Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/3/Klausur mit Lösungen


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Punkte 4 4 9 2 6 2 4 3 1 4 3 8 9 5 64




Aufgabe (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die offene Kugel mit Mittelpunkt und Radius in einem metrischen Raum .
  2. Die Eigenschaft zweier metrischer Räume und , zueinander homöomorph zu sein.
  3. Der Abschluss einer Teilmenge in einem metrischen Raum .
  4. Eine Lösung zu einer gewöhnlichen Differentialgleichung , wobei

    ein Vektorfeld auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ist (und ein Intervall und eine offene Teilmenge ist).

  5. Eine höhere Richtungsableitung zu einer Abbildung

    wobei endlichdimensionale -Vektorräume sind, bezüglich der Richtungen .

  6. Die Hesse-Form zu einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion

    in einem Punkt .

  7. Den Tangentialraum an die Faser einer stetig differenzierbare Abbildung

    zwischen endlichdimensionalen -Vektorräumen durch einen Punkt , in dem das totale Differential surjektiv ist.

  8. Die gleichmäßige Konvergenz einer Abbildungsfolge

    wobei eine Menge und ein metrischer Raum ist.


Lösung

  1. Die offene Kugel zum Mittelpunkt und Radius ist durch

    definiert.

  2. Zwei metrische Räume und heißen homöomorph, wenn es eine bijektive stetige Abbildung

    gibt, deren Umkehrabbildung ebenfalls stetig ist.

  3. Die Menge aller Berührpunkte von heißt der Abschluss von .
  4. Eine Abbildung

    auf einem offenen (Teil)Intervall heißt eine Lösung der Differentialgleichung, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

    1. Es ist für alle .
    2. Die Abbildung ist differenzierbar.
    3. Es ist für alle .
  5. Man sagt, dass die höhere Richtungsableitung von in Richtung existiert, wenn die höhere Richtungsableitung in Richtung existiert und davon die Richtungsableitung in Richtung existiert.
  6. Die Abbildung

    heißt die Hesse-Form im Punkt .

  7. Unter dem Tangentiaraum in an die Faser versteht man
  8. Man sagt, dass die Abbildungsfolge gleichmäßig konvergiert, wenn es eine Funktion

    derart gibt, dass es zu jedem ein gibt mit


Aufgabe (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Charakterisierung von stetigen Abbildungen

    zwischen metrischen Räumen und

    mit Folgen und mit offenen Mengen.
  2. Der Satz über die Unabhängigkeit der Topologie auf einem reellen endlichdimensionalen Vektorraum.
  3. Der Satz über die totale Differenzierbarkeit bei partieller Differenzierbarkeit.
  4. Der Satz über das Wegintegral in einem Gradientenfeld.


Lösung

  1. Folgende Aussagen sind äquivalent.
    1. ist [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|opt=Siehe}}|opt=Ziel}}|]] in jedem Punkt .
    2. Für jeden Punkt und jedes gibt es ein mit der Eigenschaft, dass aus folgt, dass ist.
    3. Für jeden Punkt und jede [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|opt=Siehe}}|opt=Ziel}}|]] in mit ist auch die Bildfolge konvergent mit dem Grenzwert .
    4. Für jede [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|opt=Siehe}}|opt=Ziel}}|]] ist auch das [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|opt=Siehe}}|opt=Ziel}}|]] offen.
  2. Es sei ein reeller endlichdimensionaler Vektorraum. Es seien zwei Skalarprodukte und auf gegeben. Dann stimmen die über die zugehörigen Normen und definierten Topologien überein, d.h. eine Teilmenge ist genau dann offen bezüglich der einen Metrik, wenn sie offen bezüglich der anderen Metrik ist.
  3. Sei offen und eine Abbildung. Seien , , die Koordinaten von und ein Punkt. Es sei angenommen, dass alle partiellen Ableitungen in einer offenen Umgebung von existieren und in stetig sind. Dann ist in (total) differenzierbar.
  4. Es sei eine offene Teilmenge und

    eine differenzierbare Funktion mit dem zugehörigen Gradientenfeld . Es sei ein stetig differenzierbarer Weg in . Dann gilt für das Wegintegral


Aufgabe (9 Punkte)

Es sei

eine stetige, streng fallende, bijektive Funktion mit der ebenfalls stetigen Umkehrfunktion

Es sei vorausgesetzt, dass das uneigentliche Integral existiert. Zeige, dass dann auch das uneigentliche Integral existiert und dass der Wert dieser beiden Integrale übereinstimmt.


Lösung

Es sei eine Stammfunktion zu der stetigen Funktion . Nach Voraussetzung existiert

Der Wert des uneigentlichen Integrals ist

Durch Addition einer Konstanten können wir annehmen.

Zu jedem ist

und wegen der Monotonie ist

Für konvergiert das rechte Integral gegen und das linke Integral gegen . Daher gibt es zu jedem ein mit

für alle .

Die Umkehrfunktion besitzt die Stammfunktion

Wir müssen zeigen, dass diese Funktion für einen Limes besitzt. Für gilt und somit ist wegen der Stetigkeit

Wir behaupten, dass auch der linke Summand einen Limes für besitzt. Dazu sei und sei wie oben gewählt. Da fallend (und bijektiv) ist, gibt es ein mit . Daher gelten für alle (mit ) die Abschätzungen

Daher ist

und das uneigentliche Integral existiert. Sein Wert ist


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei eine Folge in einem metrischen Raum . Zeige, dass die Folge genau dann gegen konvergiert, wenn in jeder offenen Menge mit alle bis auf endlich viele Folgenglieder liegen.


Lösung

Die Folge konvergiere gegen und sei eine offene Umgebung. Es gibt ein mit

Wegen der Folgenkonvergenz gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung und damit gilt.

Umgekehrt gelte die Eigenschaft für jede offene Umgebung von . Dann gilt sie insbesondere für jede offene Ballumgebung und dies bedeutet die Konvergenz der Folge.


Aufgabe (6 (3+3) Punkte)

Es seien und Teilmengen und ihre Produktmenge.

a) Zeige, dass wenn und beschränkt sind, dass dann auch beschränkt ist.

b) Zeige, dass wenn und kompakt sind, dass dann auch kompakt ist.


Lösung

a) Da die Mengen beschränkt sind, gibt es reelle Zahlen und mit

für und mit

für . Ausgeschrieben bedeutet dies, dass

und

sind. Durch Quadrieren erhält man für ein Punktepaar die Abschätzung

und somit

Also ist beschränkt.

b) Kompakt bedeutet beschränkt und abgeschlossen. Wir zeigen, dass wenn und abgeschlossen sind, dass dann auch das Produkt abgeschlossen ist, woraus mit Teil (a) die Aussage folgt. Die Abgeschlossenheit einer Teilmenge im kann man mit dem Folgenkriterium überprüfen. Es sei also eine Folge in , die in konvergiere, sagen wir gegen den Grenzwert . Nach Lemma 33.13 konvergiert dann jede Komponentenfolge und daher konvergieren die beiden Folgen und , und zwar gegen und . Da diese Folgen in bzw. liegen und diese beiden Mengen abgeschlossen sind, ist und . Also ist und somit ist die Produktmenge abgeschlossen.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass die Abbildung

surjektiv ist.


Lösung

Sei vorgegeben. Da nicht konstant ist, ist auch nicht konstant und besitzt nach dem Fundamentalsatz der Algebra eine Nullstelle. Also gibt es ein mit

also


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

ein stetiges Vektorfeld, wobei die -te Komponente nur von der -ten Variabeln abhängen möge. Es sei

ein stetig differenzierbarer Weg. Zeige, dass das Wegintegral nur von und abhängt.


Lösung

Nach Voraussetzung können wir

mit stetigen Funktionen

schreiben. Es sei eine Stammfunktion zu . Das Wegintegral ist somit

Dies hängt offenbar nicht vom Verlauf von ab.


Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

a) Zeige, dass die archimedischen Spiralen

(zu fixierten ) Lösungskurven für die Differentialgleichung (bei )

sind.

b) Man gebe eine Lösung für das Anfangswertproblem

zu dieser Differentialgleichung an.


Lösung

a) Es ist

b) Wir müssen die Bedingung

erfüllen. Der Vektor definiert eine Gerade durch den Nullpunkt und einen eindeutigen Winkel zwischen der -Achse und dieser Geraden. Daher muss , also

sein. Der Abstand des Punktes zum Nullpunkt ist . Daher ist

und somit ist

die Lösung des Anfangswertproblems.


Aufgabe (1 Punkt)

Skizziere die Funktion


Lösung Y^3/In R^2/Skizziere/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine Funktion

die im Nullpunkt partiell differenzierbar ist und dort die Eigenschaft besitzt, dass die Richtungsableitung in keine Richtung mit existiert.


Lösung

Es sei

Die partiellen Ableitungen sind die Richtungsableitungen in Richtung der Standardvektoren bzw. . Für jeden Richtungsvektor geht es um die Existenz des Limes

Bei oder ist der Zähler konstant gleich , so dass der Limes existiert. Somit existieren die partiellen Ableitungen. Wenn hingegen und beide nicht sind, so ist

und dann existiert der Limes

nicht.


Aufgabe (3 Punkte)

Begründe ohne Differentialrechnung, dass die Funktion

kein lokales Extremum besitzt.


Lösung

Die Funktion ist für streng wachsend und für streng fallend, für ist es umgekehrt. Daher kann man für jeden Punkt in einer beliebig kleinen Ballumgebung den Funktionswert von erhöhen, indem man beibehält und größer (bei ) bzw. kleiner (bei ) macht. Ebenso kann man den Funktionswert kleiner machen, indem man beibehält und größer (bei ) bzw. kleiner (bei ) macht.


Aufgabe (8 (2+2+4) Punkte)

Es sei

, und .

a) Berechne die Hesse-Matrix von im Punkt .

b) Bestimme mit a) die zweite Richtungsableitung .

c) Bestimme direkt die zweite Richtungsableitung .


Lösung

a) Es ist

und

Somit ist

Die Hesse-Matrix in ist somit gleich

b) Da die Hesse-Form bilinear ist, gilt

c) Für einen beliebigen Punkt gilt die Beziehung

mit

Also ist

und somit für

Das gleiche Verfahren, angewendet auf diese Funktion, den Vektor und die Hilfsfunktion

ergibt

und somit

Für ist daher


Aufgabe (9 (5+4) Punkte)

Es seien zwei komplexe (bzw. reelle) Polynome und

die zugehörige Abbildung. Die Determinante der Jacobi-Matrix zu sei in jedem Punkt von verschieden.

  1. Zeige, dass bei die Determinante konstant ist.
  2. Zeige durch ein Beispiel, dass bei die Determinante nicht konstant sein muss.


Lösung

  1. Die partiellen Ableitungen zu sind auch Polynome und daher ist die Determinante der Jacobi-Matrix ebenfalls ein Polynom in zwei Variablen. Wir schreiben dieses Polynom als

    wobei die Polynome in sind und . Es sei nicht konstant. Dann ist entweder (i) oder (ii) und ist ein nichtkonstantes Polynom in . Im ersten Fall gibt es einen Wert derart, dass ist. Dann ist ein nichtkonstantes Polynom in . In beiden Fällen gibt es also eine Einsetzung, die zu einem nichtkonstanten Polynom in einer Variablen führt. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra gibt es dann ein mit im Widerspruch zur Voraussetzung.

  2. Wir betrachten die reellen Polynome

    Die Jacobi-Matrix davon ist

    mit der Determinante

    Dies ist stets und insbesondere nirgendwo gleich . Die Determinante ist aber nicht konstant.


Aufgabe (5 (1+1+1+2) Punkte)

Betrachte die Abbildung

a) Erstelle die Jacobi-Matrix von .

b) Bestimme die regulären Punkte von .

c) Zeige, dass die Bedingung

erfüllt.

d) Zeige, dass die Abbildung injektiv ist.


Lösung

a) Die Jacobi-Matrix ist

b) Für ist der Rang der Matrix gleich und die Abbildung ist regulär, für wird die zweite Spalte zu und der Rang der Matrix ist . Die regulären Punkte der Abbildung sind also genau die Punkte mit .

c) Es ist

d) Es seien und

gegeben mit

Wegen

folgt sofort . Wegen

folgt wegen der Bijektivität der dritten Potenz direkt

Also ist .