euklidische Vektorräume

    seien.
  4. Das notwendige Kriterium für die Existenz eines Extremums auf einer Hyperfläche.


Aufgabe * (5 Punkte)

Der sei mit der euklidischen Metrik versehen.

a) Man gebe eine Beispiel für einen endlichen metrischen Raum, den man als Teilraum (mit der induzierten Metrik) des , aber nicht als Teilraum von realisieren kann.

b) Man gebe eine Beispiel für einen endlichen metrischen Raum, den man nicht als Teilraum des realisieren kann.


Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)

Es sei ein nichtleerer vollständiger metrischer Raum und es seien

starke Kontraktionen.

a) Zeige, das die Verknüpfung ebenfalls eine starke Kontraktion ist.

b) Zeige durch ein Beispiel mit , dass der Fixpunkt von weder mit dem Fixpunkt zu noch mit dem Fixpunkt zu übereinstimmen muss.


Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne die Länge der archimedischen Spirale

für die Umdrehung zwischen und .


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei

mit eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten und es sei ein Eigenvektor zu zum Eigenwert . Zeige, dass die Abbildung

() eine Lösung dieses Differentialgleichungssystems ist.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die regulären Punkte der Abbildung


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (4 (1+1+2) Punkte)

Es sei

eine nullstellenfreie stetig differenzierbare Funktion und sei eine Stammfunktion zu . Es sei

mit

a) Bestimme die Jacobi-Matrix zu .

b) Zeige, dass man auf in jedem Punkt den Satz über die lokale Umkehrbarkeit anwenden kann.

c) Zeige, dass injektiv ist.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (8 (4+4) Punkte)

Es sei

eine stetig differenzierbare Funktion und

das zugehörige Gradientenfeld. Es sei

eine stetig differenzierbare Lösung zur zugehörigen Differentialgleichung und es sei ein Zeitpunkt mit

a) Es sei zweimal stetig differenzierbar. Zeige, dass konstant ist.

b) Zeige durch ein Beispiel, dass ohne die Voraussetzung aus a) nicht konstant sein muss.