Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/4/Klausur


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Punkte 4 4 6 6 8 2 2 3 4 2 4 4 4 8 3 64



Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Der Grenzwert einer Funktion

    für .

  2. Die Fakultätsfunktion
  3. Die Stetigkeit einer Abbildung

    zwischen metrischen Räumen und in einem Punkt .

  4. Eine Cauchy-Folge in einem metrischen Raum .
  5. Ein Anfangswertproblem in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum .
  6. Ein Fundamentalsystem von Lösungen eines homogenen linearen Differentialgleichungssystems mit konstanten Koeffizienten.
  7. Eine Linearform auf einem -Vektorraum , wobei ein Körper ist.
  8. Die Hesse-Matrix zu einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion

    in einem Punkt .


Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Stetigkeit einer Abbildung

    wobei einen metrischen Raum

    bezeichnet.
  2. Der Satz über die Kompaktheit unter stetigen Abbildungen.
  3. Der Satz über lokale Extrema unter Nebenbedingungen.
  4. Der Eindeutigkeitssatz für die Lösung einer lokal Lipschitz-stetigen Differentialgleichung.


Aufgabe (6 (3+3) Punkte)

Es seien Teilmengen und ihre Produktmenge.

  1. Zeige, dass genau dann offen in ist, wenn und offen sind.
  2. Zeige, dass genau dann abgeschlossen in ist, wenn und abgeschlossen sind.


Aufgabe * (6 (1+5) Punkte)

Es sei ein nichtleerer vollständiger metrischer Raum und es seien

starke Kontraktionen.

a) Zeige, das die Verknüpfung ebenfalls eine starke Kontraktion ist.

b) Zeige durch ein Beispiel mit endlichem , dass der Fixpunkt von weder mit dem Fixpunkt zu noch mit dem Fixpunkt zu übereinstimmen muss.


Aufgabe * (8 (2+4+2) Punkte)

Wir betrachten die differenzierbare Kurve

a) Skizziere das Bild dieser Kurve und den Streckenzug, der sich ergibt, wenn man das Definitionsintervall in vier gleichlange Teilintervalle unterteilt.

b) Berechne die Gesamtlänge des in a) beschriebenen Streckenzugs.

c) Zeige, dass für die Länge dieser Kurve die Abschätzung

gilt.


Aufgabe (2 Punkte)

Skizziere den Graphen der Funktion


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ein Vektorfeld der Form

mit einer stetigen Funktion

gegeben. Die Richtungsvektoren stehen also stets senkrecht zu den Ortsvektoren. Es sei und es sei

eine Lösung zur eindimensionalen Differentialgleichung

Zeige, dass

eine Lösung der Differentialgleichung

ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei offen und

eine in total differenzierbare Abbildung. Zeige, dass auch aufgefasst als Abbildung von nach in total differenzierbar ist.


Aufgabe * (4 (1+2+1) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

  1. Was ist der Definitionsbereich dieser Abbildung?
  2. Berechne die Jacobi-Matrix von in jedem Punkt .
  3. Ist die Funktion total differenzierbar?


Aufgabe * (2 Punkte)

Man gebe für vorgegebene natürliche Zahlen mit eine zweimal stetig differenzierbare Funktion

deren Hesse-Form im Nullpunkt den Typ besitzt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Untersuche die Funktion

auf Extrema.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei

Wie betrachten die Abbildung

Zeige, dass sämtliche Bildpunkte der Abbildung die Bedingung

erfüllen.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei offen und

eine stetig differenzierbare Abbildung. Zeige, dass die Menge der regulären Punkte von offen ist.


Aufgabe * (8 (2+3+3) Punkte)

Es sei

eine stetig differenzierbare Funktion.

a) Zeige, dass in einem Punkt genau dann ein lokales Maximum besitzt, wenn die Einschränkung der Funktion

auf den Graphen

im Punkt ein lokales Maximum besitzt.

b) Wie steht in dieser Situation der Satz über Extrema mit Nebenbedingungen mit dem eindimensionalen notwendigen Kriterium für ein lokales Extremum in Verbindung?

c) Man gebe ein Beispiel von zwei stetig differenzierbaren Funktionen

und einem Punkt derart, dass und linear abhängig sind und dass auf der Faser zu durch kein lokales Extremum besitzt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Lösung zum Anfangswertproblem

mit () zum Gradientenfeld zur Funktion