Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/5/Klausur mit Lösungen


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Punkte 4 4 11 4 4 5 3 1 7 4 5 12 64




Aufgabe (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Abstandsfunktion auf einem reellen Vektorraum mit einem Skalarprodukt .
  2. Ein Berührpunkt zu einer Teilmenge eines metrischen Raumes .
  3. Die Vollständigkeit eines metrischen Raumes .
  4. Ein Zentralfeld

    auf einem reellen endlichdimensionalen Vektorraum .

  5. Ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten (über ).
  6. Der Typ einer symmetrischen Bilinearform auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum .
  7. Die Eigenschaft eines Vektorfeldes, einer Lipschitz-Bedingung zu genügen.
  8. Eine sternförmige Teilmenge .


Lösung

  1. Zu zwei Vektoren nennt man

    den Abstand zwischen und .

  2. Sei ein metrischer Raum und eine Teilmenge. Ein Punkt heißt Berührpunkt von , wenn zu jedem der Durchschnitt
  3. Ein metrischer Raum heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in konvergiert.
  4. Es sei eine offene Teilmenge in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum , ein Intervall und es sei

    eine Funktion. Dann heißt das Vektorfeld

    ein Zentralfeld.

  5. Eine Differentialgleichung der Form

    wobei

    eine Matrix mit Einträgen ist, heißt homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.

  6. Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform . Man sagt, dass eine solche Bilinearform den Typ

    besitzt, wobei

    und

    ist.

  7. Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ein reelles Intervall, eine offene Menge und

    ein Vektorfeld auf . Man sagt, dass das Vektorfeld einer Lipschitz-Bedingung genügt, wenn es eine reelle Zahl gibt mit

    für alle und .

  8. Eine Teilmenge heißt sternförmig bezüglich eines Punktes , wenn für jeden Punkt die Verbindungsstrecke , , ganz in liegt.


Aufgabe (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das Vergleichskriterium für eine fallende Funktion
  2. Der Satz über das Wegintegral bei Umparametrisierung.
  3. Der Satz über totale Differenzierbarkeit und Richtungsableitungen.
  4. Der Satz über die Vollständigkeit von Abbildungsräumen.


Lösung

  1. Sei ein rechtsseitig unbeschränktes Intervall und sei

    eine stetige fallende Funktion mit für alle . Dann existiert das uneigentliche Integral

    genau dann, wenn die Reihe

    konvergiert.
  2. Es sei eine offene Teilmenge in einem euklidischen Vektorraum,

    ein stetiges Vektorfeld und

    eine stetig differenzierbare Kurve. Es sei

    eine bijektive, monoton wachsende, stetig differenzierbare Funktion und sei . Dann gilt

  3. Seien und endlichdimensionale -Vektorräume, eine offene Teilmenge, und eine im Punkt differenzierbare Abbildung. Dann ist in in jede Richtung differenzierbar, und es gilt
  4. Es sei eine kompakte Teilmenge, es sei ein euklidischer Vektorraum und es sei

    der Vektorraum der stetigen Abbildungen von nach . Dann ist , versehen mit der Maximumsnorm, ein

    vollständiger metrischer Raum.


Aufgabe (11 (4+7) Punkte)

a) Sei

eine monoton fallende stetige Funktion. Es sei vorausgesetzt, dass das uneigentliche Integral

existiert. Zeige, dass

ist.

b) Man zeige durch ein Beispiel, dass die Aussage in a) für eine stetige, nicht monoton fallende Funktion nicht gelten muss.


Lösung

a) Da das uneigentliche Integral existiert sind insbesondere die eigentlichen Integrale für nach oben beschränkt, sagen wir durch die Schranke . Nehmen wir an, dass die Funktion für nicht gegen konvergiert. Dann gibt es ein derart, dass es zu jedem ein mit gibt. Wegen der Monotonie gilt auch für alle . Daher ist

Wir wählen so, dass ist und erhalten einen Widerspruch.

b) Wir betrachten die Funktion

die folgendermaßen definiert ist. Wenn zu einem Intervall der Form

(mit einer natürlichen Zahl ) gehört, so setzen wir

und sonst. Dabei ist für natürliche Zahlen , wie sich direkt durch Einsetzen ergibt. Da andererseits ist, existiert kein Grenzwert für . Die Abbildung ist stetig, wie sich ebenfalls durch Einsetzen an den Übergangsstellen ergibt. Um zu zeigen, dass das uneigentliche Integral existiert, betrachten wir zu natürlichen Zahlen die Integrale

Da es sich um ein Dreieck mit Grundseite und Höhe handelt, ist dieses Integral gleich (man kann auch durch abschätzen). Daher ist

Da die Reihe rechts konvergiert, ist die linke Seite nach oben beschränkt, daher existiert das uneigentliche Integral.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein metrischer Raum. Zeige, dass jede endliche Teilmenge abgeschlossen ist.


Lösung

Die endliche Punktmenge bestehe aus . Wir müssen zeigen, dass das Komplement dieser Punktmenge offen ist. D.h. wir müssen zeigen, dass es zu jedem Punkt , , eine offene Ballumgebung gibt, die ganz in liegt. Wegen ist . Wir setzen . Dann enthält keinen der Punkte.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

eine stetig differenzierbare Kurve und sei

eine lineare Isometrie. Beweise die Längengleichheit


Lösung

Für eine stetig differenzierbare Kurve

gilt

Die Kurve ist ebenfalls stetig differenzierbar, und nach der Kettenregel gilt

da linear ist. Da eine Isometrie ist, stimmt die Norm von mit der Norm von überein. Daher ist


Aufgabe (5 Punkte)

Sei

gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zum Vektorfeld


Lösung

Es ist

Für die geraden Exponenten heben sich die Summanden zu und weg, zu ungeraden Exponenten verdoppeln sie sich. Daher ist dieses Integral gleich


Aufgabe (3 Punkte)

Wir betrachten das lineare Differentialgleichungssystem

Zeige, dass die Lösung des zugehörigen Anfangswertproblems mit der Anfangsbedingung

durch

gegeben ist.


Lösung

Die Anfangsbedingung ist offenbar erfüllt. Ferner ist einerseits

und andererseits

so dass eine Lösung der Differentialgleichung vorliegt.


Aufgabe (1 Punkt)

Skizziere die Funktion


Lösung Skizziere/x^2+y/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (7 (2+1+1+3) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

mit

a) Zeige, dass stetig ist.

b) Zeige, dass die Einschränkung von auf jede Gerade durch den Nullpunkt eine lineare Abbildung ist.

c) Zeige, dass zu im Nullpunkt in jede Richtung die Richtungsableitung existiert.

d) Zeige, dass im Nullpunkt nicht total differenzierbar ist.


Lösung

  1. Für ist

    Für eine gegen konvergente Folge konvergiert auch gegen und damit konvergiert wegen dieser Abschätzung auch die Bildfolge unter der Funktion gegen . Daher liegt Stetigkeit im Nullpunkt vor. An den anderen Punkten liegt eine rationale, also stetige Funktion vor.

  2. Die Gerade sei durch

    mit parametrisiert. Die Einschränkung ist somit

    also linear.

  3. Die Richtungsableitung in Richtung im Nullpunkt hängt nur vom Verhalten der Funktion auf der durch gegebenen Geraden ab. Nach Teil (2) ist dies eine lineare Funktion, so dass die Richtungsableitung existiert.
  4. Nach Teil (2) ist die Richtungsableitung im Nullpunkt in Richtung durch gegeben. Die Richtungsableitung in Richtung des ersten Standardvektors ist somit und die Richtungsableitung in Richtung des zweiten Standardvektors ist . Die Richtungsableitung in Richtung ist . Wenn die Funktion total differenzierbar wäre, so würde aber
    gelten.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestätige die Kettenregel für für die beiden differenzierbaren Abbildungen

und


Lösung

Die zusammengesetzte Abbildung ist durch

gegeben, ihre Ableitung ist

Die Jacobi-Matrix zu ist

und die Jacobi-Matrix zu ist

Daher ist die Jacobi-Matrix zu in einem Punkt gleich

Das zu bildende Matrixprodukt dieser beiden Matrizen ist

Dies stimmt natürlich mit der direkt bestimmten Ableitung überein.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

Begründe, ob die Abbildung

injektiv ist oder nicht.


Lösung

Die Abbildung ist nicht injektiv. Um dies zu zeigen, weisen wir nach, dass es verschiedene Zahlen mit

gibt. Für ein solches Paar ist dann

Die Bedingung bedeutet

und ist wegen der Injektivität der Exponentialfunktion äquivalent zu

was wiederum auf

führt. Die Abbildung

ist stetig und hat in eine Nullstelle, ist für positiv und konvergiert für gegen . Somit nimmt die Funktion in einem Punkt ihr Maximum an (übrigens ist ). Für jedes gibt es dann nach dem Zwischenwertsatz ein mit

und ein mit

Da es unendlich viele gibt, kann man auch sichern.


Aufgabe (12 (4+4+4) Punkte)

Es soll eine (quaderförmige) Schachtel mit den Seitenlängen angefertigt werden, deren Inhalt gleich

sein soll.

a) Wie müssen gewählt werden, damit der Materialaufwand für die sechs Seiten kritisch (also extremal sein könnte) wird?

b) Ist der Materialaufwand unter der in a) beschriebenen Situation minimal oder maximal?

c) Für die Luxusversion der Schachtel aus Teil a) soll die kleinste Seitenfläche (vorne und hinten) mit einer Goldfolie bedeckt werden. Die Materialkosten für eine solche Seite sind dreimal so hoch wie für eine normale Seite. Für welche Seitenlängen sind nun die Materialkosten extremal?


Lösung

a) Wir schreiben die Inhaltsbedingung als

und die Flächenfunktion (bis auf den Faktor ) als

Die Ableitungen in einem Punkt sind

und

Den Ansatz für die lineare Abhängigkeit schreiben wir als

Die Differenz von je zwei der Gleichungen führt auf

Wären die drei Zahlen alle untereinander verschieden, so würde sich durch kürzen sofort der Widerspruch

ergeben. Bei

ergibt sich

und daraus mit der zweiten Zeile

also

was außerhalb des Definitionsbereiches liegt. Die einzige Möglichkeit für einen extremalen Punkt ist also

(und ). Wegen

ist dieser Punkt .

b) Wir arbeiten mit der Abbildung

Diese stiftet eine lokale Bijektion zwischen einer offenen Umgebung von und einer offenen Umgebung von der Faser von , so dass es zu untersuchen genügt, ob die Funktion

in ein Maximum oder ein Minimum besitzt. Es gilt

Das totale Differential davon ist

mit dem kritischen Punkt . Die Hesse-Matrix dazu ist

Für den kritischen Punkt ist der Eintrag links oben positiv und die Determinante ist

Daher ist die Matrix positiv definit und somit liegt ein lokales Minimum vor.

c) Sei

Die Zielfunktion ist jetzt

Die Lagrange-Bedingung ist somit

Die Differenz der ersten beiden Gleichungen ist

Bei ergibt sich

und daraus mit

der Wert

was nicht erlaubt ist. Also ist

Aus

folgt

Aus

ergibt sich

Aus der Volumenbedingung

folgt

und