Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/9/Klausur mit Lösungen


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Punkte 4 4 4 2 8 4 4 5 7 4 9 9 64




Aufgabe (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Abstandsfunktion auf einem reellen Vektorraum mit einem Skalarprodukt .
  2. Ein Berührpunkt zu einer Teilmenge eines metrischen Raumes .
  3. Die Vollständigkeit eines metrischen Raumes .
  4. Ein inhomogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten (über ).
  5. Eine symmetrische Bilinearform auf einem reellen Vektorraum .
  6. Die Richtungsableitung einer Abbildung

    in einem Punkt in Richtung eines Vektors .

  7. Die Hesse-Matrix zu einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion

    in einem Punkt .

  8. Die Integrabilitätsbedingung eines differenzierbaren Vektorfeldes

    wobei eine offene Teilmenge ist.


Lösung

  1. Zu zwei Vektoren nennt man

    den Abstand zwischen und .

  2. Sei ein metrischer Raum und eine Teilmenge. Ein Punkt heißt Berührpunkt von , wenn zu jedem der Durchschnitt
  3. Ein metrischer Raum heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in konvergiert.
  4. offenes Intervall. Eine Differentialgleichung der Form

    wobei

    eine Matrix mit Einträgen ist und

    eine Abbildung, heißt inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten oder inhomogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.
  5. Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und eine Bilinearform auf . Die Bilinearform heißt symmetrisch, wenn

    für alle gilt.

  6. Unter der Richtungsableitung von in in Richtung versteht man den Grenzwert

    falls dieser existiert.

  7. Es seien die Richtungsableitungen in Richtung des -ten Einheitsvektors. Zu heißt die Matrix

    die Hesse-Matrix zu im Punkt .

  8. Die Integrabilitätsbedingung besagt, dass

    für alle und alle gilt.


Aufgabe (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Eigenschaften des Abstandes auf einem reellen Vektorraum mit einem Skalarprodukt.
  2. Die Mittelwertabschätzung für eine differenzierbare Kurve
  3. Der Satz von Schwarz.
  4. Der Satz über die Grenzabbildung einer gleichmäßig konvergenten Abbildungsfolge

    zwischen metrischen Räumen

    und .


Lösung

  1. Sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt . Dann besitzt der zugehörige Abstand die folgenden Eigenschaften (dabei sind ).
    1. Es ist .
    2. Es ist genau dann, wenn .
    3. Es ist .
    4. Es ist
  2. Es gibt ein mit
  3. Sei offen und eine Abbildung, so dass für die zweiten Richtungsableitungen und existieren und stetig sind. Dann gilt
  4. Wenn die Abbildungen alle stetig sind, so ist auch die Grenzabbildung stetig.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine abzählbare Teilmenge (). Es sei eine Metrik auf derart, dass für und mit der euklidischen Metrik übereinstimmt. Zeige, dass auf ganz die euklidische Metrik ist.


Lösung

Es seien zwei Punkte und die dadurch definierte Gerade. Wir identifizieren mit den reellen Zahlen, mit dem Nullpunkt und mit einer positiven reellen Zahl. Die induzierte euklidische Metrik ist dann der Betrag. Der Durchschnitt ist ebenfalls abzählbar. Wir wählen mit

Mit der Dreiecksungleichung ist dann einerseits

und andererseits

also ist


Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

a) Skizziere die (Bahn der) archimedische Spirale

b) Skizziere die (Bahn der) archimedische Spirale


Lösung

a)
Archimedean spiral.svg










b) Es ist

D.h. der Wert des Weges an einer negativen Stelle ergibt sich aus dem Wert an der zugehörigen positiven Stelle, indem man in der ersten Komponenten negiert und die zweite Komponente beibehält. Die Bahn im Negativen ergibt sich also aus der Bahn im Positiven, indem man an der -Achse spiegelt.


Aufgabe (8 (4+4) Punkte)

Wir betrachten die reelle Ebene ohne den offenen Kreis mit Mittelpunkt und Radius , also

Eine Person befindet sich im Punkt und möchte zum Punkt , wobei sie sich nur in bewegen darf.

a) Zeige, dass die Person von nach entlang von zwei geraden Strecken kommen kann, deren Gesamtlänge ist.

b) Zeige, dass die Person von nach entlang eines stetigen Weges kommen kann, dessen Gesamtlänge maximal ist.


Lösung

a) Wir betrachten die (obere) Tangente an den Kreis durch . Es sei der Schnittpunkt des Kreises mit dieser Tangente. Diese steht senkrecht auf dem Ortsvektor zu . Nach dem Satz des Pythagoras, angewendet auf das rechtwinklige Dreieck , besitzt die Verbindungsstrecke von nach die Länge . Es sei der Schnittpunkt der Tangente mit der -Achse. Wir betrachten das (rechtwinklige) Dreieck . Der Winkel dieses Dreiecks an stimmt mit dem Winkel des zuerst betrachteten Dreiecks an überein. Daher sind die beiden Dreiecke ähnlich (d.h. es gelten die gleichen Längenverhältnisse) und daher besteht, wenn die Länge von nach bezeichnet, die Beziehung

Also ist . Daher ist die Strecke von nach gleich

Man kann also auf dieser Tangente von nach und von dort mit der gespiegelten Tangente von nach gelangen und legt dabei einen Weg der Länge zurück.

b) Die Person bewegt sich nun von nach längs der Tangenten, folgt dann dem Kreis bis zu dem gegenüberliegenden Punkt und läuft dann längs der gespiegelten Tangenten von nach . Dieser Weg ist offenbar stetig. Es sei der Winkel des Dreiecks an . In diesem rechtwinkligen Dreieck besteht die Beziehung („Gegenkathete durch Hypotenuse“)

Daher ist im Bogenmaß. Wie unter a) bemerkt, tritt dieser Winkel auch im Dreieck an auf und beschreibt daher den Winkel, der den zugehörigen Kreisbogen bestimmt, entlang dem sich die Person bewegt. Da der Radius ist, ist der zugehörige Bogen maximal gleich

Daher ist die Gesamtlänge dieses Weges gleich


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Lösung des Anfangswertproblems für das Zentralfeld

mit .


Lösung

Es handelt sich um ein Zentralfeld, das auf die eindimensionale Differentialgleichung

mit führt. Dies ist eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen. Es ist

und somit

Also ist

und wegen der Anfangsbedingung muss sein, also ist

Die Lösung für das Zentralfeld ist somit


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige für Polynomfunktionen

direkt, dass

gilt.


Lösung

Da partielle Ableitungen mit Addition und Skalarmultiplikation verträglich sind, und da ein Polynom eine Summe aus Monomen, multipiziert mit Konstanten ist, genügt es, die Aussage für Monome

zu zeigen. Bei ist die Aussage richtig, so dass wir annehmen. Es ist

Wenn ist, so ist dies , und in diesem Fall sind auch und die Nullfunktion, also gleich. Dies ist auch bei der Fall. Seien also . Dann ist

Dies ist auch das Ergebnis in der umgekehrten Reihenfolge.


Aufgabe (5 (3+2) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

(es ist also ).

a) Berechne die partiellen Ableitungen von und stelle den Gradienten zu auf.

b) Bestimme die isolierten lokalen Extrema von .


Lösung

a) Es handelt sich um eine rationale Funktionen in mehreren Variablen ohne Nullstelle des Nenners, daher existieren alle partiellen Ableitungen. Die partiellen Ableitungen von ergeben sich aus der Quotientenregel; sie sind

und

Der Gradient zu in einem Punkt ist demnach der Vektor

b) Da der Definitionsbereich offen ist und da die Funktion stetig differenzierbar ist, ist es für die Existenz eines lokalen Extremums eine notwendige Bedingung, dass der Gradient ist. Dies kann wegen der dritten partiellen Ableitung nur bei der Fall sein. Dann ist die zweite partielle Ableitung ebenfalls und wegen folgt aus der ersten partiellen Ableitung, dass sein muss. Extrema kann es also allenfalls bei Punkten der Form geben. Die Funktion hat aber bei all diesen Punkten den Wert , so dass es kein isoliertes Extremum gibt.


Aufgabe (7 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine stetige Funktion

die im Nullpunkt partiell differenzierbar ist und dort die Eigenschaft besitzt, dass die Richtungsableitung in keine Richtung mit existiert.


Lösung Stetige Funktion/Partiell differenzierbar/Sonst keine Richtungsableitung/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe für jedes eine bijektive, total differenzierbare Abbildung

an, für die das totale Differential in mindestens einem Punkt nicht regulär ist.


Lösung

Für ist die Abbildung

bijektiv (mit der Umkehrfunktion ). Für ein betrachten wir die Abbildung

Dies ist eine polynomiale Abbildung, so dass das totale Differential durch die Jacobi-Matrix, also durch

gegeben ist. Für ist diese Matrix nicht invertierbar, da ihre Determinante ist, und die Abbildung ist für diese Punkte nicht regulär. Dennoch ist die Abbildung bijektiv, die Umkehrabbildung wird durch

gegeben.


Aufgabe (9 (2+2+5) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

a) Bestimme die regulären Punkte der Abbildung . Zeige, dass regulär ist.

b) Beschreibe für den Punkt den Tangentialraum an die Faser von durch .

c) Man gebe für einen lokalen Diffeomorphismus zwischen einem offenen Intervall und einer offenen Umgebung von in der Faser durch an.


Lösung

a) Die Jacobi-Matrix der Abbildung ist

Diese Matrix besitzt maximalen Rang, wenn die erste Zeile kein Vielfaches der zweiten Zeile ist. Die Bedingung lautet also

D.h. die singulären Punkte der Abbildung sind die Punkte der von erzeugten Geraden. Der Punkt gehört nicht zu dieser Geraden, da keine Lösung besitzt.

b) Der Tangentialraum an in ist der Kern des totalen Differentials, also der Kern von

Zur Bestimmung des Kerns muss man also das lineare Gleichungssystem

lösen. Durch Subtraktion der beiden Zeilen folgt und daher ist der Tangentialraum gleich der Geraden

c) Der Punkt wird unter der Abbildung auf abgebildet. Die Faser darüber wird durch die beiden Gleichungen

beschrieben. Wir lösen die lineare Gleichung nach auf und setzen das Ergebnis

in die quadratische Gleichung ein. Das ergibt

bzw.

Wir lösen dies nach auf und erhalten zunächst

und durch quadratisches Ergänzen

Daraus ergibt sich

Dabei ist die Wurzel für und damit insbesondere für definiert. Da für ja sein soll, muss man das negative Vorzeichen nehmen. Somit liefert die Abbildung

eine Bijektion dieses offenen Intervalls mit der offenen Teilmenge der Faser durch , die durch gegeben ist. Es ist ein Diffeomorphismus, da diese Abbildung differenzierbar ist und ihre Ableitung wegen der zweiten Komponenten nirgendwo verschwindet.


Aufgabe (9 Punkte)

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und

ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Es sei die Menge der unendlich oft stetig differenzierbaren Funktionen von nach . Wir betrachten die Abbildung

mit

Man erhält also aus der Funktion die neue Funktion , indem man an einem Punkt die Richtungsableitung der Funktion in Richtung berechnet. Zeige, dass für folgende Eigenschaften äquivalent sind.

  1. Es ist .
  2. Das Bild einer jeden Lösung zur Differentialgleichung liegt in einer Faser von .


Lösung

Von (1) nach (2). Es sei

eine auf einem Intervall definierte Lösungskurve zur Differentialgleichung , d.h. es gilt für alle . Wir betrachten die Ableitung der Verknüpfung

Nach der Kettenregel ist

Also ist die Ableitung von gleich für alle und daher ist konstant.

Von (2) nach (1). Sei fixiert. Nach dem Satz von Picard-Lindelöf gibt es zum Anfangswertproblem und eine (eindeutige) Lösung, also eine differenzierbare Abbildung

mit und (und ). Nach Voraussetzung liegt das Bild von ganz in einer Faser von , d.h. die zusammengesetzte Abbildung

ist konstant. Daher ist die Ableitung davon gleich und somit ist

für . Für bedeutet dies




Hilfsmittel