Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/6/Klausur


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Punkte 4 4 7 2 6 1 4 3 2 8 5 4 4 6 4 64



Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Norm zu einem Skalarprodukt auf einem -Vektorraum .
  2. Eine offene Menge in einem metrischen Raum .
  3. Ein zusammenhängender metrischer Raum .
  4. Eine kompakte Teilmenge .
  5. Eine Lösung zu einem Anfangswertproblem

    zu einem Vektorfeld

    auf einer offenen Teilmenge .

  6. Eine Differentialgleichung höherer Ordnung (in einer Variablen).
  7. Ein -Diffeomorphismus zwischen den offenen Mengen und in euklidischen Vektorräumen .
  8. Eine nicht-ausgeartete Bilinearform.


Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das Majorantenkriterium für uneigentliche Integrale.
  2. Der Satz über das Maximum von Funktionen auf kompakten Teilmengen.
  3. Die Kettenregel für total differenzierbare Abbildungen.
  4. Die Charakterisierung von Gradientenfeldern mit Wegintegralen auf einer offenen Menge .


Aufgabe * (7 (1+2+2+2) Punkte)

a) Zeige, dass für die Abschätzung

gilt.

b) Zeige, dass die Funktion mit

für monoton wachsend ist.

c) Zeige, dass gilt.

d) Zeige, dass für die Fakultätsfunktion für die Abschätzung

gilt.


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ein metrischer Raum. Zeige, dass die offenen Kugeln offen sind.


Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise die Aussage, dass eine Folge im (versehen mit der euklidischen Metrik) genau dann konvergiert, wenn sämtliche Komponentenfolgen konvergieren.


Aufgabe * (1 Punkt)

Die folgende Tabelle zeigt die Gastgeberländer und die Weltmeister der Fußballweltmeisterschaften von 1978 bis 2014.

Jahr Gastgeber Weltmeister

Es sei die Menge der Gastgeberländer und

die Abbildung, die dem Gastgeberland den Weltmeister zuordnet. Gibt es auf eine Metrik derart, dass zu einem vollständigen metrischen Raum wird und dass eine starke Kontraktion ist?


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein euklidischer Vektorraum der Dimension und Punkte mit

Zeige, dass es eine stetig differenzierbare Kurve

mit , und für alle gibt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das Wegintegral zum Vektorfeld

längs des Weges


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme eine Lösungskurve der ortsunabhängigen Differentialgleichung

auf .


Aufgabe * (8 (4+4) Punkte)

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und

ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Es sei die Menge der unendlich oft stetig differenzierbaren Funktionen von nach . Wir betrachten die Abbildung

mit

Man erhält also aus der Funktion die neue Funktion , indem man an einem Punkt die Richtungsableitung der Funktion in Richtung berechnet.

  1. Zeige

    für .

  2. Es sei mit . Zeige, dass auf allen (Bildern der) Lösungen zur Differentialgleichung konstant ist.


Aufgabe * (5 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

Zeige, dass ein Punkt genau dann ein regulärer Punkt von ist, wenn die Koordinaten von paarweise verschieden (also , und ) sind.


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom zweiter Ordnung der Funktion

im Punkt .


Aufgabe * (4 Punkte)

Untersuche die Funktion

auf kritische Punkte und Extrema.


Aufgabe * (6 Punkte)

Zeige, dass der Punkt der einzige nichtreguläre Punkt der Faser zur Abbildung

über ist.


Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Wir betrachten das Vektorfeld

a) Zeige mit Hilfe der Integrabilitätsbedingung, dass ein Gradientenfeld ist.

b) Bestimme ein Potential zu .