Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/8/Klausur


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Punkte 4 4 6 4 2 10 4 4 4 6 6 5 5 64



Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Metrik auf einer Menge .
  2. Die Kurvenlänge einer Kurve
  3. Das Wegintegral zu einem stetigen Vektorfeld

    und einer stetig differenzierbaren Kurve

  4. Die totale Differenzierbarkeit einer Abbildung

    in einem Punkt .

  5. Die Niveaumenge zu einer Funktion

    über .

  6. Ein regulärer Punkt einer differenzierbaren Abbildung

    zwischen endlichdimensionalen reellen Vektorräumen.

  7. Das Taylor-Polynom im Punkt vom Grad einer -fach differenzierbaren Abbildung
  8. Das Gradientenfeld zu einer differenzierbaren Funktion

    auf einem euklidischen Vektorraum .


Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Banachsche Fixpunktsatz.
  2. Das Lösungsverfahren für ein durch ein Zentralfeld
    gegebenes Anfangswertproblem.
  3. Der Satz über die Umkehrabbildung.
  4. Der Satz von Picard-Lindelöf.


Aufgabe * (6 (3+1+2) Punkte)

Es sei eine nichtleere Menge, und das -fache Produkt der Menge mit sich selbst.

a) Zeige, dass auf durch

eine Metrik definiert wird.

b) Bestimme zu und den Abstand .

c) Liste für und alle Elemente aus der offenen Kugel auf.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien und metrische Räume und es seien

zwei stetige Abbildungen. Zeige, dass die Menge

abgeschlossen in ist.


Aufgabe * (2 Punkte)

Beschreibe (ohne weitere Begründung) den Lauf des Sekundenzeigers einer Uhr als eine differenzierbare Kurve auf dem Einheitskreis (der Zeiger soll also im Zeitintervall eine Runde im Uhrzeigersinn drehen und zum Zeitpunkt „oben“ starten).


Aufgabe * (10 Punkte)

Beweise den Banachschen Fixpunktsatz.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei

eine stetig differenzierbare Funktion mit für . Zeige (die anschaulich klare Aussage), dass die Bogenlänge des Graphen von über mit der Bogenlänge des Graphen der Umkehrfunktion über übereinstimmt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Löse das lineare Anfangswertproblem


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom zweiter Ordnung der Funktion

im Punkt .


Aufgabe * (6 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

Für welche , , besitzt die zugehörige dreistufige (maximale) untere Treppenfunktion zu den maximalen Flächeninhalt? Welchen Wert besitzt er?


Aufgabe * (6 (2+2+2) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

a) Bestimme die regulären Punkte der Abbildung .

b) Zeige, dass in lokal eine differenzierbare Umkehrabbildung besitzt, und bestimme das totale Differential von im Punkt .

c) Man gebe alle Punkte an, in denen nicht lokal invertierbar ist.


Aufgabe * (5 Punkte)

Bestimme die ersten drei Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die gewöhnliche Differentialgleichung

mit der Anfangsbedingung .


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei

ein Gradientenfeld und sei

( ein offenes Intervall) eine Lösung der zugehörigen Differentialgleichung . Es gelte für alle . Zeige, dass injektiv ist.