Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Arbeitsblatt 80/latex

\setcounter{section}{80}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Diciembre.jpg} }
\end{center}
\bildtext {Gar nicht mehr lange! Wir wünschen schon jetzt frohe Weihnachten!} }

\bildlizenz { Diciembre.jpg } {} {Lumentzaspi} {Commons} {PD} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und seien
\mathl{ V_1 , \ldots , V_n }{} und $W$ \definitionsverweis {Vektorräume}{}{} über $K$. Zeige, dass die Menge aller \definitionsverweis {multilinearen}{}{} Abbildungen, die mit
\mathl{\operatorname{Mult}_{ K } { \left( V_1 , \ldots , V_n , W \right) }}{} bezeichnet wird, in natürlicher Weise ein Vektorraum ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} seien $ V $ und $W$ \definitionsverweis {Vektorräume}{}{} über $K$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die Menge aller \definitionsverweis {alternierenden}{}{} Abbildungen, die mit
\mathl{\operatorname{Alt}_{ K }^{ n } { \left( V , W \right) }}{} bezeichnet wird, ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} von
\mathl{\operatorname{Mult}_{ K } { \left( V , \ldots , V , W \right) }}{} \zusatzklammer {wobei der Vektorraum $V$ $n$-fach auftritt} {} {} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Drücke das \definitionsverweis {Dachprodukt}{}{}
\mathl{\begin{pmatrix} 2 \\3\\ 2 \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} 4 \\-1\\ 5 \end{pmatrix}}{} in der Standardbasis von
\mathl{\bigwedge^2 \R^3}{} aus.

}
{} {}

Die in der folgenden Aufgabe konstruierte Basis des Dualraums heißt \stichwort {Dualbasis} {.}


\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektor\-raum}{}{} mit \definitionsverweis {Basis}{}{} $\mathfrak{ v }= v_1 , \ldots , v_n$. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { V }^{ * } }
{ \defeq} {\operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , K \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} der \definitionsverweis {Dualraum}{}{} zu $V$. Zeige, dass auf ${ V }^{ * }$ die \definitionsverweis {Koordinatenfunktionen}{}{} $v^*_1 , \ldots , v^*_n$, die durch
\mathdisp {v_j^* (v_k) = \begin{cases} 1, \text{ falls } j=k , \\ 0 \text{ sonst} , \end{cases}} { }
definiert sind, eine Basis von ${ V }^{ * }$ bilden.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektor\-raum}{}{.} Es seien
\mathl{f_1 , \ldots , f_k \in V^*}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {V \times \cdots \times V } {K } {(v_1 , \ldots , v_k)} { \det (f_i (v_j))_{1 \leq i ,j \leq k} } {,} \definitionsverweis {multilinear}{}{} und \definitionsverweis {alternierend}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {\varphi} {\R^2} {\R^3 } {} die durch die \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 0 & 7 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}} { }
gegebene \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Bestimme die Matrix zu
\mathl{\bigwedge^2 \varphi}{} bezüglich der Standardbasen der Dachprodukte.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte Geschenkpapier. Auf welche Arten kann man das Papier zerschneiden und/oder verkleben, so, dass eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit entsteht. Sollte der Rand des Papiers dazu gehören oder nicht? Welche entstehenden Mannigfaltigkeiten sind zusammenhängend, welche kompakt? Wie entsteht ein Möbius-Band? Welche Möglichkeiten gibt es, wenn man endlich viele Ausnahmepunkte erlaubt, in denen keine Mannigfaltigkeitsstruktur vorliegt?

Wende die Theorie an, um möglichst originelle Verpackungen zu konstruieren. Verschnüre diese mit geeigneten eindimensionalen Mannigfaltigkeiten.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man entwickle die Grundzüge einer Theorie der \anfuehrung{komplexen Mannigfaltigkeiten}{.} Was ist die zugrunde liegende reelle Mannigfaltigkeit, was ist die \zusatzklammer {komplexe/reelle} {} {} Dimension, wie sieht der Tangentialraum aus?

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{2}
{

Drücke das \definitionsverweis {Dachprodukt}{}{}
\mathl{\begin{pmatrix} -2 \\5\\ -4 \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} 7 \\-2\\ 4 \end{pmatrix}}{} in der Standardbasis von
\mathl{\bigwedge^2 \R^3}{} aus.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Drücke das \definitionsverweis {Dachprodukt}{}{}
\mathdisp {-2 \begin{pmatrix} 3 \\6\\ -2\\5 \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} 2 \\7\\ 4\\0 \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} 0 \\3\\ -4\\-2 \end{pmatrix} +4 \begin{pmatrix} 1 \\2\\ 3\\4 \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} 1 \\-1\\ -2\\3 \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} 7 \\6\\ 5\\-4 \end{pmatrix}} { }
in der Standardbasis von
\mathl{\bigwedge^3 \R^4}{} aus.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Wir betrachten das zweite \definitionsverweis {Dachprodukt}{}{}
\mathl{\bigwedge^2 \R^n}{} mit der Standardbasis
\mathbed {e_i \wedge e_j} {}
{i < j} {}
{} {} {} {,} und der zugehörigen \definitionsverweis {Dualbasis}{}{}
\mathl{\varphi_{ij} =e_{ij}^*}{.} Zeige, dass die Funktion \maabbeledisp {\varphi} {\bigwedge^2 \R^n} { \R } {x} { \varphi(x) = \sqrt{ \sum_{i <j} (\varphi_{ij}(x))^2 } } {,} die Eigenschaft besitzt, dass
\mathl{\varphi(v \wedge w)}{} mit dem \definitionsverweis {Flächeninhalt}{}{} des von \mathkor {} {v} {und} {w} {} im $\R^n$ \definitionsverweis {aufgespannten Parallelogramms}{}{} übereinstimmt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Es sei \maabbdisp {\varphi} {\R^3} {\R^3 } {} die durch die \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 4 & -2 & 5 \\ 6 & 8 & -3 \\1 & 4 & -1 \end{pmatrix}} { }
gegebene \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Bestimme die Matrix zu
\mathl{\bigwedge^2 \varphi}{} bezüglich der Standardbasen der Dachprodukte.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es seien
\mathl{u_1 , \ldots , u_n \in V}{.} Zeige, dass es zu jedem
\mathl{k\in \N}{} eine eindeutig bestimmte \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {} {\bigwedge^k V} { \bigwedge^{k+n} V } {} mit
\mathl{v_1 \wedge \ldots \wedge v_k \mapsto v_1 \wedge \ldots \wedge v_k \wedge u_1 \wedge \ldots \wedge u_n}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Wir betrachten die \definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathdisp {v_1= \begin{pmatrix} 9 \\8\\ 1 \end{pmatrix} ,\, v_2 = \begin{pmatrix} 4 \\7\\ -3 \end{pmatrix} ,\, v_3= \begin{pmatrix} 2 \\5\\ -2 \end{pmatrix}} { }
von $\R^3$ und die dadurch induzierte Basis
\mathdisp {\mathfrak{ v } = v_1 \wedge v_2,\, v_1 \wedge v_3 , \, v_2 \wedge v_3} { }
von
\mathl{\bigwedge^2 \R^3}{.} Bestimme die \definitionsverweis {Übergangsmatrizen}{}{} \zusatzklammer {in beide Richtungen} {} {} zwischen der Basis $\mathfrak{ v }$ und der Standardbasis
\mathl{e_1 \wedge e_2,\, e_1 \wedge e_3 , \, e_2 \wedge e_3}{.}

}
{} {}