Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/7/Klausur


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 4 4 4 7 4 3 7 1 1 3 2 5 6 3 7 4 65



Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Das uneigentliche Integral zu einer stetigen Funktion
  2. Die Konvergenz einer Folge in einem metrischen Raum .
  3. Eine gleichmäßig stetige Abbildung

    zwischen den metrischen Räumen und .

  4. Die Länge eines Streckenzugs

    mit .

  5. Ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten (über ).
  6. Die Richtungsableitung einer Abbildung

    in einem Punkt in Richtung eines Vektors .

  7. Die Gramsche Matrix zu einer Bilinearform auf einem -Vektorraum bezüglich einer Basis von .
  8. Die Integrabilitätsbedingung eines differenzierbaren Vektorfeldes

    wobei eine offene Teilmenge ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Stetigkeit von linearen Abbildungen.
  2. Die Folgencharakterisierung von kompakten Teilmengen .
  3. Der Satz über den Lösungsraum eines diagonalisierbaren linearen Differentialgleichungssystems mit konstanten Koeffizienten.
  4. Die Taylor-Formel für eine -fach stetig differenzierbare Funktion
    in einem Punkt .


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass das offene Einheitsintervall und das abgeschlossene Einheitsintervall nicht homöomorph sind.


Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Folgencharakterisierung von kompakten Teilmengen .


Aufgabe * (4 Punkte)

Berechne die Länge des Graphen der Funktion

zwischen und .


Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das Wegintegral zur archimedischen Spirale

im Vektorfeld


Aufgabe * (7 (5+2) Punkte)

a) Bestimme den Lösungsraum des linearen Differentialgleichungssystems

b) Löse das Anfangswertproblem

mit der Anfangsbedingung


Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme zur Funktion

die Richtungsableitung in Richtung für jeden Punkt.


Aufgabe (1 Punkt)

Skizziere die Nullstellenmenge (die Niveaumenge zum Wert ) einer Funktion

mit und der Eigenschaft, dass in kein lokales Minimum besitzt, dass aber die Einschränkung von auf jede Gerade durch den Nullpunkt ein lokales Minimum besitzt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung

in jedem Punkt.


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei

Zeige, dass die Wärmeleitungsgleichung

erfüllt.


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion, wobei eine offene Menge sei. Zeige, dass für und die Beziehung

gilt.


Aufgabe * (6 (4+1+1) Punkte)

Es sei

eine stetig differenzierbare Funktion mit

für alle .

a) Zeige, dass in einen kritischen Punkt besitzt.

b) Man gebe ein Beispiel für eine solche Funktion, die in ein isoliertes lokales Maximum besitzt.

c) Man gebe ein Beispiel für eine solche Funktion, die in kein Extremum besitzt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei

eine total differenzierbare Abbildung derart, dass es eine reelle Zahl gibt mit

für alle . Zeige, dass die Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes erfüllt.


Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Satz über implizite Abbildungen für den Fall einer linearen surjektiven Abbildung

Für welche Punkte sind die Voraussetzungen des Satzes erfüllt?


Aufgabe * (4 Punkte)

Für eine Party soll eine Bowle gemischt werden, wobei Euro zur Verfügung stehen. Die Zutaten sind Orangensaft, Erdbeeren, Rum und Sekt. Die Preisfunktion ist

Die Stimmungsfunktion wird durch

beschrieben. Bei welchem Mischungsverhältnis wird die Stimmung optimiert? (Es genügt, den (die) kritischen Punkt(e) für die Lagrange-Bedingung auszurechnen).