Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Arbeitsblatt 82/latex

\setcounter{section}{82}






\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{} mit dem \definitionsverweis {Kotangentialbündel}{}{}
\mathl{T^*M}{.} Zeige, dass man auf
\mathl{\bigwedge^k T^*M}{} für jedes $k$ eine \definitionsverweis {Topologie}{}{} erklären kann, bei der für jede Karte \maabb {\alpha} {U} {V } {} die Abbildung \maabbdisp {} {\bigwedge^k T^*U} { \bigwedge^k T^*V \cong V \times \bigwedge^k \R^{n*} } {} eine \definitionsverweis {Homöomorphie}{}{} ist.

}
{} {} Damit kann man von stetigen und auch von messbaren Differentialformen sprechen.




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine $C^2$-\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{} mit dem \definitionsverweis {Kotangentialbündel}{}{}
\mathl{T^*M}{.} Zeige, dass
\mathl{\bigwedge^k T^*M}{} für jedes $k$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist.

}
{} {} Damit kann man auch von stetig differenzierbaren Differentialformen sprechen. Allgemeiner gilt: Wenn $M$ eine $C^m$-\definitionsverweis {Mannigfaltigkeit}{}{} und
\mathl{\ell < m}{} ist, so bezeichnet man mit
\mathl{{ \mathcal E }^{ k }_{\ell } ( U )}{} die Menge der $\ell$-fach stetig differenzierbaren $k$-Differentialformen.




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{} und
\mathl{{ \mathcal E }^{ k } ( M )}{} die Menge der $k$-\definitionsverweis {Formen}{}{} auf $M$. Zeige, dass ${ \mathcal E }^{ k } ( M )$ ein $R$-\definitionsverweis {Modul}{}{} zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ = }{ C^0(M,\R) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f }
{ \in }{ C^1(M,\R) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v }
{ \in }{ T_PM }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Tangentialvektor}{}{,} der durch einen differenzierbaren Weg \maabbdisp {\gamma} {{]{-\delta},\delta [}} {M } {} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma(0) }
{ = }{ P }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} repräsentiert werde. Zeige die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(df)(P,v) }
{ =} { (f \circ \gamma)'(0) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{i: M\subseteq \R^n}{} eine \definitionsverweis {abgeschlossene Untermannigfaltigkeit}{}{.} Zeige, dass für eine \definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{} \maabbdisp {f} {\R^n} {\R } {} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ i^* (df) }
{ =} { d(f \circ i ) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {t} {f(t) } {,} eine \definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{} \definitionsverweis {Funktion}{}{} und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\omega }
{ = }{ g(s)ds }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine $1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{} auf $\R$. Bestimme
\mathl{f^* \omega}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {\R^3} {\R^2 } {(x,y,z)} {(xyz^2,xy-z^3) } {.} Berechne die Matrix der Abbildung \maabbdisp {\bigwedge^2 T_P (\varphi)} { \bigwedge^2 T_P \R^3 } { \bigwedge^2 T_{\varphi(P)} \R^2 } {} im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ = }{ (1,3,5) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} bezüglich einer geeigneten Basis.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die \definitionsverweis {stetig differenzierbare Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {\R^2 \setminus \{(0,0)\}} {\R^2 \setminus \{(0,0)\} } {(u,v)} {(u^2,v^3-u) } {,} und die $2$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega }
{ =} { { \frac{ 1 }{ x^2+y^2 } } dx \wedge dy }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Bestimme die \definitionsverweis {zurückgezogene Differentialform}{}{}
\mathl{\varphi^* \omega}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten die $1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega }
{ =} {-vdu+udv }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} auf der $1$-\definitionsverweis {Sphäre}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S^1 }
{ \subset }{ \R^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} wobei die Koordinaten des umgebenden $\R^2$ mit \mathkor {} {u} {und} {v} {} bezeichnet seien. Bestimme
\mathl{\pi^* \omega}{} unter der \definitionsverweis {stetig differenzierbaren}{}{} Abbildung \maabbeledisp {\pi} {\R^2 \setminus \{0\}} { S^{1} } {(x , y) } { { \frac{ 1 }{ \sqrt{x^2 + y^2} } } (x , y) } {.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Berechne die zurückgezogene Differentialform
\mathl{\varphi^* \tau}{} zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tau }
{ =} { dx \wedge dy \wedge dz - w dx \wedge dy \wedge dw + \cos (xy) dx \wedge dz \wedge dw-yw dy \wedge dz \wedge dw }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} unter der Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {\R^3} {\R^4 } {(r,s,t)} { (r^2s,t, \sin r ,e^{st}) = (x,y,z,w) } {.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei \maabbdisp {\psi} {L} {M } {} eine \definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{} zwischen \definitionsverweis {differenzierbaren Mannigfaltigkeiten}{}{,} es sei \maabbdisp {f} {M} {\R } {} eine Funktion auf $M$ und $\omega$ eine $k$-\definitionsverweis {Form}{}{} auf $M$. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \psi^*(f \omega) }
{ =} { \psi^*(f) \psi^* \omega }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W }
{ \subseteq }{ \R^m }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {offene Teilmengen}{}{} und sei \maabbdisp {\psi} {W} {U } {} eine \definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{} \definitionsverweis {Abbildung}{}{.} Es sei \maabbdisp {f} {U} {\R } {} eine stetig differenzierbare Funktion. Folgere aus der Kettenregel, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d (\psi^*f) }
{ =} { \psi^*(df) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt, wobei $\psi^*$ das \definitionsverweis {Zurückziehen von Differentialformen}{}{} bezeichnet.

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{6}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{} mit dem \definitionsverweis {Kotangentialbündel}{}{}
\mathl{T^*M}{.} Es sei $\omega$ eine $k$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{,} also eine Abbildung \maabbdisp {\omega} {M} {\bigwedge^k T^*M } {} mit
\mathl{\omega(P) \in \bigwedge^k T^*_P M}{} für alle
\mathl{P \in M}{,} wobei dieses Dachprodukt mit der natürlichen Topologie \zusatzklammer {siehe Aufgabe 82.1} {} {} versehen sei. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind. \aufzaehlungdrei{$\omega$ ist \definitionsverweis { stetig}{}{.} }{Für jede \definitionsverweis {Karte}{}{} \maabb {\alpha} {U} {V } {} mit
\mathl{V \subseteq \R^n}{} und mit der lokalen Darstellung
\mathl{\alpha_* \omega = \sum_{J,\, { \# \left( J \right) } =k} f_J dx_J}{} sind die Funktionen $f_J$ stetig. }{Es gibt eine offene Überdeckung
\mathl{M= \bigcup_{i \in I} U_i}{} mit \definitionsverweis {Kartengebieten}{}{} $U_i$ derart, dass in den lokalen Darstellungen
\mathl{\alpha_{i*} \omega = \sum_{J,\, { \# \left( J \right) } =k} f_{i J} dx_J}{} die Funktionen $f_{i J}$ stetig sind. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Es sei \maabbdisp {\varphi} {L} {M } {} eine \definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{} zwischen zwei \definitionsverweis {differenzierbaren Mannigfaltigkeiten}{}{} \mathkor {} {L} {und} {M} {.} Es seien \mathkor {} {\omega \in { \mathcal E }^{ k } ( M )} {und} {\tau \in { \mathcal E }^{ \ell } ( M )} {} \definitionsverweis {Differentialformen}{}{} auf $M$. Zeige die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi^* ( \omega \wedge \tau) }
{ =} {\varphi^* \omega \wedge \varphi^* \tau }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Wir betrachten die \definitionsverweis {stetig differenzierbare Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {\R^3 \setminus \{(0,0,0)\}} {N = { \left\{ (x,y,z) \in \R^3 \mid z \neq 0 \right\} } } {(u,v,w)} {(uvw,u^2-vw^5,u^2+v^2+w^2) } {,} und die $2$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mathdisp {\omega = z^2dx \wedge dy+{ \frac{ xy }{ z } }dx \wedge dz+(xe^y-z)dy \wedge dz} { }
auf $N$. Bestimme die \definitionsverweis {zurückgezogene Differentialform}{}{}
\mathl{\varphi^* \omega}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{6}
{

Wir betrachten die \definitionsverweis {Einheitssphäre}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S^2 }
{ \subseteq }{ \R^3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} wobei die Koordinaten des $\R^3$ mit $x,y,z$ bezeichnet seien. Für welche Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ S^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} bilden die Einschränkungen von \mathkor {} {dx} {und} {dy} {} auf $S^2$ eine \definitionsverweis {Basis}{}{} des \definitionsverweis {Kotangentialraums}{}{}
\mathl{T^*_PS^2}{.}

}
{} {}


<< | Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III | >>

PDF-Version dieses Arbeitsblattes

Zur Vorlesung (PDF)