Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Arbeitsblatt 81/latex

\setcounter{section}{81}






\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {DBP_1962_385_Wohlfahrt_Schneewittchen.jpg} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { DBP 1962 385 Wohlfahrt Schneewittchen.jpg } {Börnsen} {NobbiP} {Commons} {gemeinfrei} {}




\inputaufgabe
{}
{

Schaue in einen Spiegel. Vertauscht die Spiegelung links und rechts, oben und unten, vorne und hinten? Durch welche lineare Abbildung wird eine Spiegelung beschrieben?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{.} Zeige, dass auf der Menge der \zusatzklammer {geordneten} {} {} \definitionsverweis {Basen}{}{} die \definitionsverweis {Orientierungsgleichheit}{}{} eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} ist, die bei
\mathl{V \neq 0}{} aus genau zwei \definitionsverweis {Äquivalenzklassen}{}{} besteht.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V \neq 0$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{} mit einer \definitionsverweis { Basis}{}{}
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{.} Zeige, dass wenn man einen Vektor $v_i$ durch sein Negatives $-v_i$ ersetzt, dass dann die neue Basis die \definitionsverweis { entgegengesetzte Orientierung}{}{} repräsentiert.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien $V$ und $W$ zwei \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} \definitionsverweis {orientierte}{}{} \definitionsverweis {reelle Vektorräume}{}{} und sei \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} eine \definitionsverweis {bijektive}{}{} \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass $\varphi$ genau dann \definitionsverweis {orientierungstreu}{}{} ist, wenn es eine die \definitionsverweis {Orientierung}{}{} auf $V$ repräsentierende \definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} gibt, deren Bildvektoren
\mathl{\varphi(v_1) , \ldots , \varphi(v_n)}{} die Orientierung auf $W$ repräsentieren.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme, ob die beiden \definitionsverweis {Basen}{}{} des $\R^2$,
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 \\4 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} -5 \\7 \end{pmatrix} \text{ und } \begin{pmatrix} -3 \\6 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 2 \\-5 \end{pmatrix}} { , }
die gleiche \definitionsverweis {Orientierung}{}{} repräsentieren oder nicht.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme, ob die beiden Basen des $\R^3$,
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 \\0\\ 4 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 2 \\4\\ -3 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 0 \\3\\ -5 \end{pmatrix} \text{ und } \begin{pmatrix} -3 \\7\\ 2 \end{pmatrix} , \, \begin{pmatrix} -4 \\5\\ -1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} -6 \\0\\ 11 \end{pmatrix}} { , }
die gleiche \definitionsverweis {Orientierung}{}{} repräsentieren oder nicht.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten im $\R^3$ die drei Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 \\2\\ 3 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 0 \\2\\ -2 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} x \\5\\ 7 \end{pmatrix}} { . }

a) Wie muss man $x$ wählen, damit diese drei Vektoren die Standardorientierung des $\R^3$ repräsentieren?

b) Wie muss man $x$ wählen, damit diese drei Vektoren die der Standardorientierung entgegengesetzte Orientierung repräsentieren?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {M_1} {und} {M_2} {} \definitionsverweis {orientierte Mannigfaltigkeiten}{}{.} Zeige, dass das \definitionsverweis {Produkt}{}{}
\mathl{M_1 \times M_2}{} eine orientierte Mannigfaltigkeit ist \zusatzklammer {wobei die Orientierung von der Ordnung auf \mathlk{\{1,2\}}{} abhängt} {} {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die $1$-Sphäre $S^1$ eine \definitionsverweis {orientierbare}{}{} \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{} ist.

}
{} {}


Es seien \mathkor {} {M} {und} {N} {} \definitionsverweis {orientierte Mannigfaltigkeiten}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {M} {N } {} eine \definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{.} Diese heißt $\varphi$ \definitionswort {orientierungstreu}{,} wenn für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die \definitionsverweis {Tangentialabbildung}{}{} \maabbdisp {T\varphi} { T_PM } { T_{\varphi(P)} N } {} bijektiv und \definitionsverweis {orientierungstreu}{}{} ist.





\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {antipodale Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {S^1} {S^1 } {P} {-P } {,} \definitionsverweis {orientierungstreu}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {orientierte Mannigfaltigkeit}{}{.} Zeige, dass die Vertauschungsabbildung \maabbeledisp {\varphi} {M \times M} {M \times M } {(P,Q)} {(Q,P) } {,} bezüglich der jeweiligen \definitionsverweis {Produktorientierungen}{}{} nicht \definitionsverweis {orientierungstreu}{}{} sein muss.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{,} der nur aus \definitionsverweis {endlich vielen}{}{} Elementen bestehe. Zeige, dass $X$ \definitionsverweis {kompakt}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{} und es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y_1 , \ldots , Y_n }
{ \subseteq }{ X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {kompakte Teilmengen}{}{.} Zeige, dass auch die \definitionsverweis {Vereinigung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y }
{ = }{ \bigcup_{i = 1}^n Y_i }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} kompakt ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {kompakter Raum}{}{} und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y }
{ \subseteq }{X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {abgeschlossene Teilmenge}{}{,} die die \definitionsverweis {induzierte Topologie}{}{} trage. Zeige, dass $Y$ ebenfalls kompakt ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {\R} {S^1 } {} eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{.} Zeige, dass das \definitionsverweis {Bild}{}{} von $f$ \definitionsverweis {homöomorph}{}{} zu einem offenen, einem halboffenen, einem abgeschlossenen \definitionsverweis {Intervall}{}{} oder zu $S^1$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {S^1} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{.} Zeige, dass das \definitionsverweis {Bild}{}{} von $f$ \definitionsverweis {homöomorph}{}{} zu einem abgeschlossenen \definitionsverweis {Intervall}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {reellen Zahlen}{}{} $\R$ nicht \definitionsverweis {überdeckungskompakt}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die \definitionsverweis {natürlichen Zahlen}{}{} $\N$ und versehen sie mit der \definitionsverweis {diskreten Metrik}{}{.} Zeige, dass $\N$ \definitionsverweis { abgeschlossen}{}{} und \definitionsverweis {beschränkt}{}{,} aber nicht \definitionsverweis { überdeckungskompakt}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {kompakter}{}{} \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{.} Zeige, dass $X$ \definitionsverweis { vollständig}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M }
{ =} { { \left\{ (x,y,z) \in \R^3 \mid x^2+y^4+z^6 = 1 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine zweidimensionale kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $M$ eine kompakte topologische $d$-dimensionale Mannigfaltigkeit,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d }
{ \geq }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass es eine beschränkte offene Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ \R^d }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und eine stetige surjektive Abbildung \maabbdisp {\varphi} {U} {M } {} gibt.

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme, ob die beiden Basen des $\R^3$,
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 \\4\\ -5 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 7 \\6\\ -1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 0 \\2\\ -3 \end{pmatrix} \text{ und } \begin{pmatrix} -3 \\6\\ 2 \end{pmatrix} , \, \begin{pmatrix} -4 \\4\\ -2 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} -5 \\0\\ 13 \end{pmatrix}} { , }
die gleiche \definitionsverweis {Orientierung}{}{} repräsentieren oder nicht.

}
{} {}




\inputaufgabe
{6}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {komplexer Vektorraum}{}{.} Zeige, dass es auf $V$, aufgefasst als \definitionsverweis {reellen Vektorraum}{}{,} eine natürliche \definitionsverweis {Orientierung}{}{} gibt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Zeige, dass die $2$-Sphäre $S^2$ eine \definitionsverweis {orientierbare}{}{} \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Antipodenabbildung}{}{} \maabbeledisp {} {S^2} {S^2 } {(x,y,z)} {(-x,-y,-z) } {,} nicht \definitionsverweis {orientierungstreu}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {Hausdorffraum}{}{} und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y }
{ \subseteq }{X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Teilmenge, die die \definitionsverweis {induzierte Topologie}{}{} trage. Es sei $Y$ \definitionsverweis {kompakt}{}{.} Zeige, dass $Y$ \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} in $X$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Es seien \mathkor {} {X} {und} {Y} {} \definitionsverweis {topologische Räume}{}{} und es sei \maabbdisp {\varphi} {X} {Y } {} eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{.} Es sei $X$ \definitionsverweis {kompakt}{}{.} Zeige, dass das \definitionsverweis {Bild}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(X) }
{ \subseteq }{ Y }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ebenfalls kompakt ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{} der \definitionsverweis {Dimension}{}{} $n$ und sei das \definitionsverweis {Produkt}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V^n }
{ = }{ V \times \cdots \times V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit der \definitionsverweis {Produkttopologie}{}{} versehen. Es sei $I$ ein \definitionsverweis {reelles Intervall}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {I} {V^n } {} eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{} mit der Eigenschaft, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(t) }
{ =} { (\varphi_1(t), \varphi_2(t) , \ldots , \varphi_n(t)) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t }
{ \in }{ I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Basis}{}{} von $V$ ist. Zeige, dass sämtliche Basen
\mathbed {\varphi(t)} {}
{t \in I} {}
{} {} {} {,} die gleiche \definitionsverweis {Orientierung}{}{} auf $V$ repräsentieren.

}
{} {}


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