Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/Arbeitsblatt 42/latex

\setcounter{section}{42}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {quadratische}{}{} $n \times n$-Matrix über ${\mathbb K}$. Es sei $\varphi_1$ eine \definitionsverweis {Lösung}{}{} der \definitionsverweis {linearen Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v' }
{ =} { Mv +z_1(t) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mathl{\varphi_2}{} eine Lösung der \definitionsverweis {linearen Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v' }
{ =} { Mv +z_2(t) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass
\mathl{\varphi_1+ \varphi_2}{} eine Lösung der linearen Differentialgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v' }
{ =} { Mv +z_1(t)+z_2(t) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v' }
{ =} {Mv }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten}{}{,} sei $L$ der Lösungsraum dieses Systems und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t_0 }
{ \in }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} {L} { {\mathbb K}^n } {\varphi} {\varphi(t_0) } {,} ein \definitionsverweis {Vektorraum-Isomorphismus}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wie transformieren sich in Lemma 42.8 die Anfangsbedingungen?

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Löse das \definitionsverweis {lineare Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} v_1 \\v_2 \end{pmatrix}' = \begin{pmatrix} 3 & -4 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\v_2 \end{pmatrix} \text{ mit } \begin{pmatrix} v_1(0) \\v_2(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\1 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

a) Bestimme den Lösungsraum des linearen Differentialgleichungssystems
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}' }
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

b) Löse das Anfangswertproblem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}' }
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit der Anfangsbedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x(0) \\y(0) \end{pmatrix} }
{ =} {\begin{pmatrix} 2 \\7 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Löse das \definitionsverweis {lineare Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} v_1 \\v_2 \end{pmatrix}' = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\v_2 \end{pmatrix} \text{ mit } \begin{pmatrix} v_1(0) \\v_2(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\-11 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

a) Bestimme den Lösungsraum des linearen Differentialgleichungssystems
\mathdisp {\begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}' = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}} { . }

b) Löse das Anfangswertproblem
\mathdisp {\begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}' = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}} { }
mit der Anfangsbedingung
\mathl{\begin{pmatrix} x(0) \\y(0) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -4 \\3 \end{pmatrix}}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Finde für das zeitunabhängige \definitionsverweis {Differentialgleichungssystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} u \\v \end{pmatrix} ' }
{ =} { \begin{pmatrix} -v \\u \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\v \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} Lösungen mit \mathkor {} {u(0) =a} {und} {v(0) = b} {,} wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Lösungsraum}{}{} zum \definitionsverweis {linearen Differentialgleichungssystem}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} v_1 \\v_2 \end{pmatrix}' = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\v_2 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass das \definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{} der sogenannten \stichwort {Begleitmatrix} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 \\ -a_0 & -a_1 & \ldots & -a_{n-2} & -a_{n-1} \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M } }
{ =} { X^n +a_{n-1}X^{n-1} + \cdots + a_1 X+a_0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ die Menge aller beliebig oft differenzierbaren Funktionen von $\R$ nach $\R$ und $D$ die Ableitung, aufgefasst als Operator\zusatzfussnote {Eine Abbildung, die Funktionen in Funktionen überführt, nennt man häufig Operator} {.} {} \maabbeledisp {D} {M} {M } {f} {D(f) = f' } {.} Zu einem Polynom
\mathl{P \in \R[X]}{,}
\mathl{P=a_nX^n + \cdots + a_2X^2+ a_1 X +a_0}{,} betrachten wir den Operator \maabbeledisp {P(D)} {M } {M } {f} { (P(D))(f) = a_nD^n(f) + \cdots + a_2D^2(f) + a_1D (f) + a_0 f } {.} Berechne $(P(D))(f)$ für
\mathl{P=2X^3-4X^2+7X-3}{} und
\mathl{f=x^4, e^x, e^{2x}, \sin x}{.} Zeige, dass $P(D)$ eine lineare Abbildung auf $M$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{\lambda \in \R}{} und
\mathl{n \in \N_+}{.} Zeige, dass der Differentialoperator
\mathl{(D- \lambda)^n}{} die Funktionen
\mathl{x^j e^{\lambda x }}{} mit
\mathl{0 \leq j < n}{} auf die Nullfunktion abbildet.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Löse das \definitionsverweis {lineare Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} v_1 \\v_2\\ v_3 \end{pmatrix}' = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 2 \\ 0 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\v_2\\ v_3 \end{pmatrix} \text{ mit } \begin{pmatrix} v_1(0) \\v_2(0)\\ v_3(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\0\\ -1 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Löse das \definitionsverweis {lineare Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} v_1 \\v_2 \end{pmatrix}' = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\v_2 \end{pmatrix} \text{ mit } \begin{pmatrix} v_1(0) \\v_2(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\-4 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Lösungsraum}{}{} zum \definitionsverweis {linearen Differentialgleichungssystem}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} v_1 \\v_2\\ v_3\\v_4 \end{pmatrix}' = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\v_2\\ v_3\\v_4 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Bestimme den \definitionsverweis {Lösungsraum}{}{} zum \definitionsverweis {linearen Differentialgleichungssystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} v_1 \\v_2\\ \vdots\\v_n \end{pmatrix}' }
{ =} { \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \lambda & 1 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & \lambda \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\v_2\\ \vdots\\v_n \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die allgemeine Lösung des \definitionsverweis {linearen Differentialgleichungssystems}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}' = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} t^2+e^t \\t \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}