Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/Arbeitsblatt 37/latex

\setcounter{section}{37}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Skizziere die \definitionsverweis {Bilder}{}{} und die \definitionsverweis {Graphen}{}{} der folgenden \definitionsverweis {Kurven}{}{} im
\mathl{\R^2}{.} \aufzaehlungfuenf{
\mathl{t \longmapsto { \left( t^2,t^2 \right) }}{,} }{
\mathl{t \longmapsto { \left( t^2,-t^2 \right) }}{,} }{
\mathl{t \longmapsto { \left( t^2,t \right) }}{,} }{
\mathl{t \longmapsto { \left( 2t,3t \right) }}{,} }{
\mathl{t \longmapsto { \left( t^2,t^3 \right) }}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel für verschiedene Kurven \maabbdisp {f,g} {\R} {\R^2 } {,} deren \definitionsverweis {Bilder}{}{} \zusatzklammer {Bahnen} {} {} aber übereinstimmen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der Kurve \maabbeledisp {f} {\R} {\R^3 } {t} {f(t) = { \left( t^2- \sin t, e^{-t}+2t^3, t \cdot \sinh t + { \frac{ 1 }{ t^2+1 } } \right) } } {,} in jedem Punkt
\mathl{t \in \R}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der Kurve \maabbeledisp {\varphi} {\R_+ } {\R^3 } {t} { { \left( { \frac{ \sin t^2 }{ t^5 } } ,4^t, { \frac{ e^{-t} }{ \sqrt{t} } } \right) } } {,} für jeden Punkt
\mathl{t \in \R_+}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v,w }
{ \in }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {f} {\R} {V } {t} {tv+w } {,} \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} ist mit der \definitionsverweis {Ableitung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f'(t) }
{ = }{ v }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $I$ ein reelles Intervall und $V$ ein \definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{.} Es seien \maabbdisp {f,g} {I} {V } {} zwei in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t_0 }
{ \in }{I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {differenzierbare Kurven}{}{} und es sei \maabbdisp {h} {I} {\R } {} eine in $t_0$ \definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{.} Zeige, dass folgende Aussagen gelten. \aufzaehlungdrei{Die Summe \maabbeledisp {f+g} {I} {V } {t} {f(t)+g(t) } {,} ist in $t_0$ differenzierbar mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (f+g)'(t_0) }
{ =} { f'(t_0) + g'(t_0) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Das Produkt \maabbeledisp {hf} {I} {V } {t} { h(t) f(t) } {,} ist differenzierbar in $t_0$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (hf)'(t_0) }
{ =} { h(t_0) f'(t_0) + h'(t_0) f(t_0) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Insbesondere ist für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} auch
\mathl{cf}{} differenzierbar in $t_0$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (cf)'(t_0) }
{ =} { c f'(t_0) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Wenn $h$ nullstellenfrei ist, so ist auch die Quotientenfunktion \maabbeledisp {{ \frac{ f }{ h } }} { I } {V } {t} {{ \frac{ f(t) }{ h(t) } } } {,} in $t_0$ differenzierbar mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( { \frac{ f }{ h } } \right) }' (t_0) }
{ =} { { \frac{ h(t_0) f'(t_0) - h'(t_0) f(t_0) }{ (h(t_0))^2 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien \maabbdisp {f,g} {\R} { \R^n } {} \definitionsverweis {differenzierbare Kurven}{}{.} Berechne die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der Funktion \maabbeledisp {} {\R} {\R } {t} { \left\langle f(t) , g(t) \right\rangle } {.} Formuliere das Ergebnis mit dem Skalarprodukt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten die Funktionen
\mathdisp {B_0(t) = (1-t)^{2},\, B_1(t) = 2t(1-t) \text{ und } B_2(t) =t^2} { . }
Es seien
\mathl{v_0,v_1,v_2 \in \R^n}{} drei Vektoren. Wir definieren die Kurve
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(t) }
{ \defeq} { B_0(t)v_0 + B_1(t) v_1 + B_2(t) v_2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

a) Berechne \mathkor {} {f(0)} {und} {f(1)} {.}

b) Berechne
\mathl{f'(t)}{.}

c) Zeige, dass
\mathl{f'(0)}{} ein Vielfaches von
\mathl{v_1-v_0}{} und
\mathl{f'(1)}{} ein Vielfaches von
\mathl{v_2-v_1}{} ist.

d) Skizziere für
\mathl{v_0=(0,1)}{,}
\mathl{v_1=(1,1)}{} und
\mathl{v_2=(2,0)}{} das Bild der Kurve
\mathl{f(t)}{} für
\mathl{0 \leq t \leq 1}{.}

}
{} {}

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Cusp.png} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Cusp.png } {} {Satipatthana} {Commons} {PD} {}

\inputaufgabe
{}
{

Das \definitionsverweis {Bild}{}{} der durch \maabbeledisp {} {\R} {\R^2 } {t} {\left( t^2 , \, t^3 \right) } {,} definierten Kurve heißt \stichwort {Neilsche Parabel} {.} Zeige, dass ein Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(x,y) }
{ \in }{ \R^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann zu diesem Bild gehört, wenn er die Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^3 }
{ = }{y^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} erfüllt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Sei \maabbeledisp {f} {\R} {\R^2 } {t} {\left( t^2 , \, t^3 \right) } {.} Bestimme die Punkte
\mathl{t_0 \in \R}{,} für die der Abstand der zugehörigen Kurvenpunkte
\mathl{f(t)=\left( t^2 , \, t^3 \right)}{} zum Punkt
\mathl{(1,0)}{} minimal wird.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die Kurve \maabbeledisp {} {\R} {\R^2 } {t} {(t^2-1,t^3-t) } {.}

a) Zeige, dass die \definitionsverweis {Bildpunkte}{}{}
\mathl{(x,y)}{} der Kurve die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^2 }
{ =} { x^2+x^3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} erfüllen.

b) Zeige, dass jeder Punkt $(x,y) \in \R^2$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y^2 }
{ = }{ x^2+x^3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} zum Bild der Kurve gehört.

c) Zeige, dass es genau zwei Punkte \mathkor {} {t_1} {und} {t_2} {} mit identischem Bildpunkt gibt, und dass ansonsten die Abbildung injektiv ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {\R} {\R^n } {} eine \definitionsverweis {differenzierbare Kurve}{}{} und
\mathl{P \in \R^n}{} ein Punkt. Es sei
\mathl{t_0 \in \R}{} derart, dass der Abstand
\mathl{d(P,f(t))}{} \zusatzklammer {zwischen $P$ und einem Kurvenpunkt} {} {} in $t_0$ minimal werde. Zeige, dass
\mathl{P-f(t_0)}{} senkrecht zu
\mathl{f'(t_0)}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G }
{ = }{ { \left\{ (x, \betrag { x }) \mid x \in \R \right\} } }
{ \subseteq }{ \R^2 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der \definitionsverweis {Graph}{}{} der \definitionsverweis {reellen Betragsfunktion}{}{.} Man gebe eine \definitionsverweis {differenzierbare Kurve}{}{} \maabbdisp {f} {\R} {\R^2 } {} an, deren \definitionsverweis {Bild}{}{} genau $G$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I }
{ = }{ {]{-1},1[} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Wir betrachten die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M }
{ =} { { \left\{ f:I \rightarrow \R^n \mid f \text{ differenzierbar} , \, f(0) = P \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Wir nennen zwei \definitionsverweis {Kurven}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f,g }
{ \in }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \stichwort {tangential äquivalent} {,} wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f'(0) }
{ =} { g'(0) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist.

a) Zeige, dass dies eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} ist.

b) Finde den einfachsten Vertreter für die \definitionsverweis {Äquivalenzklassen}{}{.}

c) Man gebe für jede Klasse einen weiteren Vertreter an.

d) Beschreibe die Menge der Äquivalenzklassen \zusatzklammer {also die \definitionsverweis {Quotientenmenge}{}{}} {} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_1 , \ldots , P_n }
{ \in }{ \R^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} endlich viele Punkte und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M }
{ = }{ \R^2 \setminus \{ P_1 , \ldots , P_n \} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass es zu je zwei Punkten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P,Q }
{ \in }{M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {differenzierbare Kurve}{}{} \maabbdisp {\varphi} {[0,1]} {M } {} mit \mathkor {} {\varphi(0)=P} {und} {\varphi(1)=Q} {} gibt.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die \definitionsverweis {Kurve}{}{} \maabbeledisp {f} {\R} {\R^3 } {x} {\left( x^2-x , \, x^3+ \sinh x , \, \sin (x^2) \right) } {.}

a) Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} von $f$ in jedem Punkt $x$.

b) Bestimme die Komponentenfunktionen von $f$ bezüglich der neuen Basis
\mathdisp {(1,0,3),(2,4,6),(1,-1,0)} { }
von $\R^3$.

c) Berechne die Ableitung in der neuen Basis direkt und mit Hilfe von Lemma 37.8.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Für welche Punkte
\mathl{t \in \R}{} ist der Abstand der Bildpunkte der Kurve \maabbeledisp {} {\R} {\R^2 } {t} {(2 \sin t , 3 \cos t ) } {,} zum Nullpunkt
\mathl{(0,0)}{} maximal, für welche minimal?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die Abbildung \maabbdisp {f} {\R} {S^1 \subseteq \R^2 } {,} die einem Punkt
\mathl{t \in \R}{} den eindeutigen Schnittpunkt
\mathl{\neq (0,-1)}{} der durch die beiden Punkte \mathkor {} {(t,1)} {und} {(0,-1)} {} gegebenen Geraden
\mathl{G_t}{} mit dem \definitionsverweis {Einheitskreis}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S^1 }
{ =} { { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid x^2+y^2 = 1 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} zuordnet. Zeige, dass diese Abbildung wohldefiniert ist und bestimme die funktionalen Ausdrücke, die diese Abbildung beschreiben. Zeige, dass $f$ \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} ist. Ist $f$ \definitionsverweis {injektiv}{}{,} ist $f$ \definitionsverweis {surjektiv}{}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Auf einem Jahrmarkt befindet sich ein \anfuehrung{Doppel-Karussell}{,} bei dem sich ein Sitz alle $2$ Sekunden um einen kleinen Kreis mit Radius $3$ Meter dreht, wobei sich der Mittelpunkt dieses Kreises seinerseits alle $8$ Sekunden um einen großen Kreis mit Radius $10$ Meter dreht. Beide Drehungen sind im Uhrzeigersinn. Zum Zeitpunkt
\mathl{t=0}{} besitzt der Sitz zum Mittelpunkt den Abstand $13$ Meter.

a) Beschreibe diesen Bewegungsvorgang \zusatzklammer {in einem geeigneten Koordinatensystem} {} {} als eine \definitionsverweis {differenzierbare Kurve}{}{\zusatzfussnote {Gefragt ist hier nach der mathematischen Überlagerung der beiden Bewegungen, d.h. die große Bewegung verdreht nicht das Koordinatensystem der kleinen Bewegung. Eine volle Umdrehung des kleinen Kreises liegt vor, wenn der Verbindungspfeil aus dem äußeren Drehmittelpunkt und dem Sitz wieder in die gleiche Himmelsrichtung zeigt. Bei der mechanischen Überlagerung, die vorliegt, wenn die Umdrehungsgeschwindigkeit des äußeren montierten Motors feststeht, sieht dies anders aus} {.} {.}}

b) Berechne den Geschwindigkeitsvektor dieser Bewegung zu jedem Zeitpunkt.

c) Berechne die Geschwindigkeit \zusatzklammer {den Betrag des Geschwindigkeitsvektors} {} {} dieser Bewegung zu jedem Zeitpunkt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme in der Situation von Aufgabe 37.19 die Zeitpunkte, an denen die Geschwindigkeit maximal oder minimal wird.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe eine \definitionsverweis {differenzierbare Kurve}{}{} \maabbdisp {f} {\R} {\R^2 } {} an, deren \definitionsverweis {Bild}{}{} genau das \definitionsverweis {Achsenkreuz}{}{} ist.

}
{} {}