Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 2/latex
\setcounter{section}{2}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Untersuche für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Funktion
\maabbeledisp {} {\R} {\R
} {x} {x^n
} {,}
auf
\definitionsverweis {Injektivität}{}{}
und
\definitionsverweis {Surjektivität}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wie sehen die \definitionsverweis {Graphen}{}{} der Funktionen \maabb {f} {\R} { \R } {} aus, die Sie in der Schule kennengelernt haben?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Woran erkennt man am \definitionsverweis {Graphen}{}{} einer Abbildung \maabbdisp {f} {\R} { \R } {,} ob $f$ \definitionsverweis {injektiv}{}{} bzw. \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Welche \definitionsverweis {bijektiven}{}{} Funktionen \maabb {f} {\R} {\R } {} \zusatzklammer {oder zwischen Teilmengen von $\R$} {} {} kennen Sie aus der Schule? Wie heißen die \definitionsverweis {Umkehrabbildungen}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Fingerpermutation2.jpg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Fingerpermutation2.jpg } {} {Bocardodarapti} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
Es sollen möglichst viele bijektive Abbildungen zwischen den Fingerspitzen der linken Hand und den Fingerspitzen der rechten Hand dadurch realisiert werden, dass sich jeweils die zugehörigen \zusatzklammer {aufeinander abgebildeten} {} {} Fingerspitzen berühren. \aufzaehlungsechs{Realisiere die \anfuehrung{natürliche}{} Bijektion. }{Realisiere diejenigen Bijektionen, bei denen zwei benachbarte Fingerspitzen ihr natürliches Gegenüber vertauscht berühren und die drei anderen Fingerspitzen ihr natürliches Gegenüber berühren \zusatzklammer {benachbarte Transposition} {} {.} }{Realisiere diejenigen Bijektionen, bei denen zwei Fingerspitzen ihr natürliches Gegenüber vertauscht berühren und die drei anderen Fingerspitzen ihr natürliches Gegenüber berühren \zusatzklammer {Transposition} {} {.} }{Realisiere diejenigen Bijektionen, bei denen genau zwei Fingerspitzen ihr natürliches Gegenüber berühren. }{Realisiere diejenigen Bijektionen, bei denen genau eine Fingerspitze ihr natürliches Gegenüber berührt. }{Realisiere diejenigen Bijektionen, bei denen keine Fingerspitze ihr natürliches Gegenüber berührt. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wie kann man sich den \definitionsverweis {Graphen}{}{} einer \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {\R^2} { \R } {} und wie sich den Graphen einer Abbildung \maabbdisp {\varphi} {\R} { \R^2 } {} vorstellen?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Eine Funktion
\maabbeledisp {f} {\R} {\R
} {x} {f(x)
} {,}
heißt \stichwort {streng wachsend} {,} wenn für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_1,x_2
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_1
}
{ < }{ x_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f (x_1)
}
{ < }{ f(x_2 )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt. Zeige, dass eine streng wachsende Funktion $f$
\definitionsverweis {injektiv}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe Beispiele für \definitionsverweis {Abbildungen}{}{} \maabbdisp {\varphi, \psi} {\N} {\N } {} derart, dass $\varphi$ \definitionsverweis {injektiv}{}{,} aber nicht \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist, und dass $\psi$ surjektiv, aber nicht injektiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {m} {und} {n} {} natürliche Zahlen. Zeige durch Induktion über $m$, dass aus einer
\definitionsverweis {Bijektion}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {\{ 1, \ldots , m\}} {\{ 1, \ldots , n\}
} {}
folgt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m
}
{ = }{ n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die Mengen
\mathdisp {L=\{1,2,3,4,5,6,7,8\},\, M= \{a,b,c,d,e,f,g,h,i \} \text{ und } N= \{ R, S,T,U, V,W,X,Y,Z \}} { }
und die Abbildungen
\maabb {\varphi} {L} {M
} {}
und
\maabb {\psi} {M} {N
} {,}
die durch die Wertetabellen
\wertetabelleachtausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {5} }
{\mazeileunddrei {6} {7} {8} }
{ $\varphi(x)$ }
{\mazeileundfuenf {c} {i} {a} {g} {d} }
{\mazeileunddrei {e} {h} {b} }
und
\wertetabelleneunausteilzeilen { $y$ }
{\mazeileundfuenf {a} {b} {c} {d} {e} }
{\mazeileundvier {f} {g} {h} {i} }
{ $\psi(y)$ }
{\mazeileundfuenf {X} {Z} {Y} {S} {Z} }
{\mazeileundvier {S} {T} {W} {U} }
gegeben sind.
\aufzaehlungdrei{Erstelle eine Wertetabelle für
\mathl{\psi \circ \varphi}{.}
}{Sind die Abbildungen $\varphi$, $\psi$, $\psi \circ \varphi$ injektiv?
}{Sind die Abbildungen $\varphi$, $\psi$, $\psi \circ \varphi$ surjektiv?
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
\aufzaehlungvier{Es sei $H$ die Menge aller \zusatzklammer {lebenden oder verstorbenen} {} {} Menschen. Untersuche die Abbildung \maabbdisp {\varphi} {H} {H } {,} die jedem Menschen seine Mutter zuordnet, auf Injektivität und Surjektivität. }{Welche Bedeutung hat die Hintereinanderschaltung $\varphi^3$? }{Wie sieht es aus, wenn man die gleiche Abbildungsvorschrift nimmt, sie aber auf die Menge $E$ aller Einzelkinder und auf die Menge $M$ aller Mütter einschränkt? }{Seien Sie spitzfindig \zusatzklammer {evolutionsbiologisch oder religiös} {} {} und argumentieren Sie, dass die Abbildung in (1) nicht wohldefiniert ist. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltungen}{}{}
\mathkor {} {\varphi \circ \psi} {und} {\psi \circ \varphi} {}
für die
\definitionsverweis {Abbildungen}{}{}
\maabb {\varphi,\psi} {\R} {\R
} {,}
die durch
\mathdisp {\varphi(x)=x^3+3x^2-4 \text{ und } \psi(x)=x^2+5x-3} { }
definiert sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Der Pferdepfleger hat einen Korb voller Äpfel und geht auf die Weide, um die Äpfel an die Pferde zu verteilen. Danach geht jedes Pferd in seine Lieblingskuhle und macht dort einen großen Pferdeapfel. Modelliere den Vorgang mit geeigneten Mengen und \definitionsverweis {Abbildungen}{}{.} Man mache sich die Begriffe \definitionsverweis {injektiv}{}{} und \definitionsverweis {surjektiv}{}{} an diesem Beispiel klar. Kann die Gesamtabbildung surjektiv sein, wenn es 10 Äpfel, 6 Pferde und 8 Kuhlen gibt?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mathl{L,M,N}{} Mengen und
\maabb {F} {L} {M
} {}
und
\maabb {G} {M} {N
} {}
\definitionsverweis {surjektive Abbildungen}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\mathl{G \circ F}{} ebenfalls surjektiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mathl{L,M,N}{} Mengen und
\maabb {F} {L} {M
} {}
und
\maabb {G} {M} {N
} {}
\definitionsverweis {injektive Abbildungen}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\mathl{G \circ F}{} ebenfalls injektiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien $L,M,N$ Mengen und
\mathdisp {f:L \longrightarrow M \text{ und } g:M \longrightarrow N} { }
\definitionsverweis {Abbildungen}{}{}
mit der
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\maabbeledisp {g \circ f} {L} {N
} {x} {g(f(x))
} {.}
Zeige: Wenn $g \circ f$
\definitionsverweis {injektiv}{}{}
ist, so ist auch $f$ injektiv.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $P$ eine Menge von Personen und $V$ die Menge der Vornamen von diesen Personen und $N$ die Menge der Nachnamen von diesen Personen. Definiere natürliche Abbildungen von $P$ nach $V$, nach $N$ und nach $V \times N$ und untersuche sie in Hinblick auf die relevanten Abbildungsbegriffe.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Begründe, ob die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {\R_+ \times \R } { \R^3 } {(x,y)} {(x+y,xy,x^y) = (u,v,w) } {.} injektiv ist oder nicht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine Menge und
\mathl{\mathfrak {P} \, (G )}{} ihre
\definitionsverweis {Potenzmenge}{}{.}
Zeige, dass die Abbildung
\maabbeledisp {} { \mathfrak {P} \, (G ) } { \mathfrak {P} \, (G )
} {T} { \complement T
} {,}
\definitionsverweis {bijektiv}{}{}
ist. Wie lautet die
\definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine Menge, die als
\definitionsverweis {disjunkte Vereinigung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { A \uplus B
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben ist. Definiere eine Bijektion zwischen der
\definitionsverweis {Potenzmenge}{}{}
\mathl{\mathfrak {P} \, (M )}{} und der
\definitionsverweis {Produktmenge}{}{}
\mathl{\mathfrak {P} \, (A ) \times \mathfrak {P} \, (B )}{.} Wie verhalten sich diese beiden Mengen, wenn
\mathkor {} {A} {und} {B} {}
zwar eine Vereinigung von $M$ ergeben, aber nicht disjunkt sind, und umgekehrt?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine Menge. Stifte eine
\definitionsverweis {Bijektion}{}{}
zwischen
\mathdisp {\mathfrak {P} \, (G ) \text{ und } \operatorname{Abb} \, { \left( G , \{0,1\} \right) }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $M,N,L$ Mengen. Stifte eine
\definitionsverweis {Bijektion}{}{}
zwischen
\mathdisp {\operatorname{Abb} \, { \left( M \times N , L \right) } \text{ und } \operatorname{Abb} \, { \left( M , \operatorname{Abb} \, { \left( N , L \right) } \right) }} { . }
}
{Man mache sich diese Situation für $M=N=[0,1]$ und $L= \R$ klar.} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien \mathkor {} {L} {und} {M} {} Mengen und es sei \maabbdisp {F} {L} {M} {} eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{.} Es sei \maabbdisp {G} {M} {L } {} eine Abbildung, die \mathkor {} {F \circ G = \operatorname{Id}_{ M } \,} {und} {G \circ F = \operatorname{Id}_{ L } \,} {} erfüllt. Zeige, dass dann $G$ die \definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{} von $F$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien \mathkor {} {L} {und} {M} {} Mengen. Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {\tau} {L \times M} { M \times L } {(x,y)} { (y,x) } {,} eine \definitionsverweis {bijektive Abbildung}{}{} zwischen den Produktmengen \mathkor {} {L \times M} {und} {M \times L} {} festlegt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {F} {L} {M
} {}
eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{.}
Zeige, dass das
\definitionsverweis {Urbild}{}{}nehmen
\maabbeledisp {} { \mathfrak {P} \, (M ) } { \mathfrak {P} \, (L ) } { T } { F^{-1}(T)
} {,}
folgende Eigenschaften besitzt
\zusatzklammer {für beliebige Teilmengen
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ T,T_1,T_2
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {:}
\aufzaehlungdrei{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F^{-1}(T_1 \cap T_2)
}
{ =} { F^{-1} (T_1) \cap F^{-1} (T_2)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F^{-1}(T_1 \cup T_2)
}
{ =} { F^{-1} (T_1) \cup F^{-1} (T_2)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F^{-1}(M \setminus T)
}
{ =} { L \setminus F^{-1} (T)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {F} {L} {M
} {}
eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{.}
Zeige, dass das
\definitionsverweis {Bildnehmen}{}{}
\maabbeledisp {} {\mathfrak {P} \, (L ) } { \mathfrak {P} \, (M )} {S} {F(S)
} {,}
folgende Eigenschaften besitzt
\zusatzklammer {für beliebige Teilmengen
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ S,S_1,S_2
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {:}
\aufzaehlungdrei{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F (S_1 \cap S_2)
}
{ \subseteq }{ F (S_1) \cap F (S_2)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F(S_1 \cup S_2)
}
{ = }{ F(S_1) \cup F (S_2)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F(L \setminus S)
}
{ \supseteq }{ F(L) \setminus F (S)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
Zeige durch Beispiele, dass die beiden Inklusionen in (1) und (3) echt sein können.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien \mathkor {} {L} {und} {M} {} Mengen und es sei \maabbdisp {F} {L} {M} {} eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{.} Zeige, dass $F$ genau dann \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist, wenn das \definitionsverweis {Urbildnehmen}{}{} \maabbeledisp {} { \mathfrak {P} \, (M ) } { \mathfrak {P} \, (L ) } { T } { F^{-1}(T) } {,} \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien \mathkor {} {L} {und} {M} {} Mengen und es sei \maabbdisp {F} {L} {M} {} eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{.} Zeige, dass $F$ genau dann \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist, wenn das \definitionsverweis {Urbildnehmen}{}{} \maabbeledisp {} {\mathfrak {P} \, (M )} {\mathfrak {P} \, (L ) } {T} {F^{-1}(T) } {,} \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die ganzen Zahlen $\Z$ mit der Differenz als Verknüpfung, also die Abbildung \maabbeledisp {} {\Z \times \Z} {\Z } {(a,b)} {a-b } {.} Besitzt diese Verknüpfung ein neutrales Element? Ist diese Verknüpfung assoziativ, kommutativ, gibt es zu jedem Element ein inverses Element?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine Menge mit einer \definitionsverweis {Verknüpfung}{}{} $*$. Zeige, dass es maximal ein \definitionsverweis {neutrales Element}{}{} für die Verknüpfung gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Verknüpfung auf einer Geraden, die zwei Punkten ihren Mittelpunkt zuordnet, kommutativ, aber nicht assoziativ ist. Gibt es ein neutrales Element?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass das Potenzieren auf den positiven natürlichen Zahlen, also die Zuordnung \maabbeledisp {} {\N \times \N} {\N } {(a,b)} { a^b } {,} weder kommutativ noch assoziativ ist. Besitzt diese Verknüpfung ein \definitionsverweis {neutrales Element}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine Menge mit einer \definitionsverweis {Verknüpfung}{}{} darauf, die wir als Produkt schreiben. \aufzaehlungzwei {Wie viele sinnvollen Klammerungen gibt es für die Verknüpfung von vier Elementen? } {Die Verknüpfung sei nun \definitionsverweis {assoziativ}{}{.} Zeige, dass das Produkt von vier Elementen nicht von irgendeiner Klammerung abhängt. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine Menge und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{ \mathfrak {P} \, (G )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die zugehörige
\definitionsverweis {Potenzmenge}{}{.}
Betrachte den
\definitionsverweis {Durchschnitt}{}{}
von Teilmengen von $G$ als eine
\definitionsverweis {Verknüpfung}{}{}
auf $M$. Ist diese Verknüpfung kommutativ, assoziativ, besitzt sie ein neutrales Element?
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltungen}{}{}
\mathkor {} {\varphi \circ \psi} {und} {\psi \circ \varphi} {}
für die
\definitionsverweis {Abbildungen}{}{}
\maabb {\varphi,\psi} {\R} {\R
} {,}
die durch
\mathdisp {\varphi(x)=x^4+3x^2-2x+5 \text{ und } \psi(x)=2x^3-x^2+6x-1} { }
definiert sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Man beschreibe eine \definitionsverweis {Bijektion}{}{} zwischen \mathkor {} {\N} {und} {\Z} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es seien $L,M,N$ Mengen und
\mathdisp {f:L \longrightarrow M \text{ und } g:M \longrightarrow N} { }
\definitionsverweis {Abbildungen}{}{}
mit der
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\maabbeledisp {g \circ f} {L} {N
} {x} {g(f(x))
} {.}
Zeige: Wenn $g \circ f$
\definitionsverweis {surjektiv}{}{}
ist, so ist auch $g$ surjektiv.
}
{Zeige durch ein Beispiel, dass die Umkehrung nicht gilt.} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Betrachte auf der Menge $M=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ die Abbildung
\maabbeledisp {\varphi} {M} {M
} {x} {\varphi(x)
} {,}
die durch die Wertetabelle
\wertetabelleachtausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {5} }
{\mazeileunddrei {6} {7} {8} }
{ $\varphi(x)$ }
{\mazeileundfuenf {2} {5} {6} {1} {4} }
{\mazeileunddrei {3} {7} {7} }
gegeben ist. Berechne $\varphi^{1003}$, also die $1003$-te
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\zusatzklammer {oder \stichwort {Iteration} {}} {} {}
von $\varphi$ mit sich selbst.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es seien \mathkor {} {L} {und} {M} {} Mengen. Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {\Psi} {\operatorname{Abb} \, { \left( L , M \right) } } { \operatorname{Abb} \, { \left( \mathfrak {P} \, (M ) , \mathfrak {P} \, (L ) \right) } } {f} { f^{-1}} {,} bei der einer Abbildung das \definitionsverweis {Urbildnehmen}{}{} zugeordnet wird.
a) Zeige, dass $\Psi$ \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist.
b) Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ \neq }{\emptyset
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $\Psi$ nicht
\definitionsverweis {surjektiv}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $M$ eine Menge mit einer
\definitionsverweis {assoziativen}{}{}
\definitionsverweis {Verknüpfung}{}{}
darauf, die wir als $\star$ schreiben. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(a \star b) \star( c \star (d \star e))
}
{ =} { a \star (( b \star (c \star d)) \star e)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für beliebige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c,d,e
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}