Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 55/latex

\setcounter{section}{55}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Formuliere und beweise den \anfuehrung{Satz über die surjektive Abbildung}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Betrachte die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R^3 } {(s,t)} { (s, -s-t^2, t^3) = (x,y,z) } {.}

a) Erstelle die \definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{} von $\varphi$.

b) Bestimme die \definitionsverweis {regulären Punkte}{}{}
\mathl{(s,t)}{} von $\varphi$.

c) Zeige, dass
\mathl{\varphi(s,t)}{} die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (x+y)^3+z^2 }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} erfüllt.

d) Zeige, dass die Abbildung injektiv ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U }
{ =} {(\R_+ \times \R ) \setminus \{(2,4), (4,2) \} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Begründe, ob die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {U} { \R^3 } {(x,y)} {(x+y,xy,x^y) = (u,v,w) } {.} injektiv ist oder nicht.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I }
{ \subseteq }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {reelles Intervall}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {offene Menge}{}{} und \maabbeledisp {f} {I\times U} {V } {(t,v)} {f(t,v) } {,} ein \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} auf $U$. Zeige die folgenden Aussagen.

a) Wenn $f$ \zusatzklammer {als Abbildung} {} {} \definitionsverweis {Lipschitz-stetig}{}{} ist, so genügt das Vektorfeld einer \definitionsverweis {Lipschitz-Bedingung}{}{.}

b) Wenn das Vektorfeld einer Lipschitz-Bedingung genügt, so sind für jedes feste
\mathl{t \in I}{} die Abbildungen \maabbeledisp {} {U} {V } {v} {f(t,v) } {,} Lipschitz-stetig.

c) Man gebe Beispiele, die zeigen, dass die Implikationen aus a) und b) nicht umkehrbar sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {Folge}{}{} in $M$, die gegen $x \in M$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{.} Es sei $T$ eine Menge und es seien \maabbeledisp {f_n} {T} {M } {t} {f_n(t) = x_n } {,} die zu $x_n$ gehörenden \definitionsverweis {konstanten Funktionen}{}{.} Zeige, dass die Funktionenfolge ${ \left( f_n \right) }_{n \in \N }$ \definitionsverweis {gleichmäßig}{}{} gegen die konstante Funktion \maabbeledisp {f} {T} {M } {t} {f(t) = x } {,} konvergiert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $T$ eine \definitionsverweis {endliche}{}{} Menge und \maabbdisp {f_n} {T} {X } {} eine \definitionsverweis {Abbildungsfolge}{}{} in einen \definitionsverweis {metrischen Raum}{}{} $X$. Zeige, dass diese Folge genau dann \definitionsverweis {punktweise konvergiert}{}{,} wenn sie \definitionsverweis {gleichmäßig konvergiert}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{(Y,d)}{} ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ Y }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Teilmenge. Es sei $T \subseteq \tilde{T} \subseteq \overline{ T }$ und \maabbdisp {g_n} {\tilde{T} } { {\mathbb K} } {} eine \definitionsverweis {Folge}{}{} von \definitionsverweis {stetigen Funktionen}{}{.} Zeige, dass diese Folge genau dann \definitionsverweis {gleichmäßig konvergiert}{}{,} wenn die auf $T$ \definitionsverweis {eingeschränkte}{}{} Folge $f_n=g_n {{|}} _T$ gleichmäßig konvergiert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $T$ eine Menge und $E$ ein \definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M }
{ = }{ \operatorname{Abb} \,(T,E) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} versehen mit der \definitionsverweis {Supremumsnorm}{}{.} Beweise die folgenden Eigenschaften für diese \anfuehrung{Norm}{} \zusatzklammer {dabei ist der Wert $\infty$ erlaubt und sinnvoll zu interpretieren} {} {.} \aufzaehlungvier{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {f} \Vert }
{ \geq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f }
{ \in }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {f} \Vert }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. }{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f }
{ \in }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {\lambda f} \Vert }
{ =} { \betrag { \lambda } \cdot \Vert {f} \Vert }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g,f }
{ \in }{M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {g+f} \Vert }
{ \leq} { \Vert {g} \Vert + \Vert {f} \Vert }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathdisp {C=C^0([0,1], \R)} { }
die Menge der \definitionsverweis {stetigen Funktionen}{}{,} die mit der \definitionsverweis {Supremumsnorm}{}{} versehen sei. Skizziere zu $\epsilon>0$ die offene und die abgeschlossene $\epsilon$-Umgebung von einem
\mathl{f \in C}{.}

}
{} {}

Es sei $V$ ein ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\Vert {-} \Vert} {V} {\R } {v} { \Vert {v} \Vert } {,} heißt \definitionswort {Norm}{,} wenn die folgenden Eigenschaften gelten. \aufzaehlungvier{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {v} \Vert }
{ \geq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v }
{ \in }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {v} \Vert }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. }{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda }
{ \in }{ {\mathbb K} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v }
{ \in }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {\lambda v} \Vert }
{ =} { \betrag { \lambda } \cdot \Vert {v} \Vert }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v,w }
{ \in }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {v+w} \Vert }
{ \leq} { \Vert {v} \Vert + \Vert {w} \Vert }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

Die Norm zu einem Skalarprodukt erfüllt diese Eigenschaften.

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $T$ eine Menge und $E$ ein \definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{.} Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { { \left\{ f:T \rightarrow E \mid \Vert {f} \Vert_T < \infty \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Menge der beschränkten \definitionsverweis {Abbildungen}{}{} von $T$ nach $E$. Zeige, dass die \definitionsverweis {Supremumsnorm}{}{} auf $M$ eine \definitionsverweis {Norm}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass ein \definitionsverweis {normierter}{}{} $\R$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d(u,v) }
{ \defeq} { \Vert {u-v} \Vert }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} zu einem \definitionsverweis {metrischen Raum}{}{} wird.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $T$ eine Menge, $E$ ein \definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { { \left\{ f:T \rightarrow E \mid \Vert {f} \Vert_T < \infty \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Menge der beschränkten \definitionsverweis {Abbildungen}{}{} von $T$ nach $E$. Zeige, dass eine Folge
\mathl{{ \left( f_n \right) }_{n \in \N }}{} aus $M$ genau dann gegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f }
{ \in }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {gleichmäßig konvergiert}{}{,} wenn diese Folge im durch die \definitionsverweis {Supremumsnorm}{}{} gegebenen \definitionsverweis {metrischen Raum}{}{} $M$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{.}

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{5}
{

Es sei \maabbdisp {\gamma} {[a,b]} {\R^n } {} eine \definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{} \definitionsverweis {reguläre Kurve}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Faser}{}{} über jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c }
{ \in }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} endlich ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{6}
{

Es sei
\mathl{G \subseteq \R^m}{} offen und \maabbdisp {\varphi} {G} {\R^n } {} eine in $P \in G$ \definitionsverweis {total differenzierbare Abbildung}{}{} mit \definitionsverweis {injektivem}{}{} \definitionsverweis {totalen Differential}{}{.} Zeige, dass es eine \definitionsverweis {offene Umgebung}{}{} $U$ von $P$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi^{-1}(\varphi(P)) \cap U }
{ = }{ \{P\} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

}
{} {Tipp: Betrachte das totale Differential auf der Einheitssphäre. Der Satz über die injektive Abbildung ist hier nicht anwendbar.}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $T \subseteq \R^n$ eine \definitionsverweis {kompakte Teilmenge}{}{} und $E$ ein \definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{.} Es sei
\mathl{C= C^0 (T,E)}{} der Raum der stetigen Abbildungen von $T$ nach $E$, versehen mit der \definitionsverweis {Supremumsnorm}{}{.} Es seien
\mathl{x_1 , \ldots , x_n \in T}{} und
\mathl{y_1 , \ldots , y_n \in E}{} Punkte. Zeige, dass die Teilmenge
\mathdisp {{ \left\{ f \in C \mid f(x_1) = y_1 , \ldots , f(x_n) = y_n \right\} }} { }
\definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} in $C$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei
\mathl{M_k=({(a_{ij} })_k)_{1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n}}{} eine Folge von reellen
\mathl{m\times n}{-}Matrizen und \maabbdisp {\varphi_k} {\R^n} {\R^m } {} die zugehörige Folge von linearen Abbildungen. Zeige, dass die Folgen der Einträge
\mathl{({a_{ij} })_k}{} für alle
\mathl{i,j}{} genau dann konvergieren, wenn die Folge der Abbildungen \definitionsverweis {punktweise konvergiert}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $T$ eine Menge und \maabbdisp {f_n} {T} {\R^m } {} eine Folge von Abbildungen. Zeige, dass $f_n$ genau dann gegen eine \definitionsverweis {Grenzabbildung}{}{} \maabbdisp {f} {T} {\R^m } {} \definitionsverweis {gleichmäßig konvergiert}{}{,} wenn die \definitionsverweis {Komponentenfunktionen}{}{}
\mathl{(f_i)_n}{} \definitionsverweis {gleichmäßig}{}{} gegen $f_i$ konvergieren.

}
{} {}