Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/T6/Klausur mit Lösungen


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 4 4 2 4 4 2 6 5 2 5 2 1 5 4 4 7 3 64




Aufgabe (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Der Grenzwert einer Funktion

    für .

  2. Eine Isometrie

    zwischen euklidischen Vektorräumen.

  3. Die Konvergenz einer Folge in einem metrischen Raum .
  4. Ein wegzusammenhängender metrischer Raum .
  5. Die Länge eines Streckenzugs

    mit .

  6. Eine Differentialgleichung höherer Ordnung (in einer Variablen).
  7. Ein Fundamentalsystem von Lösungen eines homogenen linearen Differentialgleichungssystems mit konstanten Koeffizienten.
  8. Eine Bilinearform auf einem -Vektorraum .


Lösung

  1. Es sei (oder ) ein rechtsseitig (bzw. linksseitig) unbeschränktes Intervall und

    eine Funktion. Dann heißt Grenzwert von für (bzw. ), wenn es für jedes ein (bzw. ) gibt mit für alle (bzw. ).

  2. Die Abbildung heißt eine Isometrie, wenn für alle gilt:
  3. Man sagt, dass die Folge konvergiert, wenn es ein gibt, das folgende Eigenschaft erfüllt: Zu jedem , , gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung

    gilt.

  4. Der Raum heißt wegzusammenhängend, wenn er nicht leer ist und es zu je zwei Punkten eine stetige Abbildung

    mit und gibt.

  5. Man nennt

    die Gesamtlänge des Streckenzugs.

  6. Es sei ein offenes Intervall, offen und

    eine Funktion. Dann nennt man den Ausdruck

    eine Differentialgleichung der Ordnung .

  7. Es sei

    mit

    ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten. Dann heißt eine Basis des Lösungsraumes ein Fundamentalsystem von Lösungen dieses Systems.

  8. Eine Abbildung

    heißt Bilinearform, wenn für alle die induzierten Abbildungen

    und für alle die induzierten Abbildungen

    -linear sind.


Aufgabe (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über zusammenhängende Teilmengen in .
  2. Der Fundamentalsatz der Algebra.
  3. Die Formel für die Länge einer Kurve
  4. Die Kettenregel für total differenzierbare Abbildungen.


Lösung

  1. Eine Teilmenge der reellen Zahlen ist genau dann zusammenhängend, wenn ein (nichtleeres) Intervall ist.
  2. Jedes nichtkonstante Polynom über den komplexen Zahlen besitzt eine Nullstelle.
  3. Es sei ein kompaktes Intervall und

    eine stetig differenzierbare Abbildung. Dann ist rektifizierbar und für die Kurvenlänge gilt

  4. Seien und endlichdimensionale -Vektorräume, und offene Mengen, und und Abbildungen derart, dass gilt. Es sei weiter angenommen, dass in und in total differenzierbar ist. Dann ist in differenzierbar mit dem totalen Differential


Aufgabe (2 Punkte)

Entscheide, ob das uneigentliche Integral

existiert.


Lösung

Für gilt die Abschätzung

Für die beiden Summanden existiert das uneigentliche Integral von bis nach Beispiel 31.6. Daher existiert nach Lemma 31.4 auch .


Aufgabe (4 (1+1+1+1) Punkte)

Es seien und zwei Punkte im . Bestimme den Abstand zwischen diesen beiden Punkten in

a) der euklidischen Metrik,

b) der Summenmetrik,

c) der Maximumsmetrik.

d) Vergleiche diese verschiedenen Abstände der Größe nach.


Lösung

Die Abstände der einzelnen Koordinaten sind

und

a) Der euklidische Abstand ist somit

b) In der Summenmetrik ist der Abstand

c) Es ist

daher ist der Abstand in der Maximumsmetrik gleich .

d) Wir behaupten, dass der Maximumsabstand kleiner dem euklidischen Abstand und dass dieser kleiner dem Summenabstand ist. Um dies zu sehen bringt man die drei Zahlen auf den Hauptnenner und muss dann für die Zähler

zeigen. Wegen und ist das klar.


Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten im die offenen Bälle und . Man gebe für jeden Punkt

einen expliziten offenen Ball mit Mittelpunkt an, der ganz innerhalb von liegt.


Lösung

Sei . Dies bedeutet einerseits

und andererseits

also

Sei

Wir behaupten

sei dazu . Die erste Inklusion ergibt sich aus

und die zweite Inklusion ergibt sich aus


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei eine Folge in einem metrischen Raum . Zeige, dass die Folge genau dann gegen konvergiert, wenn in jeder offenen Menge mit alle bis auf endlich viele Folgenglieder liegen.


Lösung

Die Folge konvergiere gegen und sei eine offene Umgebung. Es gibt ein mit

Wegen der Folgenkonvergenz gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung und damit gilt.

Umgekehrt gelte die Eigenschaft für jede offene Umgebung von . Dann gilt sie insbesondere für jede offene Ballumgebung und dies bedeutet die Konvergenz der Folge.


Aufgabe (6 (1+5) Punkte)

Es sei ein nichtleerer vollständiger metrischer Raum und es seien

starke Kontraktionen.

a) Zeige, das die Verknüpfung ebenfalls eine starke Kontraktion ist.

b) Zeige durch ein Beispiel mit endlichem , dass der Fixpunkt von weder mit dem Fixpunkt zu noch mit dem Fixpunkt zu übereinstimmen muss.


Lösung

a) Es seien die Kontraktionsfaktoren zu bzw. . Dann ist für beliebige Punkte

und somit kann man als Kontraktionsfaktor für die Verknüpfung nehmen.

b) Wir betrachten die drei Punkte

mit dem reellen Abstand. Dies ist als abgeschlossene Teilmenge von ein vollständiger metrischer Raum. Wir betrachten die konstante Abbildung

und mit

Die konstante Abbildung ist eine starke Kontraktion (mit Kontraktionsfaktor ) und ist eine starke Kontraktion mit Kontraktionsfaktor ; es ist ja

und

Der Fixpunkt von ist und der Fixpunkt von ist . Dagegen ist

es ist also der Fixpunkt der Verknüpfung.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei eine offene zusammenhängende Teilmenge. Zeige, dass auch wegzusammenhängend ist.


Lösung

Zu einem Punkt betrachten wir die Menge

Diese Menge ist offen, da offene Bälle wegzusammenhängend sind und man stetige Wege aneinander legen kann. Aus diesem Grund ist für zwei Punkte entweder oder aber . Wenn nicht wegzusammenhängend wäre, so wäre und es gäbe eine Zerlegung

in nichtleere offene Teilmengen im Widerspruch zum Zusammenhang.


Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

a) Skizziere die (Bahn der) archimedische Spirale

b) Skizziere die (Bahn der) archimedische Spirale


Lösung

a)
Archimedean spiral.svg










b) Es ist

D.h. der Wert des Weges an einer negativen Stelle ergibt sich aus dem Wert an der zugehörigen positiven Stelle, indem man in der ersten Komponenten negiert und die zweite Komponente beibehält. Die Bahn im Negativen ergibt sich also aus der Bahn im Positiven, indem man an der -Achse spiegelt.


Aufgabe (5 Punkte)

Sei

gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zum Vektorfeld


Lösung

Es ist

Für die geraden Exponenten heben sich die Summanden zu und weg, zu ungeraden Exponenten verdoppeln sie sich. Daher ist dieses Integral gleich


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein Vektorfeld der Form

mit einer stetigen Funktion

gegeben. Die Richtungsvektoren stehen also stets senkrecht zu den Ortsvektoren. Es sei und es sei

eine Lösung zur eindimensionalen Differentialgleichung

Zeige, dass

eine Lösung der Differentialgleichung

ist.


Lösung

Es ist einerseits

und andererseits ebenso

so dass eine Lösung vorliegt.


Aufgabe (1 Punkt)

Es sei

eine Lösung der zeitunabhängigen Differentialgleichung

zum Vektorfeld

Zeige, dass auch

zu jedem eine Lösung ist.


Lösung

Dies folgt direkt aus


Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten das lineare Differentialgleichungssystem

Es sei

eine Lösung dieser Differentialgleichung. Zeige, dass die beiden Funktionen und auf (dem Bild) der Lösung konstant sind.


Lösung

Es sei . Da es sich um eine Lösung handelt gilt

und

Daraus folgt direkt, dass die dritte Komponente, also , einer Lösung konstant ist. Um zu zeigen, dass auch auf der Lösung konstant ist, berechnen wir die Ableitung der Verknüpfung . Diese ist

Also ist ebenfalls konstant auf der Lösung.


Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine Funktion

die im Nullpunkt partiell differenzierbar ist und dort die Eigenschaft besitzt, dass die Richtungsableitung in keine Richtung mit existiert.


Lösung

Es sei

Die partiellen Ableitungen sind die Richtungsableitungen in Richtung der Standardvektoren bzw. . Für jeden Richtungsvektor geht es um die Existenz des Limes

Bei oder ist der Zähler konstant gleich , so dass der Limes existiert. Somit existieren die partiellen Ableitungen. Wenn hingegen und beide nicht sind, so ist

und dann existiert der Limes

nicht.


Aufgabe (4 (1+2+1) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

  1. Was ist der Definitionsbereich dieser Abbildung?
  2. Berechne die Jacobi-Matrix von in jedem Punkt .
  3. Ist die Funktion total differenzierbar?


Lösung

  1. Es ist

    daher ist der Definitionsbereich .

  2. Die partiellen Ableitungen sind

    Die Jacobi-Matrix ist also

  3. Da die partiellen Ableitungen überall existieren und stetig sind, ist die Funktion nach Fakt ***** total differenzierbar.


Aufgabe (7 (2+1+1+3) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

mit

a) Zeige, dass stetig ist.

b) Zeige, dass die Einschränkung von auf jede Gerade durch den Nullpunkt eine lineare Abbildung ist.

c) Zeige, dass zu im Nullpunkt in jede Richtung die Richtungsableitung existiert.

d) Zeige, dass im Nullpunkt nicht total differenzierbar ist.


Lösung

  1. Für ist

    Für eine gegen konvergente Folge konvergiert auch gegen und damit konvergiert wegen dieser Abschätzung auch die Bildfolge unter der Funktion gegen . Daher liegt Stetigkeit im Nullpunkt vor. An den anderen Punkten liegt eine rationale, also stetige Funktion vor.

  2. Die Gerade sei durch

    mit parametrisiert. Die Einschränkung ist somit

    also linear.

  3. Die Richtungsableitung in Richtung im Nullpunkt hängt nur vom Verhalten der Funktion auf der durch gegebenen Geraden ab. Nach Teil (2) ist dies eine lineare Funktion, so dass die Richtungsableitung existiert.
  4. Nach Teil (2) ist die Richtungsableitung im Nullpunkt in Richtung durch gegeben. Die Richtungsableitung in Richtung des ersten Standardvektors ist somit und die Richtungsableitung in Richtung des zweiten Standardvektors ist . Die Richtungsableitung in Richtung ist . Wenn die Funktion total differenzierbar wäre, so würde aber
    gelten.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion


Lösung

Der Gradient der Funktion ist

Zur Bestimmung der kritischen Punkte setzen wir und . Die erste Bedingung führt auf und die zweite Bedingung auf . Die kritischen Punkte sind also und .