Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/Arbeitsblatt 32/latex
\setcounter{section}{32}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{x \in \R}{} und betrachte die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\maabbeledisp {f} {\R_+} {\R
} {t} { f(t) = t^x e^{-t}
} {.}
Bestimme die
\definitionsverweis {Extremwerte}{}{} dieser Funktion.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass für die
\definitionsverweis {Fakultätsfunktion}{}{}
für
\mathl{k \in \N}{} die Beziehung
\mathdisp {\operatorname{Fak} \, { \left( { \frac{ 2k-1 }{ 2 } } \right) } = { \frac{ \prod_{i = 1}^{k} (2i-1) }{ 2^k } } \cdot \sqrt{\pi}} { }
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
a) Zeige, dass für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ 0 }^{ 1 } t^x e^{-t} \, d t
}
{ \leq} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
b)
Zeige, dass die Funktion
\mathl{H(x)}{} mit
\mathdisp {H(x) = \int_{ 1 }^{ \infty } t^x e^{-t} \, d t} { }
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
monoton wachsend ist.
c) Zeige, dass
\mathl{10! \geq e^{11} +1}{} gilt.
d) Zeige, dass für die Fakultätsfunktion für
\mathl{x \geq 10}{} die Abschätzung
\mathdisp {\operatorname{Fak} \, (x) \geq e^x} { }
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {reeller}{}{}
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
$\left\langle - , - \right\rangle$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.}
Zeige, dass die Einschränkung des Skalarproduktes auf $U$ ebenfalls ein Skalarprodukt ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {reeller}{}{}
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
$\left\langle - , - \right\rangle$. Beweise den \stichwort {Satz des Pythagoras} {:} Für zwei Vektoren $v,w \in V$, die
\definitionsverweis {senkrecht}{}{}
aufeinander stehen, gilt die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {v+w} \Vert^2
}
{ =} { \Vert {v} \Vert^2 + \Vert {w} \Vert^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über $\R$ mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} und der zugehörigen
\definitionsverweis {Norm}{}{}
\mathl{\Vert {-} \Vert}{.} Zeige, dass die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , w \right\rangle
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( \Vert {v+w} \Vert^2 - \Vert {v} \Vert^2 - \Vert {w} \Vert^2 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {(V_1, \left\langle - , - \right\rangle_1 )} {und} {(V_2, \left\langle - , - \right\rangle_2)} {}
zwei
\definitionsverweis {euklidische Vektorräume}{}{.}
Zeige, dass durch
\mathdisp {\left\langle (v_1,v_2) , (w_1,w_2) \right\rangle := \left\langle v_1 , w_1 \right\rangle_1 + \left\langle v_2 , w_2 \right\rangle_2} { }
ein
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
auf dem
\definitionsverweis {Produktraum}{}{}
\mathl{V_1 \times V_2}{} definiert wird.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {komplexer Vektorraum}{}{}
mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Zeige, dass der
\definitionsverweis {Realteil}{}{}
dieses Skalarproduktes ein
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
auf dem zugrunde liegenden reellen Vektorraum ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{}
mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Zeige, dass in der Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { \left\langle v , w \right\rangle }
}
{ \leq} { \Vert {v} \Vert \cdot \Vert {w} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
von
Cauchy-Schwarz
genau dann die Gleichheit gilt, wenn
\mathkor {} {v} {und} {w} {}
\definitionsverweis {linear abhängig}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über ${\mathbb K}$ mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Zeige, dass der zugehörige
\definitionsverweis {Abstand}{}{}
die folgenden Eigenschaften besitzt
\zusatzklammer {dabei sind $u,v,w \in V$} {} {.}
\aufzaehlungvier{Es ist $d( v , w ) \geq 0$.
}{Es ist $d( v , w ) = 0$ genau dann, wenn
\mathl{v=w}{.}
}{Es ist $d( v , w ) = d( w , v )$.
}{Es ist
\mathdisp {d( u , w ) \leq d( u , v ) + d( v , w )} { . }
}
}
{} {}
Ein Skalarprodukt ermöglicht es, von Orthonormalbasen zu sprechen.
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{.}
Eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} von $V$ heißt \definitionswort {Orthonormalbasis}{,} wenn
\mathdisp {\left\langle v_i , v_i \right\rangle= 1 \text{ für } \text{alle } i \text{ und } \left\langle v_i , v_j \right\rangle= 0 \text{ für } i \neq j} { }
gilt.
Generell heißen zwei Vektoren
\mathl{v,w \in V}{} orthogonal, wenn
\mathl{\left\langle v , w \right\rangle=0}{} ist.
\inputaufgabe
{}
{
Der $\R^3$ sei mit dem
\definitionsverweis {Standardskalarprodukt}{}{}
versehen. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ \R^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Kern}{}{}
der
\definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {} { \R^3 } { \R
} { (x,y,z) } { 3x+y+7z
} {,}
versehen mit dem eingeschränkten Skalarprodukt. Man bestimme eine
\definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{}
für $U$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{}
der
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
$n$. Zeige, dass eine Vektorfamilie
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u_1 , \ldots , u_n
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann eine
\definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{}
von $V$ ist, wenn die zugehörige
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {} {\R^n} {V
} {e_i} {u_i
} {,}
eine
\definitionsverweis {Isometrie}{}{}
zwischen
\mathkor {} {\R^n} {und} {V} {}
ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{2}
{
Zeige, dass für die
\definitionsverweis {Fakultätsfunktion}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Fak} \, (x)
}
{ =} { \int_{ 0 }^{ 1 } (- \ln t)^x \, d t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Die Stadt
\mathl{S=(0,0)}{} soll mit den beiden Städten
\mathl{T=(a,b)}{} und
\mathl{U=(a,-b)}{} mit
\mathl{a \geq 0, b>0}{} durch Schienen verbunden werden. Dabei sollen die Schienen zunächst entlang der $x$-Achse verlaufen und sich dann in die beiden Richtungen verzweigen. Bestimme den Verzweigungspunkt, wenn möglichst wenig Schienen verlegt werden sollen.
}
{} {Tipp zur Probe: Stimmt Ihr Ergebnis auch bei $a=0$?}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über $\R$ mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} und der zugehörigen
\definitionsverweis {Norm}{}{}
\mathl{\Vert {-} \Vert}{.} Zeige, dass die sogenannte \stichwort {Parallelogrammgleichung} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {v+w} \Vert ^2 + \Vert {v-w} \Vert ^2
}
{ =} { 2 \Vert {v} \Vert ^2 +2 \Vert {w} \Vert ^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u_1 , \ldots , u_n
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{}
von $V$. Zeige, dass für jeden Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v
}
{ =} { \sum_{ i = 1 }^{ n } \left\langle v , u_i \right\rangle u_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}
Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
\aufzaehlungvier{ $\varphi$ ist eine
\definitionsverweis {Isometrie}{}{.}
}{Für jeden Vektor $v$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {v} \Vert
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {\varphi(v)} \Vert
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für jede
\definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{}
$u_i, i = 1 , \ldots , n$, ist auch $\varphi(u_i), i = 1 , \ldots , n$, eine Orthonormalbasis.
}{Es gibt eine Orthonormalbasis $u_i, i = 1 , \ldots , n$, derart, dass auch $\varphi(u_i), i = 1 , \ldots , n$,
eine Orthonormalbasis ist.}
}
{} {}
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