- Übungsaufgaben
Bestimme die
Richtungsableitung
der Funktion
-
- im Punkt in Richtung ,
- im Punkt in Richtung ,
- im Punkt in Richtung ,
- im Punkt in Richtung ,
- im Punkt in Richtung ,
- im Punkt in Richtung .
Bestimme die
Richtungsableitung
der Funktion
-
- im Punkt in Richtung ,
- im Punkt in Richtung ,
- im Punkt in Richtung ,
- im Punkt in Richtung ,
- im Punkt in Richtung .
Bestimme zur Funktion
-
die Richtungsableitung in Richtung für jeden Punkt.
Es seien
und
endlichdimensionale
-
Vektorräume,
eine
offene Teilmenge,
und
eine Abbildung. Es sei
ein Punkt und
ein fixierter Vektor. Zeige, dass in in Richtung genau dann
differenzierbar
ist, wenn die
(auf einem Intervall bzw. einer offenen Ballumgebung um definierte)
Kurve
-
differenzierbar
ist, und dass in diesem Fall die Gleichheit
-
gilt.
Wie muss dabei das Intervall bzw. die offene Umgebung gewählt werden?
Bestimme, für welche Richtungen die
Richtungsableitung
im Nullpunkt zur Funktion
-
existieren.
Bestimme, für welche Punkte und welche Richtungen die
Richtungsableitung
der
euklidischen Norm
-
existiert.
Bestimme, für welche Punkte und welche Richtungen die
Richtungsableitung
der Funktion
-
existiert.
Untersuche die Funktion
-
im Nullpunkt auf
Richtungsableitungen.
Man entscheide für jede Gerade durch den Nullpunkt, ob die
Einschränkung
von auf im Nullpunkt ein
Extremum
besitzt.
Es seien
und
euklidische Vektorräume
und
-
seien
Abbildungen
auf einer
offenen Menge
,
die in Richtung
differenzierbar
seien. Zeige, dass dann auch die Abbildung
-
in Richtung
differenzierbar ist, und dass
-
gilt.
Es sei
der Einheitskreis und
-
eine Funktion mit
,
gegenüberliegende Punkte auf dem Kreis haben also zueinander negierte Werte.
- Zeige, dass durch
und
-
für
eine Funktion auf definiert ist.
- Zeige, dass genau dann
stetig
ist, wenn stetig ist.
- Man gebe ein Beispiel für ein nichtstetiges derart, dass im Nullpunkt stetig ist.
- Zeige, dass die Einschränkung von auf jede Gerade durch den Nullpunkt linear ist.
- Zeige, dass im Nullpunkt in jede Richtung differenzierbar ist.
- Es sei
-
Zeige, dass in jedem Punkt
nur in eine Richtung
(bis auf Skalierung)
eine Richtungsableitung besitzt.
Es seien
und
reelle endlichdimensionale Vektorräume,
offen
und
ein Vektor. Es bezeichne die Menge aller in Richtung
differenzierbaren Abbildungen
von nach . Zeige, dass die Abbildung
-
linear
ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Bestimme die
Richtungsableitung
der Funktion
-
- im Punkt in Richtung ,
- im Punkt in Richtung ,
- im Punkt in Richtung ,
- im Punkt in Richtung ,
- im Punkt in Richtung ,
- im Punkt in Richtung ,
- im Punkt in Richtung ,
- im Punkt in Richtung .
Bestimme die
Richtungsableitung
der Funktion
-
- im Punkt in Richtung ,
- im Punkt in Richtung ,
- im Punkt in Richtung ,
- im Punkt in Richtung .
Bestimme die
Richtungsableitungen
der Funktion
()
-
in einem Punkt
-
in Richtung
-
Zeige, unter Verwendung von
Aufgabe 43.14,
dass zu einer
polynomialen Funktion
-
zu einer fixierten Richtung die
Richtungsableitung
existiert und selbst polynomial ist.