Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 52/latex

\setcounter{section}{52}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

Mit diffeomorph ist im Folgenden stets $C^1$-diffeomorph gemeint.


\inputaufgabe
{}
{

Definiere explizit einen \definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{} zwischen $\R^n$ und einer offenen Kugel
\mathl{U { \left( 0,r \right) } \subseteq \R^n}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass eine offene Kreisscheibe
\mathl{U { \left( P,r \right) } \subseteq \R^2}{} \zusatzklammer {\mathlk{r >0}{}} {} {} und ein offenes Rechteck
\mathl{]a,b[ \times ]c,d[}{} \zusatzklammer {\mathlk{b >a, d>c}{}} {} {} \definitionsverweis {diffeomorph}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige die folgenden Aussagen. \aufzaehlungvier{Die Identität ist ein Diffeomorphismus. }{Eine lineare bijektive Abbildung ist ein Diffeomorphismus. }{Die Umkehrabbildung eines Diffeomorphismus ist wieder ein Diffeomorphismus. }{Die Hintereinanderschaltung von Diffeomorphismen ist ein Diffeomorphismus. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{U_1 \subseteq V_1}{,}
\mathl{U_2 \subseteq V_2}{,}
\mathl{U_3 \subseteq V_3}{,} und
\mathl{U_4 \subseteq V_4}{} \definitionsverweis {offene Teilmengen}{}{} in reellen endlichdimensionalen Vektorräumen. Es seien \maabbdisp {\varphi} { U_1} {U_3 } {} und \maabbdisp {\psi} {U_2} {U_4 } {} $C^1$-\definitionsverweis {Diffeomorphismen}{}{.} Zeige, dass auch die \definitionsverweis {Produktabbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi \times \psi} {U_1 \times U_3} {U_2 \times U_4 } {} ein $C^1$-Diffeomorphismus ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U_1 }
{ =} { { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid x>y \right\} } }
{ \subseteq} {\R^2 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U_2 }
{ =} { { \left\{ (u,v) \in \R^2 \mid u^2 > 4v \right\} } }
{ \subseteq} {\R^2 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} a) Skizziere \mathkor {} {U_1} {und} {U_2} {.}

b) Zeige, dass \mathkor {} {U_1} {und} {U_2} {} \definitionsverweis {offen}{}{} sind.

c) Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {U_1} {U_2 } {(x,y)} { (x+y,xy) } {,} ein \definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {regulären Punkte}{}{} der \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R^2 } {(x,y)} {(x^2y,x- \sin y ) } {.} Zeige, dass $\varphi$ in
\mathl{P=(1,0)}{} regulär ist und bestimme das \definitionsverweis {totale Differential}{}{} der \definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{} von $\varphi |_U$ in $\varphi(P)$, wobei $U$ eine offene Umgebung von $P$ sei \zusatzklammer {die nicht explizit angegeben werden muss} {} {.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Man gebe für jedes
\mathl{n \in \N_+}{} eine bijektive, \definitionsverweis {total differenzierbare}{}{} Abbildung \maabbdisp {\varphi_n} {\R^n} {\R^n } {} an, für die das totale Differential in mindestens einem Punkt nicht \definitionsverweis {regulär}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{U,V,W}{} \definitionsverweis {euklidische Vektorräume}{}{} und seien \mathkor {} {\varphi:U \longrightarrow V} {und} {\psi:V \longrightarrow W} {} \definitionsverweis {differenzierbare Abbildungen}{}{.} Es sei $\varphi$ \definitionsverweis {regulär}{}{} in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{U }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und $\psi$ regulär in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q }
{ = }{\varphi(P) }
{ \in }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Ist dann
\mathl{\psi \circ \varphi}{} regulär in $P$? Unter welchen Voraussetzungen stimmt dies?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Das \definitionsverweis {komplexe}{}{} Quadrieren \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {z} {z^2 } {,} kann man reell als \maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R^2 } { x+{ \mathrm i}y = (x,y)} {(x+ { \mathrm i} y)^2 = x^2-y^2 +2{ \mathrm i}xy = (x^2-y^2,2xy) } {,} schreiben. Untersuche $\varphi$ auf \definitionsverweis {reguläre Punkte}{}{.} Auf welchen \zusatzklammer {möglichst großen} {} {} offenen Teilmengen ist $\varphi$ \definitionsverweis {umkehrbar}{}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Finde möglichst große offene Teilmengen
\mathl{G \subseteq {\mathbb C} \cong \R^2}{} und
\mathl{H \subseteq {\mathbb C}}{} derart, dass die Abbildung \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {z} {z^3 } {,} einen \definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{} von $G$ nach $H$ induziert.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} { \R \setminus \{0\} \times \R } {\R^2 } {(x,y)} {\left( { \frac{ y^2 }{ x } } , \, { \frac{ y^3 }{ x^2 } } \right) } {.}

a) Bestimme die regulären Punkte der Abbildung $\varphi$.

b) Zeige, dass $\varphi$ in
\mathl{P=(1,2)}{} lokal eine differenzierbare Umkehrabbildung
\mathl{\psi= \varphi^{-1}}{} besitzt, und bestimme das totale Differential von $\psi$ im Punkt
\mathl{\varphi(P)}{.}

c) Man gebe alle Punkte
\mathl{Q \in \R \setminus \{0\} \times \R}{} an, in denen $\varphi$ nicht lokal invertierbar ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Transformation \maabbeledisp {} {[0,2 \pi] \times [0,1]} { B \left( 0,1 \right) } {(\alpha,w)} {( \sqrt{w} \cos \alpha, \sqrt{w} \sin \alpha) } {,} auf geeigneten offenen Teilmengen ein \definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{} ist und berechne die \definitionsverweis {Jacobi-Determinante}{}{} in jedem Punkt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{P_1 , \ldots , P_n}{} und
\mathl{Q_1 , \ldots , Q_n}{} Punkte in der Ebene $\R^2$. Zeige, dass die beiden offenen Mengen
\mathl{U=\R^2 \setminus \{P_1 , \ldots , P_n\}}{} und
\mathl{V=\R^2 \setminus \{Q_1 , \ldots , Q_n\}}{} zueinander \definitionsverweis {diffeomorph}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{T }
{ =} { { \left\{ { \frac{ 1 }{ n } } \mid n \in \N_+ \right\} } \cup \{0\} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U }
{ =} {\R \setminus T }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V }
{ =} {\R \setminus \N }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass \mathkor {} {U} {und} {V} {} zueinander \definitionsverweis {diffeomorph}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{T }
{ =} { { \left\{ \left( { \frac{ 1 }{ n } },0 \right) \mid n \in \N_+ \right\} } \cup \{(0,0)\} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U }
{ =} {\R^2 \setminus T }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V }
{ =} {\R^2 \setminus \N }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass \mathkor {} {U} {und} {V} {} zueinander nicht \definitionsverweis {homöomorph}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {\R^6} {\R^4 } {(a,b,c,d,u,v)} {(au+bv+c+d,ad-bc,ac-b^2,bd-c^2) } {.}

a) Bestimme die Jacobi-Matrix zu dieser Abbildung.

b) Zeige, dass $\varphi$ im Nullpunkt nicht regulär ist.

c) Zeige, dass $\varphi$ in
\mathl{(1,1,0,0,1,1)}{} regulär ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {F} {\R^3} {\R^3 } {(x,y,z)} {(x+y+z,xy+xz+yz,xyz) } {.} Zeige, dass ein Punkt
\mathl{P=(x,y,z)}{} genau dann ein \definitionsverweis {regulärer Punkt}{}{} von $F$ ist, wenn die Koordinaten von $P$ paarweise verschieden \zusatzklammer {also $x \neq y$, $x \neq z$ und
\mathl{y \neq z}{}} {} {} sind.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mathl{G \subseteq \R^n}{} \definitionsverweis {offen}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {G} {\R^n } {} eine \definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{} Abbildung. Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {regulären Punkte}{}{} von $\varphi$ offen ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {\R^2 \setminus \{ (0,0) \} } {\R^2 \setminus \{ (0,0) \} } {(u,v)} { \left( { \frac{ -u }{ u^2+v^2 } } , \, { \frac{ -v }{ u^2+v^2 } } \right) } {,} ein \definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{} ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{5}
{

Betrachte die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {\R^3} {\R^3 } {(x,y,z)} {(x+y+z,xy+xz+yz,xyz) } {.} Zeige, dass ein Punkt
\mathl{(x,y,z)}{} genau dann ein \definitionsverweis {kritischer Punkt}{}{} von $\varphi$ ist, wenn in
\mathl{(x,y,z)}{} zwei Zahlen doppelt vorkommen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Betrachte die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {\R^3} {\R^2 } {(x,y,z)} {(x^2-y^2z,y+ \sin xz ) } {.} Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {kritischen Punkte}{}{} von $\varphi$ eine Gerade umfasst, aber auch noch weitere \zusatzklammer {mindestens einen} {} {} Punkte enthält.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R^2 } {(x,y)} {(x,xy) } {.} Bestimme die \definitionsverweis {regulären Punkte}{}{,} die \definitionsverweis {Fasern}{}{  \zusatzklammer {also die Urbilder zu einem Punkt
\mathl{(u,v) \in \R^2}{}} {} {},} das \definitionsverweis {Bild}{}{} und das Bild aller regulären Punkte dieser Abbildung. Man gebe möglichst große offene Mengen
\mathl{U_1 , U_2 \subseteq \R^2}{} derart an, dass \maabbdisp {\varphi {{|}}_{U_1}} {U_1} {U_2 } {} ein \definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es seien
\mathl{U_1,U_2 \subseteq \R^k}{} und
\mathl{V_1,V_2 \subseteq \R^n}{} \definitionsverweis {offene Teilmengen}{}{} mit
\mathl{0 \in V_1,V_2}{} und es sei \maabbdisp {\varphi} {U_1 \times V_1} {U_2 \times V_2 } {} ein \definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{,} der eine \definitionsverweis {Bijektion}{}{} zwischen \mathkor {} {U_1 \times \{0\}} {und} {U_2 \times \{0\}} {} induziert. Zeige, dass dann auch die Einschränkung von $\varphi$ auf
\mathl{U_1 \cong U_1 \times \{0\}}{} nach
\mathl{U_2 \cong U_2 \times \{0\}}{} ein Diffeomorphismus ist.

}
{} {}