Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/2/Klausur


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Punkte 4 4 6 4 8 9 4 4 10 5 2 4 64



Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Isometrie

    zwischen euklidischen Vektorräumen.

  2. Der Grenzwert einer Abbildung

    in , wobei metrische Räume sind, eine Teilmenge und ein Berührpunkt von ist.

  3. Ein wegzusammenhängender metrischer Raum .
  4. Die Differenzierbarkeit einer Funktion

    in einem Punkt , wobei ein Intervall und ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum ist.

  5. Ein (zeitabhängiges) Vektorfeld auf einer offenen Menge .
  6. Eine Differentialgleichung höherer Ordnung (in einer Variablen).
  7. Die Richtungsableitung einer Abbildung

    in Richtung , wobei endlichdimensionale reelle Vektorräume sind mit offen und .

  8. Eine Bilinearform auf einem -Vektorraum .


Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das Folgenkriterium für die Stetigkeit in einem Punkt zu einer Abbildung

    zwischen metrischen Räumen

    und .
  2. Der Fundamentalsatz der Algebra.
  3. Der Satz über den Zusammenhang zwischen partieller Ableitung und Richtungsableitung.
  4. Das Ableitungskriterium für die Lipschitz-Eigenschaft eines Vektorfeldes


Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei eine Folge in einem metrischen Raum . Es sei die Menge aller Häufungspunkte der Folge und

Zeige, dass eine abgeschlossene Teilmenge von ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Die folgende Tabelle zeigt eine Auswahl der Gastgeberländer und der Weltmeister der Fußballweltmeisterschaften von 1970 bis 2014.

Jahr Gastgeber Weltmeister

Es sei die Menge der Gastgeberländer und

die Abbildung, die dem Gastgeberland den Weltmeister zuordnet. Gibt es auf eine Metrik derart, dass zu einem vollständigen metrischen Raum wird und dass eine starke Kontraktion ist?


Aufgabe * (8 (5+3) Punkte)

a) Bestimme den Lösungsraum des linearen Differentialgleichungssystems

b) Löse das Anfangswertproblem

mit der Anfangsbedingung .


Aufgabe * (9 Punkte)

Beweise die Kettenregel für total differenzierbare Abbildungen und , wobei endlichdimensionale -Vektorräume sind.


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom zweiter Ordnung der Funktion

im Punkt .


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion

und entscheide, ob in diesen kritischen Punkten ein lokales Extremum vorliegt.


Aufgabe * (10 Punkte)

Bestimme die lokalen und globalen Extrema der auf der abgeschlossenen Kreisscheibe definierten Funktion


Aufgabe * (5 (2+1+2) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

a) Bestimme die Jacobi-Matrix zu dieser Abbildung.

b) Zeige, dass im Nullpunkt nicht regulär ist.

c) Zeige, dass in regulär ist.


Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

Es sei

eine Funktion.

a) Realisiere den Graphen von als Faser zu einer Abbildung

über .

b) Sei stetig differenzierbar. Zeige, dass die Punkte auf dem Graphen von regulär sind.


Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Wir betrachten das Vektorfeld

a) Zeige mit Hilfe der Integrabilitätsbedingung, dass ein Gradientenfeld ist.

b) Bestimme ein Potential zu .