Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/8/Klausur mit Lösungen


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Punkte 4 4 6 4 2 10 4 4 4 6 6 5 5 64




Aufgabe (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Metrik auf einer Menge .
  2. Die Kurvenlänge einer Kurve
  3. Das Wegintegral zu einem stetigen Vektorfeld

    und einer stetig differenzierbaren Kurve

  4. Die totale Differenzierbarkeit einer Abbildung

    in einem Punkt .

  5. Die Niveaumenge zu einer Funktion

    über .

  6. Ein regulärer Punkt einer differenzierbaren Abbildung

    zwischen endlichdimensionalen reellen Vektorräumen.

  7. Das Taylor-Polynom im Punkt vom Grad einer -fach differenzierbaren Abbildung
  8. Das Gradientenfeld zu einer differenzierbaren Funktion

    auf einem euklidischen Vektorraum .


Lösung

  1. Eine Abbildung heißt Metrik, wenn für alle die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
    1. (Definitheit),
    2. (Symmetrie), und
    3. (Dreiecksungleichung).
  2. Unter der Kurvenlänge von versteht man
  3. Das Wegintegral ist
  4. Die Abbildung heißt total differenzierbar in , wenn es eine -lineare Abbildung mit der Eigenschaft

    gibt, wobei eine in stetige Abbildung mit ist und die Gleichung für alle mit gilt.

  5. Die Niveaumenge zu zum Wert ist
  6. Der Punkt heißt regulär, wenn

    ist.

  7. Das Taylor-Polynom vom Grad zu in ist
  8. Die Abbildung

    heißt Gradientenfeld zu .


Aufgabe (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Banachsche Fixpunktsatz.
  2. Das Lösungsverfahren für ein durch ein Zentralfeld
    gegebenes Anfangswertproblem.
  3. Der Satz über die Umkehrabbildung.
  4. Der Satz von Picard-Lindelöf.


Lösung

  1. Es sei ein nicht-leerer vollständiger metrischer Raum und
    eine stark kontrahierende Abbildung. Dann besitzt genau einen Fixpunkt.
  2. Zu und einer Lösung

    der eindimensionalen Differentialgleichung

    ist

    eine Lösung des Anfangswertproblems

  3. Es seien und euklidische Vektorräume, sei offen und es sei

    eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei ein Punkt derart, dass das totale Differential

    bijektiv ist. Dann gibt es eine offene Menge und eine offene Menge mit und mit derart, dass eine Bijektion

    induziert, und dass die Umkehrabbildung

    ebenfalls stetig differenzierbar ist.
  4. Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ein reelles Intervall, eine offene Menge und

    ein Vektorfeld auf . Es sei vorausgesetzt, dass dieses Vektorfeld stetig sei und lokal einer Lipschitz-Bedingung genüge. Dann gibt es zu jedem ein offenes Intervall  mit derart, dass auf diesem Intervall eine eindeutige Lösung für das Anfangswertproblem

    existiert.


Aufgabe (6 (3+1+2) Punkte)

Es sei eine nichtleere Menge, und das -fache Produkt der Menge mit sich selbst.

a) Zeige, dass auf durch

eine Metrik definiert wird.

b) Bestimme zu und den Abstand .

c) Liste für und alle Elemente aus der offenen Kugel auf.


Lösung

a) Die Anzahl ist stets eine nichtnegative Zahl. Zwei Tupel sind genau dann gleich, wenn jede ihrer Komponenten übereinstimmt. Dies ist genau dann der Fall, wenn ist. Da die (Un-)gleichheit symmetrisch ist, ist . Zum Beweis der Dreiecksungleichung seien vorgegeben. Wenn und in der -ten Komponente nicht übereinstimmen, so ist oder . Es ist also

und daher

b) Die beiden Tupel und unterscheiden sich an der ersten und der vierten Stelle, also ist der Abstand .

c) Die Werte der Metrik sind ganzzahlig, und in der offenen Ballumgebung mit Radius liegen die Elemente, die vom Mittelpunkt einen Abstand haben. Der Abstand zum Mittelpunkt muss also oder sein. Die Elemente darin sind daher


Aufgabe (4 Punkte)

Es seien und metrische Räume und es seien

zwei stetige Abbildungen. Zeige, dass die Menge

abgeschlossen in ist.


Lösung

Wir zeigen, dass das Komplement offen ist. Sei also ein Punkt mit

und sei

Wegen der Stetigkeit von und gibt es mit den Eigenschaften:

Wenn , dann

und

Wenn , dann .

Dies gilt dann auch für

Daher gelten für die Abschätzungen

d.h. diese offene Ballumgebung gehört vollständig zum Komplement.


Aufgabe (2 Punkte)

Beschreibe (ohne weitere Begründung) den Lauf des Sekundenzeigers einer Uhr als eine differenzierbare Kurve auf dem Einheitskreis (der Zeiger soll also im Zeitintervall eine Runde im Uhrzeigersinn drehen und zum Zeitpunkt „oben“ starten).


Lösung

Die Bewegung des Sekundenzeigers wird durch

beschrieben.


Aufgabe (10 Punkte)

Beweise den Banachschen Fixpunktsatz.


Lösung

Es sei , , ein Kontraktionsfaktor, d.h. es gelte

für alle . Wenn Fixpunkte sind, so folgt aus

sofort und somit , es kann also maximal einen Fixpunkt geben.
Sei nun ein beliebiger Punkt. Wir betrachten die durch

rekursiv definierte Folge in . Wir setzen . Dann gilt für jedes die Beziehung

Daher gilt aufgrund der Dreiecksungleichung und der geometrischen Reihe für die Beziehung

Zu einem gegebenen wählt man mit . Dies zeigt, dass eine Cauchy-Folge vorliegt, die aufgrund der Vollständigkeit gegen ein konvergiert.
Wir zeigen, dass dieses ein Fixpunkt ist. Die Bildfolge konvergiert gegen , da eine kontrahierende Abbildung stetig ist. Andererseits stimmt diese Bildfolge mit der Ausgangsfolge bis auf die Indizierung überein, so dass der Grenzwert sein muss.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

eine stetig differenzierbare Funktion mit für . Zeige (die anschaulich klare Aussage), dass die Bogenlänge des Graphen von über mit der Bogenlänge des Graphen der Umkehrfunktion über übereinstimmt.


Lösung

Die Funktion ist wegen streng wachsend und insbesondere injektiv, und definiert aufgrund des Zwischenwertsatzes eine Bijektion zwischen und . Die Umkehrfunktion ist ebenfalls stetig differenzierbar mit

In dieser Situation können wir die Längenformel für den Graphen anwenden und erhalten mit der Substitution (und )


Aufgabe (4 Punkte)

Löse das lineare Anfangswertproblem


Lösung

Aus der zweiten Zeile folgt sofort

wobei die Anfangsbedingung durch erfüllt wird. Für ergibt sich daraus die inhomogene lineare Differentialgleichung in einer Variablen,

Die zugehörige homogene lineare Gleichung besitzt die Lösungen . Mittels Variation der Konstanten, also dem Ansatz

ergibt sich die Bedingung

Also ist mit einer Konstanten . Aus

folgt . Die Lösung ist also


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom zweiter Ordnung der Funktion

im Punkt .


Lösung

Die relevanten Ableitungen sind

Somit sind die Werte der relevanten Ableitungen im Punkt gleich

Daher ist das Taylor-Polynom der Ordnung zwei gleich


Aufgabe (6 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

Für welche , , besitzt die zugehörige dreistufige (maximale) untere Treppenfunktion zu den maximalen Flächeninhalt? Welchen Wert besitzt er?


Lösung

Es seien die Markierungen der möglichen Intervallunterteilungen. Der Flächeninhalt der zugehörigen maximalen unteren Treppenfunktion von ist

Die partiellen Ableitungen davon sind

Wir bestimmen die kritischen Punkte. Aus der ersten Gleichung folgt

(den negativen Fall kann man ausschließen). Wir setzen in die zweite Gleichung ein und erhalten die Bedingung

woraus

folgt. Daher ist

und der einzige kritische Punkt ist

Die Hesse-Matrix von ist

Im kritischen Punkt ist der Eintrag links oben negativ. Die Determinante ist

positiv, so dass die Hesse-Matrix negativ definit ist und daher im kritischen Punkt ein Maximum vorliegt. Da es auch in einer geeigneten (kleinen) offenen Umgebung des abgeschlossenen Definitionsbereiches keinen weiteren kritischen Punkt gibt, liegt ein absolutes Maximum vor. Der Wert ist


Aufgabe (6 (2+2+2) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

a) Bestimme die regulären Punkte der Abbildung .

b) Zeige, dass in lokal eine differenzierbare Umkehrabbildung besitzt, und bestimme das totale Differential von im Punkt .

c) Man gebe alle Punkte an, in denen nicht lokal invertierbar ist.


Lösung

a) Wir bestimmen die Jacobi-Matrix von , diese ist

Die Determinante davon ist

Dies ist genau dann, wenn ist, so dass die regulären Punkte genau die Punkte sind, deren -Koordinate nicht ist.

b) Die Abbildung ist nach Teil a) im Punkt regulär, daher gibt es nach dem Satz über die Umkehrabbildung eine differenzierbare Umkehrabbildung , die in einer offenen Umgebung von definiert ist. Das totale Differential von im Punkt ist die inverse Matrix zum totalen Differential von in , also invers zu

Die inverse Matrix dazu ist

c) Für die Punkte mit gibt es aufgrund des Satzes über die Umkehrabbildung lokal eine Umkehrabildung. Für einen Punkt mit gibt es dagegen keine lokale Umkehrabbildung, da ein solcher Punkt auf der Geraden liegt, die die Faser über ist. Daher ist diese Abbildung in keiner offenen Umgebung von injektiv.


Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die ersten drei Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die gewöhnliche Differentialgleichung

mit der Anfangsbedingung .


Lösung

Wir schreiben das Vektorfeld als . Die konstante Anfangsbedingung führt zu . Die erste Picard-Lindelöf-Iteration führt auf

Die zweite Picard-Lindelöf-Iteration führt auf

Die dritte Picard-Lindelöf-Iteration führt auf


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

ein Gradientenfeld und sei

( ein offenes Intervall) eine Lösung der zugehörigen Differentialgleichung . Es gelte für alle . Zeige, dass injektiv ist.


Lösung

Es sei

ein Potential zu , also eine differenzierbare Funktion, deren Gradientenfeld gleich ist. Wir zeigen, dass sogar die zusammengesetzte Abbildung

injektiv ist. Aufgrund der Kettenregel ist die Ableitung dieser Abbildung gleich

Nach Lemma 57.5 steht senkrecht auf dem Tangentialraum zu im Punkt . Insbesondere gehört nicht zum Tangentialraum (da das Skalarprodukt positiv definit ist), also nicht zum Kern von . Daher ist

D.h. dass keine Nullstelle besitzt und daher ist nach Satz 19.5 streng wachsend oder streng fallend, also injektiv.