Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/Arbeitsblatt 32/latex

\setcounter{section}{32}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{x \in \R}{} und betrachte die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R_+} {\R } {t} { f(t) = t^x e^{-t} } {.} Bestimme die \definitionsverweis {Extremwerte}{}{} dieser Funktion.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass für die \definitionsverweis {Fakultätsfunktion}{}{} für
\mathl{k \in \N}{} die Beziehung
\mathdisp {\operatorname{Fak} \, { \left( { \frac{ 2k-1 }{ 2 } } \right) } = { \frac{ \prod_{i = 1}^{k} (2i-1) }{ 2^k } } \cdot \sqrt{\pi}} { }
gilt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

a) Zeige, dass für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \geq }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ 0 }^{ 1 } t^x e^{-t} \, d t }
{ \leq} {1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

b) Zeige, dass die Funktion
\mathl{H(x)}{} mit
\mathdisp {H(x) = \int_{ 1 }^{ \infty } t^x e^{-t} \, d t} { }
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \geq }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} monoton wachsend ist.

c) Zeige, dass
\mathl{10! \geq e^{11} +1}{} gilt.

d) Zeige, dass für die Fakultätsfunktion für
\mathl{x \geq 10}{} die Abschätzung
\mathdisp {\operatorname{Fak} \, (x) \geq e^x} { }
gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {reeller}{}{} \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit einem \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{} $\left\langle - , - \right\rangle$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.} Zeige, dass die Einschränkung des Skalarproduktes auf $U$ ebenfalls ein Skalarprodukt ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {reeller}{}{} \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit einem \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{} $\left\langle - , - \right\rangle$. Beweise den \stichwort {Satz des Pythagoras} {:} Für zwei Vektoren $v,w \in V$, die \definitionsverweis {senkrecht}{}{} aufeinander stehen, gilt die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {v+w} \Vert^2 }
{ =} { \Vert {v} \Vert^2 + \Vert {w} \Vert^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} über $\R$ mit einem \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} und der zugehörigen \definitionsverweis {Norm}{}{}
\mathl{\Vert {-} \Vert}{.} Zeige, dass die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , w \right\rangle }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( \Vert {v+w} \Vert^2 - \Vert {v} \Vert^2 - \Vert {w} \Vert^2 \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {(V_1, \left\langle - , - \right\rangle_1 )} {und} {(V_2, \left\langle - , - \right\rangle_2)} {} zwei \definitionsverweis {euklidische Vektorräume}{}{.} Zeige, dass durch
\mathdisp {\left\langle (v_1,v_2) , (w_1,w_2) \right\rangle := \left\langle v_1 , w_1 \right\rangle_1 + \left\langle v_2 , w_2 \right\rangle_2} { }
ein \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{} auf dem \definitionsverweis {Produktraum}{}{}
\mathl{V_1 \times V_2}{} definiert wird.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {komplexer Vektorraum}{}{} mit einem \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Zeige, dass der \definitionsverweis {Realteil}{}{} dieses Skalarproduktes ein \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{} auf dem zugrunde liegenden reellen Vektorraum ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{} mit einem \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Zeige, dass in der Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { \left\langle v , w \right\rangle } }
{ \leq} { \Vert {v} \Vert \cdot \Vert {w} \Vert }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} von Cauchy-Schwarz genau dann die Gleichheit gilt, wenn \mathkor {} {v} {und} {w} {} \definitionsverweis {linear abhängig}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} über ${\mathbb K}$ mit einem \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Zeige, dass der zugehörige \definitionsverweis {Abstand}{}{} die folgenden Eigenschaften besitzt \zusatzklammer {dabei sind $u,v,w \in V$} {} {.} \aufzaehlungvier{Es ist $d( v , w ) \geq 0$. }{Es ist $d( v , w ) = 0$ genau dann, wenn
\mathl{v=w}{.} }{Es ist $d( v , w ) = d( w , v )$. }{Es ist
\mathdisp {d( u , w ) \leq d( u , v ) + d( v , w )} { . }
}

}
{} {}

Ein Skalarprodukt ermöglicht es, von Orthonormalbasen zu sprechen.

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{.} Eine \definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} von $V$ heißt \definitionswort {Orthonormalbasis}{,} wenn
\mathdisp {\left\langle v_i , v_i \right\rangle= 1 \text{ für } \text{alle } i \text{ und } \left\langle v_i , v_j \right\rangle= 0 \text{ für } i \neq j} { }
gilt.

Generell heißen zwei Vektoren
\mathl{v,w \in V}{} orthogonal, wenn
\mathl{\left\langle v , w \right\rangle=0}{} ist.


\inputaufgabe
{}
{

Der $\R^3$ sei mit dem \definitionsverweis {Standardskalarprodukt}{}{} versehen. Es sei $U \subseteq \R^3$ der \definitionsverweis {Kern}{}{} der \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {\R^3} {\R } {(x,y,z)} {3x+y+7z } {,} versehen mit dem eingeschränkten Skalarprodukt. Man bestimme eine \definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{} für $U$.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{} der \definitionsverweis {Dimension}{}{} $n$. Zeige, dass eine Vektorfamilie
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u_1 , \ldots , u_n }
{ \in }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann eine \definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{} von $V$ ist, wenn die zugehörige \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {\R^n} {V } {e_i} {u_i } {,} eine \definitionsverweis {Isometrie}{}{} zwischen \mathkor {} {\R^n} {und} {V} {} ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{2}
{

Zeige, dass für die \definitionsverweis {Fakultätsfunktion}{}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Fak} \, (x) }
{ =} { \int_{ 0 }^{ 1 } (- \ln t)^x \, d t }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Die Stadt
\mathl{S=(0,0)}{} soll mit den beiden Städten
\mathl{T=(a,b)}{} und
\mathl{U=(a,-b)}{} mit
\mathl{a \geq 0, b>0}{} durch Schienen verbunden werden. Dabei sollen die Schienen zunächst entlang der $x$-Achse verlaufen und sich dann in die beiden Richtungen verzweigen. Bestimme den Verzweigungspunkt, wenn möglichst wenig Schienen verlegt werden sollen.

}
{} {Tipp zur Probe: Stimmt Ihr Ergebnis auch bei $a=0$?}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} über $\R$ mit einem \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} und der zugehörigen \definitionsverweis {Norm}{}{}
\mathl{\Vert {-} \Vert}{.} Zeige, dass die sogenannte \stichwort {Parallelogrammgleichung} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {v+w} \Vert ^2 + \Vert {v-w} \Vert ^2 }
{ =} { 2 \Vert {v} \Vert ^2 +2 \Vert {w} \Vert ^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u_1 , \ldots , u_n }
{ \in }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{} von $V$. Zeige, dass für jeden Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v }
{ \in }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v }
{ =} { \sum_{ i = 1 }^{ n } \left\langle v , u_i \right\rangle u_i }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{6}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{} und sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind. \aufzaehlungvier{ $\varphi$ ist eine \definitionsverweis {Isometrie}{}{.} }{Für jeden Vektor $v$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {v} \Vert }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {\varphi(v)} \Vert }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Für jede \definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{} $u_i, i = 1 , \ldots , n$, ist auch $\varphi(u_i), i = 1 , \ldots , n$, eine Orthonormalbasis. }{Es gibt eine Orthonormalbasis $u_i, i = 1 , \ldots , n$, derart, dass auch $\varphi(u_i), i = 1 , \ldots , n$, eine Orthonormalbasis ist.}

}
{} {}