Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/4/Klausur mit Lösungen


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Punkte 4 4 6 6 8 2 2 3 4 2 4 4 4 8 3 64




Aufgabe (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Der Grenzwert einer Funktion

    für .

  2. Die Fakultätsfunktion
  3. Die Stetigkeit einer Abbildung

    zwischen metrischen Räumen und in einem Punkt .

  4. Eine Cauchy-Folge in einem metrischen Raum .
  5. Ein Anfangswertproblem in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum .
  6. Ein Fundamentalsystem von Lösungen eines homogenen linearen Differentialgleichungssystems mit konstanten Koeffizienten.
  7. Eine Linearform auf einem -Vektorraum , wobei ein Körper ist.
  8. Die Hesse-Matrix zu einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion

    in einem Punkt .


Lösung

  1. Es sei (oder ) ein rechtsseitig (bzw. linksseitig) unbeschränktes Intervall und

    eine Funktion. Dann heißt Grenzwert von für (bzw. ), wenn es für jedes ein (bzw. ) gibt mit für alle (bzw. ).

  2. Für , , heißt die Funktion

    die Fakultätsfunktion.

  3. Die Abbildung heißt stetig in , wenn für jedes ein derart existiert, dass

    gilt.

  4. Eine Folge in einem metrischen Raum heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist. Zu jedem , , gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung

    gilt.

  5. Es sei ein reelles Intervall, eine offene Menge und

    ein Vektorfeld auf . Es sei gegeben. Dann nennt man

    das Anfangswertproblem zur gewöhnlichen Differentialgleichung mit der Anfangsbedingung .

  6. Es sei

    mit

    ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten. Dann heißt eine Basis des Lösungsraumes ein Fundamentalsystem von Lösungen dieses Systems.

  7. Sei ein Körper und sei ein -Vektorraum. Eine lineare Abbildung

    heißt auch eine Linearform auf .

  8. Es seien die Richtungsableitungen in Richtung des -ten Einheitsvektors. Zu heißt die Matrix

    die Hesse-Matrix zu im Punkt .


Aufgabe (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Stetigkeit einer Abbildung

    wobei einen metrischen Raum

    bezeichnet.
  2. Der Satz über die Kompaktheit unter stetigen Abbildungen.
  3. Der Satz über lokale Extrema unter Nebenbedingungen.
  4. Der Eindeutigkeitssatz für die Lösung einer lokal Lipschitz-stetigen Differentialgleichung.


Lösung

  1. Die Abbildung ist genau dann stetig, wenn sämtliche Komponentenfunktionen stetig sind.
  2. Sei eine kompakte Teilmenge und

    eine stetige Abbildung. Dann ist auch das Bild

    kompakt.
  3. Es sei eine offene Teilmenge und sei

    eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei die Faser von über . Es sei

    eine differenzierbare Funktion und die eingeschränkte Funktion besitze im Punkt ein lokales Extremum auf und sei ein regulärer Punkt von . Dann ist

    d.h. die Linearform verschwindet auf dem Tangentialraum

    an der Faser von durch .
  4. Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ein reelles Intervall, eine offene Menge und

    ein stetiges Vektorfeld auf das lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt. Es sei ein offenes Teilintervall und es seien

    Lösungen des Anfangswertproblems

    Dann ist .


Aufgabe (6 (3+3) Punkte)

Es seien Teilmengen und ihre Produktmenge.

  1. Zeige, dass genau dann offen in ist, wenn und offen sind.
  2. Zeige, dass genau dann abgeschlossen in ist, wenn und abgeschlossen sind.


Lösung Ebene/Produktmenge/Offen und abgeschlossen/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (6 (1+5) Punkte)

Es sei ein nichtleerer vollständiger metrischer Raum und es seien

starke Kontraktionen.

a) Zeige, das die Verknüpfung ebenfalls eine starke Kontraktion ist.

b) Zeige durch ein Beispiel mit endlichem , dass der Fixpunkt von weder mit dem Fixpunkt zu noch mit dem Fixpunkt zu übereinstimmen muss.


Lösung

a) Es seien die Kontraktionsfaktoren zu bzw. . Dann ist für beliebige Punkte

und somit kann man als Kontraktionsfaktor für die Verknüpfung nehmen.

b) Wir betrachten die drei Punkte

mit dem reellen Abstand. Dies ist als abgeschlossene Teilmenge von ein vollständiger metrischer Raum. Wir betrachten die konstante Abbildung

und mit

Die konstante Abbildung ist eine starke Kontraktion (mit Kontraktionsfaktor ) und ist eine starke Kontraktion mit Kontraktionsfaktor ; es ist ja

und

Der Fixpunkt von ist und der Fixpunkt von ist . Dagegen ist

es ist also der Fixpunkt der Verknüpfung.


Aufgabe (8 (2+4+2) Punkte)

Wir betrachten die differenzierbare Kurve

a) Skizziere das Bild dieser Kurve und den Streckenzug, der sich ergibt, wenn man das Definitionsintervall in vier gleichlange Teilintervalle unterteilt.

b) Berechne die Gesamtlänge des in a) beschriebenen Streckenzugs.

c) Zeige, dass für die Länge dieser Kurve die Abschätzung

gilt.


Lösung

b) Die Unterteilungspunkte sind
Der Sinus hat dabei folgende Werte:

Dabei ergibt sich die zweite Gleichung aus

und der Kreisgleichung . Die dritte Gleichung folgt daraus aus der Symmetrie des Sinus.

Die erste Teilstrecke des Streckenzugs verbindet die beiden Punkte und , deren Länge ist also

Die zweite Teilstrecke des Streckenzugs verbindet die beiden Punkte und , deren Länge ist also

Die dritte Teilstrecke ist gleichlang zur zweiten und die vierte Teilstrecke ist gleichlang zur ersten. Daher ist die Gesamtlänge dieses Streckenzugs insgesamt gleich

c) Da die Kurve stetig differenzierbar ist, ist sie auch rektifizierbar, und ihre Länge ist gleich

Wegen ist und daher ist . Wegen der Monotonie der Quadratwurzel folgt

Also ist


Aufgabe (2 Punkte)

Skizziere den Graphen der Funktion


Lösung Betrag der Summe/Skizze/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein Vektorfeld der Form

mit einer stetigen Funktion

gegeben. Die Richtungsvektoren stehen also stets senkrecht zu den Ortsvektoren. Es sei und es sei

eine Lösung zur eindimensionalen Differentialgleichung

Zeige, dass

eine Lösung der Differentialgleichung

ist.


Lösung

Es ist einerseits

und andererseits ebenso

so dass eine Lösung vorliegt.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei offen und

eine in total differenzierbare Abbildung. Zeige, dass auch aufgefasst als Abbildung von nach in total differenzierbar ist.


Lösung Totale Differenzierbarkeit/K/R/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 (1+2+1) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

  1. Was ist der Definitionsbereich dieser Abbildung?
  2. Berechne die Jacobi-Matrix von in jedem Punkt .
  3. Ist die Funktion total differenzierbar?


Lösung

  1. Es ist

    daher ist der Definitionsbereich .

  2. Die partiellen Ableitungen sind

    Die Jacobi-Matrix ist also

  3. Da die partiellen Ableitungen überall existieren und stetig sind, ist die Funktion nach Fakt ***** total differenzierbar.


Aufgabe (2 Punkte)

Man gebe für vorgegebene natürliche Zahlen mit eine zweimal stetig differenzierbare Funktion

deren Hesse-Form im Nullpunkt den Typ besitzt.


Lösung

Wir betrachten die Funktion

Die partiellen Ableitungen sind

Damit sind alle gemischten zweiten Ableitungen und es ist

Die Hesse-Matrix ist also eine Diagonalmatrix mit positiven und negativen Einträgen. Nach dem Trägheitssatz von Sylvester besitzt die Hesse-Form den Typ .


Aufgabe (4 Punkte)

Untersuche die Funktion

auf Extrema.


Lösung

Die partiellen Ableitungen der Funktion sind

und

Eine notwendige Voraussetzung für die Existenz eines lokalen Extremums ist, dass der Gradient ist. Aus

folgt sofort

also und daraus

Es kann also allenfalls im Punkt

ein lokales Extremum vorliegen.

Die Hesse-Matrix der Funktion ist

Der Eintrag links oben ist also negativ und die Determinante ist positiv. Daher ist die Hesse-Matrix negativ definit und somit liegt in ein lokales Maximum vor. Da es sonst kein weiteres lokales Extremum gibt, ist dieses Maximum isoliert und global.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

Wie betrachten die Abbildung

Zeige, dass sämtliche Bildpunkte der Abbildung die Bedingung

erfüllen.


Lösung

Es ist

daher ist

da ja nach Voraussetzung ist. Die linke Seite der zu überprüfenden Gleichung ist

Die rechte Seite ist ebenfalls


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei offen und

eine stetig differenzierbare Abbildung. Zeige, dass die Menge der regulären Punkte von offen ist.


Lösung

Es seien die Koordinatenfunktionen zu und sei

die Jacobi-Matrix zu . Die Abbildung ist in einem Punkt genau dann regulär, wenn die Jacobi-Matrix bijektiv ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn ihre Determinante ungleich ist. Nach Voraussetzung sind die Einträge in der Matrix stetige Funktionen. Da die Determinante eine polynomiale Funktion ist, ist die Gesamtabbildung

stetig. Die Menge der regulären Punkte ist das Urbild der offenen Menge unter dieser Abbildung, also offen.


Aufgabe (8 (2+3+3) Punkte)

Es sei

eine stetig differenzierbare Funktion.

a) Zeige, dass in einem Punkt genau dann ein lokales Maximum besitzt, wenn die Einschränkung der Funktion

auf den Graphen

im Punkt ein lokales Maximum besitzt.

b) Wie steht in dieser Situation der Satz über Extrema mit Nebenbedingungen mit dem eindimensionalen notwendigen Kriterium für ein lokales Extremum in Verbindung?

c) Man gebe ein Beispiel von zwei stetig differenzierbaren Funktionen

und einem Punkt derart, dass und linear abhängig sind und dass auf der Faser zu durch kein lokales Extremum besitzt.


Lösung

a) Die Abbildung

ist eine stetige Bijektion zwischen den reellen Zahlen und dem Graphen zu dieser Funktion. Dabei gilt die Beziehung

In einer solchen Situation übersetzen sich die Extremaleigenschaften von und von ineinander.

b) Den Graphen kann man als Faser zur Abbildung

über auffassen. Wenn die Linearform

auf dieser Faser in einem Punkt ein lokales Extremum besitzt, so besagt der Satz über die Extrema mit Nebenbedingungen, dass und linear abhängig sind. Dies ist genau bei

der Fall, und dies ist die notwendige Bedingung dafür, dass in ein lokales Extremum besitzt.

c) Wir setzen

und

(wir arbeiten also mit und schließen an die Überlegungen aus Teil b) an). Die totalen Differentiale sind dann und . Im Punkt liegt also lineare Abhängigkeit vor. Die Funktion hat aber auf der zugehörigen Faser (das ist der Graph zu ) kein lokales Extremum, was wegen a) daraus folgt, dass die Funktion kein lokales Extremum besitzt.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Lösung zum Anfangswertproblem

mit () zum Gradientenfeld zur Funktion


Lösung

Das Gradientenfeld ist durch

geben, es handelt sich also um ein lineares Vektorfeld. Da jeder Vektor ein Eigenvektor zum Eigenwert zur Matrix ist, sind die Lösungen durch

gegeben.