Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 58/latex

\setcounter{section}{58}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{[a,b]}{} ein \definitionsverweis {kompaktes Intervall}{}{} und \maabbeledisp {f} {\R \times [a,b]} { \R } {(x,y)} { x^iy^j } {.} Wir setzen
\mathdisp {\varphi(x) = \int_a^b x^i y^j dy} { . }
Berechne
\mathl{\varphi'(x)}{} auf zwei unterschiedliche Weisen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestätige Satz 58.3 für die Funktion \maabbeledisp {f} {[1,2] \times \R } { \R } {(t,x)} { e^{xt} } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x,y) }
{ =} { x^3-yx^2+7 \sin y }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Berechne die Integrale zum Parameter
\mathl{y \in [0,\pi]}{} über
\mathl{x \in [0,1]}{} und zum Parameter
\mathl{x \in [0,1]}{} über
\mathl{y \in [0,\pi ]}{.} Bestimme jeweils die extremalen Integrale.

}
{} {}

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Nebra Scheibe.jpg} }
\end{center}
\bildtext {Die Himmelsscheibe von Nebra. Ist die Mondsichel darauf sternförmig?} }

\bildlizenz { Nebra Scheibe.jpg } {} {Dbachmann} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte zu
\mathl{r,s \in \R_+}{} mit
\mathl{r+s > 1}{} und
\mathl{s < r+1}{} die \anfuehrung{sichelförmige}{} Menge
\mathdisp {M_{r,s} = { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid \sqrt{x^2+y^2} \leq r , \, \sqrt{(x-1)^2+y^2} \geq s \right\} }} { . }
Für welche $r,s$ ist diese Menge \definitionsverweis {sternförmig}{}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass eine \definitionsverweis {sternförmige}{}{} Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {zusammenhängend}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{T \subseteq \R}{} eine Teilmenge. Zeige, dass $T$ genau dann ein \zusatzklammer {nichtleeres} {} {} \definitionsverweis {Intervall}{}{} ist, wenn $T$ \definitionsverweis {sternförmig}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{P_1 , \ldots , P_k}{} \zusatzklammer {\mathlk{k \geq 1}{}} {} {} endlich viele Punkte im $\R^n$. Zeige, dass
\mathl{\R^n \setminus \{P_1 , \ldots , P_k \}}{} nicht \definitionsverweis {sternförmig}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {sternförmige}{}{} Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ \R^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} an, die nur bezüglich eines einzigen Punktes sternförmig ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {offene}{}{,} \definitionsverweis {sternförmige}{}{} Teilmenge
\mathl{T \subseteq \R^2}{} an, die nur bezüglich eines einzigen Punktes sternförmig ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Überprüfe, ob das \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} \maabbeledisp {G} {\R^2 \setminus \{(0,0)\}} {\R^2 } {(x,y)} { \left( { \frac{ -2x^2 +2y^4 }{ { \left( x^2+y^4 \right) }^2 } } , \, { \frac{ 8xy^3 }{ { \left( x^2+y^4 \right) }^2 } } \right) } {,} die \definitionsverweis {Integrabilitätsbedingung}{}{} erfüllt oder nicht.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Überprüfe, ob das \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} \maabbeledisp {G} {\R^2 \setminus \{(0,0)\}} {\R^2 } {(x,y)} { \left( { \frac{ -2x^2 +2y^4 }{ { \left( x^3+y^3 \right) }^2 } } , \, { \frac{ 8xy^3 }{ { \left( x^3+y^3 \right) }^2 } } \right) } {,} die \definitionsverweis {Integrabilitätsbedingung}{}{} erfüllt oder nicht.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass das \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} \maabbeledisp {G} {\R^2} {\R^2 } {(x,y)} { \left( 2x-y \cos x , \, - \sin x \right) } {,} ein \definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{} ist und bestimme ein \definitionsverweis {Potential}{}{} dazu.

}
{} {}

Ob ein Vektorfeld auf
\mathl{U \subseteq \R^3}{} die \definitionsverweis {Integrabilitätsbedingung}{}{} erfüllt lässt sich äquivalent mit der sogenannten Rotation ausdrücken.

Zu einem \definitionsverweis {partiell differenzierbaren}{}{} \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} \maabbdisp {G} {U} {\R^3 } {} auf einer \definitionsverweis {offenen Teilmenge}{}{}
\mathl{U \subseteq \R^3}{} nennt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{ rot}_{ } ^{ } { \left( G \right) }(P) }
{ \defeq} { \begin{pmatrix} { \frac{ \partial G_3 }{ \partial x_2 } }(P)- { \frac{ \partial G_2 }{ \partial x_3 } }(P) \\ { \frac{ \partial G_1 }{ \partial x_3 } }(P)-{ \frac{ \partial G_3 }{ \partial x_1 } }(P) \\ { \frac{ \partial G_2 }{ \partial x_1 } }(P)-{ \frac{ \partial G_1 }{ \partial x_2 } }(P) \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die \definitionswort {Rotation}{} von $G$.

Die Rotation ist ebenfalls ein Vektorfeld.

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabb {G} {U} {\R^3 } {} ein \definitionsverweis {stetig differenzierbares}{}{} \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} auf einer \definitionsverweis {offenen Teilmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ \R^3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass $G$ genau dann die \definitionsverweis {Integrabilitätsbedingung}{}{} erfüllt, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ rot}_{ } ^{ } { \left( G \right) } }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne zum \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} \maabbeledisp {G} { { \left\{ (x,y,z) \in \R^3 \mid x,y,z \neq 0 \right\} } } {\R^3 } {(x,y,z)} { \left( x^3-z^2 , \, { \frac{ xy }{ z } } , \, { \frac{ z }{ x^2y } } \right) } {} die \definitionsverweis {Rotation}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten das Vektorfeld \maabbdisp {G} {\R^2} {\R^2 } {} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G(x,y) }
{ =} {(y, - x^3) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} Zeige auf zweifache Weise, dass $G$ kein Gradientenfeld ist. \aufzaehlungzwei {Mit der Integrabilitätsbedingung. } {Mit Wegintegralen. }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten das \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} \maabbeledisp {G} {\R^3 } {\R^3 } {(x,y,z)} { \left( y - \cos \left( x+z \right) , \, x , \, 2z - \cos \left( x+z \right) \right) } {.}

a) Zeige mit Hilfe der Integrabilitätsbedingung, dass $G$ ein \definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{} ist.

b) Bestimme ein \definitionsverweis {Potential}{}{} zu $G$.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten das \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} \maabbeledisp {G} {\R^2 \times \R_{>0} } {\R^3 } {(x,y,z)} { \left( ye^{xy} + \ln z , \, xe^{xy} - 2yz , \, { \frac{ x }{ z } } -y^2 \right) } {.}

a) Zeige mit Hilfe der Integrabilitätsbedingung, dass $G$ ein \definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{} ist.

b) Bestimme ein \definitionsverweis {Potential}{}{} zu $G$.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei \maabbdisp {F} {G} {\R^2 } {} ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf einer offenen Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G }
{ \subseteq }{\R^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \rho (P) }
{ \defeq} { { \frac{ \partial F_2 }{ \partial x } }(P)- { \frac{ \partial F_1 }{ \partial y } } (P) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \rho(P) }
{ =} { { \frac{ 1 }{ \pi } } \cdot \operatorname{lim}_{ \epsilon \rightarrow 0 } \, { \frac{ 1 }{ \epsilon^2 } } \int_{\gamma_\epsilon} F }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} wobei $\gamma_\epsilon$ den einmal gegen den Uhrzeigersinn durchlaufenen Kreisweg um $P$ mit Radius $\epsilon$ bezeichnet.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme, ob zur Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {x^2 } {,} der \definitionsverweis {Subgraph}{}{} und ob der \definitionsverweis {Epigraph}{}{} \definitionsverweis {sternförmig}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{6}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {sternförmige}{}{} Teilmenge. Zeige, dass auch der \definitionsverweis {Abschluss}{}{}
\mathl{\overline{ T }}{} sternförmig ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Zeige, dass das \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} \maabbeledisp {G} {\R^3} {\R^3 } {(x,y,z)} { \left( y e^z-3x^2z , \, xe^z+2yz , \, xye^z+y^2-x^3 \right) } {,} ein \definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{} ist und bestimme ein \definitionsverweis {Potential}{}{} dazu.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Berechne zum \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} \maabbeledisp {G} { { \left\{ (x,y,z) \in \R^3 \mid x, y \neq 0 , \, z>0 \right\} } } {\R^3 } {(x,y,z)} { \left( { \frac{ e^{3x}-z }{ y } } , \, { \frac{ \cos x }{ z^2 } } , \, { \frac{ \ln z }{ xy } } \right) } {} die \definitionsverweis {Rotation}{}{.}

}
{} {}