Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/7/Klausur mit Lösungen


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 4 4 4 7 4 3 7 1 1 3 2 5 6 3 7 4 65




Aufgabe (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Das uneigentliche Integral zu einer stetigen Funktion
  2. Die Konvergenz einer Folge in einem metrischen Raum .
  3. Eine gleichmäßig stetige Abbildung

    zwischen den metrischen Räumen und .

  4. Die Länge eines Streckenzugs

    mit .

  5. Ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten (über ).
  6. Die Richtungsableitung einer Abbildung

    in einem Punkt in Richtung eines Vektors .

  7. Die Gramsche Matrix zu einer Bilinearform auf einem -Vektorraum bezüglich einer Basis von .
  8. Die Integrabilitätsbedingung eines differenzierbaren Vektorfeldes

    wobei eine offene Teilmenge ist.


Lösung

  1. Unter dem uneigentlichen Integral zu versteht man den Grenzwert

    falls dieser existiert.

  2. Man sagt, dass die Folge konvergiert, wenn es ein gibt, das folgende Eigenschaft erfüllt: Zu jedem , , gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung

    gilt.

  3. Die Abbildung heißt gleichmäßig stetig, wenn es zu jedem ein gibt mit folgender Eigenschaft: Für alle mit ist .
  4. Man nennt

    die Gesamtlänge des Streckenzugs.

  5. Eine Differentialgleichung der Form

    wobei

    eine Matrix mit Einträgen ist, heißt homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.

  6. Unter der Richtungsableitung von in in Richtung versteht man den Grenzwert

    falls dieser existiert.

  7. Die -Matrix

    heißt die Gramsche Matrix von bezüglich der Basis.

  8. Die Integrabilitätsbedingung besagt, dass

    für alle und alle gilt.


Aufgabe (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Stetigkeit von linearen Abbildungen.
  2. Die Folgencharakterisierung von kompakten Teilmengen .
  3. Der Satz über den Lösungsraum eines diagonalisierbaren linearen Differentialgleichungssystems mit konstanten Koeffizienten.
  4. Die Taylor-Formel für eine -fach stetig differenzierbare Funktion
    in einem Punkt .


Lösung

  1. Es sei mit der euklidischen Metrik versehen und sei

    eine lineare Abbildung. Dann ist

    stetig.
  2. Sei eine Teilmenge. Dann ist genau dann kompakt, wenn jede Folge in eine in konvergente Teilfolge besitzt.
  3. Es sei

    mit

    eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten. Die Matrix sei diagonalisierbar mit den linear unabhängigen Eigenvektoren . Dann ist der Lösungsraum der Differentialgleichung gleich

    wobei der Eigenwert zu ist.
  4. Für alle gilt die Beziehung

    wobei

    ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass das offene Einheitsintervall und das abgeschlossene Einheitsintervall nicht homöomorph sind.


Lösung

Die Folge , , liegt in , sie besitzt dort aber keinen Häufungspunkt (und keine konvergente Teilfolge). Nehmen wir an, es gebe eine Homöomorphie

Dann hat die Bildfolge die gleichen Eigenschaften. Diese beschränkte Folge besitzt aber nach dem Satz von Bolzano-Weierstrass in eine konvergente Teilfolge, die gegen konvergiert. Da abgeschlossen ist, gilt nach Satz 33.16- Widerspruch.


Aufgabe (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Folgencharakterisierung von kompakten Teilmengen .


Lösung

Wenn nicht beschränkt ist, so gibt es zu jeder natürlichen Zahl ein mit . Diese Folge kann keine konvergente Teilfolge besitzen. Wenn nicht abgeschlossen ist, so gibt es nach Satz 33.16 eine Folge , die gegen ein , konvergiert. Jede Teilfolge davon konvergiert ebenfalls gegen , so dass es keine in konvergente Teilfolge geben kann.

Sei nun abgeschlossen und beschränkt, und sei eine Folge vorgegeben. Für diese Folge ist insbesondere jede Komponentenfolge beschränkt. Wir betrachten die erste Komponente . Nach dem Satz von Bolzano-Weierstrass gibt es eine Teilfolge derart, dass die erste Komponente dieser Folge konvergiert. Aus dieser Teilfolge wählen wir nun eine weitere Teilfolge derart, dass auch die zweite Komponentenfolge konvergiert. Insgesamt erhält man durch dieses Verfahren eine Teilfolge, wo jede Komponentenfolge konvergiert. Nach Lemma 33.13 konvergiert dann die gesamte Teilfolge in . Da abgeschlossen ist, liegt nach Satz 33.16 der Grenzwert in .


Aufgabe (4 Punkte)

Berechne die Länge des Graphen der Funktion

zwischen und .


Lösung

Es ist . Daher ist die Länge des Graphen gleich dem Integral (mit der Substitution )


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne das Wegintegral zur archimedischen Spirale

im Vektorfeld


Lösung

Es ist


Aufgabe (7 (5+2) Punkte)

a) Bestimme den Lösungsraum des linearen Differentialgleichungssystems

b) Löse das Anfangswertproblem

mit der Anfangsbedingung


Lösung

a) Wir berechnen die Eigenwerte der Matrix. Das charakteristische Polynom davon ist

Daher sind und die Eigenwerte, und daher ist die Matrix diagonalisierbar.

Zur Bestimmung eines Eigenvektors zum Eigenwert berechnen wir den Kern von

Dies ergibt den Eigenvektor zum Eigenwert und damit die erste Fundamentallösung

Zur Bestimmung eines Eigenvektors zum Eigenwert berechnen wir den Kern von

Dies ergibt den Eigenvektor zum Eigenwert und damit die zweite Fundamentallösung

Die allgemeine Lösung hat demnach die Form


b) Um das Anfangsproblem zu lösen müssen wir und so bestimmen, dass

ist. Dies ist ein lineares Gleichungssystem, Addition führt auf , also und daher . Die Lösung des Anfangswertproblems ist also


Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme zur Funktion

die Richtungsableitung in Richtung für jeden Punkt.


Lösung

Es ist


Aufgabe (1 Punkt)

Skizziere die Nullstellenmenge (die Niveaumenge zum Wert ) einer Funktion

mit und der Eigenschaft, dass in kein lokales Minimum besitzt, dass aber die Einschränkung von auf jede Gerade durch den Nullpunkt ein lokales Minimum besitzt.


Lösung Funktion/Kein lokales Minimum/Minimum längs jeder Geraden/Skizze/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung

in jedem Punkt.


Lösung

Die partiellen Ableitungen sind

und

Somit ist die Jacobi-Matrix in einem Punkt gleich


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei

Zeige, dass die Wärmeleitungsgleichung

erfüllt.


Lösung

Es ist

und

wie behauptet.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion, wobei eine offene Menge sei. Zeige, dass für und die Beziehung

gilt.


Lösung

Es ist einerseits

Andererseits ist

Mit Hinzunahme des Faktors stimmen die beiden Ausdrücke überein.


Aufgabe (6 (4+1+1) Punkte)

Es sei

eine stetig differenzierbare Funktion mit

für alle .

a) Zeige, dass in einen kritischen Punkt besitzt.

b) Man gebe ein Beispiel für eine solche Funktion, die in ein isoliertes lokales Maximum besitzt.

c) Man gebe ein Beispiel für eine solche Funktion, die in kein Extremum besitzt.


Lösung

a) Wir zeigen, dass im Nullpunkt sämtliche Richtungsableitungen verschwinden. Dazu sei , und die zugehörige Gerade durch den Nullpunkt. Die Richtungsableitung in Richtung kann man allein auf dieser Geraden bestimmen. Mit ist auch . Die Voraussetzung überträgt sich also auf die Gerade und wir können annehmen, dass eine differenzierbare Funktion

mit der gegebenen Symmetrieeigenschaft vorliegt. Nach der eindimensionalen Kettenregel ist

Für ist somit

und daher ist

b) Sei

Diese Funktion hat überall negative Werte und nur im Nullpunkt den Wert , es liegt also ein isoliertes globales Maximum vor. Offenbar ist .

c) Sei

Diese Funktion hat auf der durch gegebenen Diagonalen ein isoliertes Minimum und auf der durch gegebenen Nebendiagonalen ein isoliertes Maximum. Insgesamt liegt also kein Extremum vor. Auch hier ist .


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei

eine total differenzierbare Abbildung derart, dass es eine reelle Zahl gibt mit

für alle . Zeige, dass die Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes erfüllt.


Lösung

Der ist nicht leer und vollständig. Mit je zwei Punkten enthält er auch die Verbindungsstrecke. Daher ist die Mittelwertabschätzung anwendbar und es ist

Wegen

liegt eine starke Kontraktion vor.


Aufgabe (7 Punkte)

Beweise den Satz über implizite Abbildungen für den Fall einer linearen surjektiven Abbildung

Für welche Punkte sind die Voraussetzungen des Satzes erfüllt?


Lösung

Es ist und sei ein beliebiger Punkt. Bei einer linearen Abbildung stimmt das totale Differential mit der linearen Abbildung überein. Da diese nach Voraussetzung surjektiv ist, sind die Voraussetzungen des Satzes für jeden Punkt erfüllt. Ferner folgt aus der Surjektivität. Es sei der Kern der linearen Abbildung, der nach dem Dimensionssatz die Dimension besitzt. Daher gibt es eine lineare Isomorphie , die eine lineare injektive Abbildung definiert.

Die Faser durch , also das Urbild von , ist die Teilmenge
und ergibt sich daher aus dem Kern durch verschieben um . Insgesamt erhalten wir

wobei vorne eine lineare injektive Abbildung (deren Bild gleich ist) und hinten eine Verschiebung steht. Daher ist die Abbildung stetig differenzierbar und injektiv. Das Bild von ist nach der Vorüberlegung genau , so dass eine Bijektion vorliegt.

Als Verknüpfung einer linearen Einbettung und einer Verschiebung ist in jedem Punkt regulär. Das totale Differential von ist , da das totale Differential einer Verschiebung die Identität ist. Wegen gilt auch der Zusatz.


Aufgabe (4 Punkte)

Für eine Party soll eine Bowle gemischt werden, wobei Euro zur Verfügung stehen. Die Zutaten sind Orangensaft, Erdbeeren, Rum und Sekt. Die Preisfunktion ist

Die Stimmungsfunktion wird durch

beschrieben. Bei welchem Mischungsverhältnis wird die Stimmung optimiert? (Es genügt, den (die) kritischen Punkt(e) für die Lagrange-Bedingung auszurechnen).


Lösung

Die Gradienten der beiden Funktionen sind

und

Die Lagrange-Bedingung führt auf

Multiplikation der einzelnen Zeilen mit den zugehörigen Variablen führt auf

und

Mit dem Ansatz

ergibt sich

und

Die Preisbedingung führt auf

und damit auf

Also ist