Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 6/latex
\setcounter{section}{6}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{,} es sei ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ eine Nullfolge in $K$ und ${ \left( y_n \right) }_{n \in \N }$ eine beschränkte Folge in $K$. Zeige, dass dann auch die Produktfolge $( x_n y_n)_{n \in \N}$ eine Nullfolge ist.
}
{} {}
In den folgenden Aufgaben werden die Aussagen (1), (3) und (5) von Lemma 6.1 bewiesen.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und es seien
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {}
\definitionsverweis {konvergente Folgen}{}{}
in $K$. Zeige, dass die Summenfolge
\mathl{{ \left( x_n + y_n \right) }_{ n \in \N }}{} ebenfalls konvergent mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} { \left( x_n+ y_n \right) }
}
{ =} { { \left( \lim_{n \rightarrow \infty} x_n \right) } + { \left( \lim_{n \rightarrow \infty} y_n \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {konvergente Folge}{}{}
in $K$. Es sei
\mathl{c \in K}{.} Zeige, dass die Folge
\mathl{{ \left( c \cdot x_n \right) }_{ n \in \N }}{} ebenfalls konvergent mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} { \left( c \cdot x_n \right) }
}
{ =} { c \cdot { \left( \lim_{n \rightarrow \infty} x_n \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und es seien
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {}
\definitionsverweis {konvergente Folgen}{}{}
in $K$. Es sei
\mathl{\lim_{n \rightarrow \infty} x_n=x \neq 0}{} und
\mathl{x_n \neq 0}{} für alle
\mathl{n \in \N}{.} Zeige, dass
\mathl{{ \left( \frac{y_n}{x_n} \right) }_{ n \in \N }}{} ebenfalls konvergent ist mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{y_n}{x_n}
}
{ =} { \frac{ \lim_{n \rightarrow \infty} y_n }{x}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und es seien
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {}
\definitionsverweis {Folgen}{}{}
in $K$, wobei ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ gegen $x$
\definitionsverweis {konvergiere}{}{.}
Die Differenzenfolge
\mathl{x_n-y_n}{} sei eine
\definitionsverweis {Nullfolge}{}{.}
Zeige, dass
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{} ebenfalls gegen $x$ konvergiert.
}
{} {}
Für die folgende Aufgabe brauchen wir den Begriff der Polynomfunktion.
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_0,a_1 , \ldots , a_d
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\maabbeledisp {P} {K} {K
} {x} {P(x)
} {,}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P(x)
}
{ =} { \sum_{ i = 0 }^{ d } a_{ i } x^{ i}
}
{ =} { a_0 + a_1 x + \cdots + a_{ d } x^{ d }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
heißt \definitionswort {Polynomfunktion}{.}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und es sei $P(x) = \sum_{ i = 0 }^{ d } a_{ i } x^{ i}$ eine
\definitionsverweis {Polynomfunktion}{}{.}
Es sei ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ eine
\definitionsverweis {konvergente Folge}{}{}
in $K$ mit Grenzwert $x$. Zeige durch Induktion über $d$, dass dann auch die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y_n
}
{ \defeq} { P(x_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definierte Folge konvergiert, und zwar gegen $P(x)$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Entscheide, ob die
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ =} {\frac{3n^3-n^2-7}{2n^3+n+8}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in $\Q$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{}
und bestimme gegebenenfalls den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{}
der durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ =} { { \frac{ 7n^3-3n^2+2n-11 }{ 13n^3-5n+4 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definierten
\definitionsverweis {Folge}{}{.}
}
{} {}
Für die folgende Aufgabe können Sie bekannte Eigenschaften der Sinusfunktion verwenden.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme den Grenzwert der Folge
\mathdisp {\frac{ \sin n }{n} , \, n \in \N_+} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und es seien
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {}
zwei
\definitionsverweis {konvergente Folgen}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ \geq }{ y_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} x_n
}
{ \geq }{ \lim_{n \rightarrow \infty} y_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und es seien \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }, \, { \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }} {} drei \definitionsverweis {Folgen}{}{} in $K$. Es gelte $x_n \leq y_n \leq z_n \text { für alle } n \in \N$ und \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }} {} \definitionsverweis {konvergieren}{}{} beide gegen den gleichen Grenzwert $a$. Zeige, dass dann auch ${ \left( y_n \right) }_{n \in \N }$ gegen diesen Grenzwert $a$ konvergiert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{} in $\Q$, die \zusatzklammer {in $\Q$} {} {} nicht \definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Zeige, dass eine \definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{} ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ in $K$ \definitionsverweis {beschränkt}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Es sei ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ eine \definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{} in $K$, die eine \definitionsverweis {konvergente}{}{} \definitionsverweis {Teilfolge}{}{} enthalte. Zeige, dass die Folge konvergiert.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {reelle Folge}{}{.}
Es gelte
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_{n} - x_{n-1} }
}
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle $n \in \N_+$. Folgt daraus, dass
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{}
ist?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{}
in einem
\definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{}
und es sei
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {Nullfolge}{}{}
in $K$. Zeige, dass die Summenfolge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z_n
}
{ =} { x_n+y_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ebenfalls eine Cauchy-Folge ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{}
in einem
\definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{.}
Zeige, dass es eine
\definitionsverweis {Teilfolge}{}{}
\mathbed {x_{n_i}} {}
{i \in \N} {}
{} {} {} {,}
derart gibt, dass folgende Eigenschaft erfüllt ist: Zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i,j
}
{ \geq }{k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_{n_i} - x_{n_j} }
}
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ k } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ \R_{\geq 0}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine nichtnegative
\definitionsverweis {reelle Zahl}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_0
}
{ \in }{ \R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die rekursiv definierte
\definitionsverweis {Folge}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_{n+1}
}
{ \defeq} { \frac{ x_n + a/x_n }{2}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegen $\sqrt{a}$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Untersuche die
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ =} { \sqrt{n} \cdot \sqrt{n+1}-n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf
\definitionsverweis {Konvergenz}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.}
Zeige, dass für die Folge der
\definitionsverweis {Stammbrüche}{}{}
die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.
\aufzaehlungdrei{Die Folge
\mathl{{ \frac{ 1 }{ n } }}{} ist eine
\definitionsverweis {Nullfolge}{}{.}
}{Die Folge
\mathl{{ \frac{ 1 }{ n } }}{} ist eine
\definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{.}
}{Der Körper $K$ ist
\definitionsverweis {archimedisch angeordnet}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Telmenge, die das
\definitionsverweis {Supremum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besitze. Zeige, dass es eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ in $T$ gibt, die gegen $x$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ eine wachsende Folge in $K$. Zeige, dass die Folge genau dann konvergiert, wenn die Menge ${ \left\{ x_n \mid n \in \N \right\} }$ ein \definitionsverweis {Supremum}{}{} besitzt.
}
{} {}
Die nächste Aufgabe verwendet die folgende Definition.
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Eine Teilmenge
\mathl{T \subseteq K}{} heißt ein \definitionswort {Abschnitt}{,} wenn für alle
\mathl{a,b \in T}{} mit
\mathl{a \leq b}{} und jedes
\mathl{x \in K}{} mit
\mathl{a \leq x \leq b}{} auch
\mathl{x \in T}{} ist.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Zeige, dass jedes \definitionsverweis {Intervall}{}{} \zusatzklammer {einschließlich der unbeschränkten Intervalle} {} {} in $K$ ein \definitionsverweis {Abschnitt}{}{} ist.
Man gebe ein Beispiel für einen Abschnitt in $\Q$, der kein Intervall ist.
Zeige, dass in $\R$ jeder Abschnitt ein Intervall ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {archimedisch angeordneter}{}{}
\definitionsverweis {vollständiger Körper}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann nichtnegativ ist, wenn $x$ eine
\definitionsverweis {Quadratwurzel}{}{}
besitzt.
}
{} {}
Die folgende Aufgabe setzt Kenntnisse in linearer Algebra voraus.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V
}
{ =} { K^{\N_+}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
aller
\definitionsverweis {Folgen}{}{}
in $K$
\zusatzklammer {mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation} {} {.}
a) Zeige
\zusatzklammer {ohne Sätze über konvergente Folgen zu verwenden} {} {,} dass die Menge der Nullfolgen, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U
}
{ =} { { \left\{ (x_n)_{n \in \N_+} \mid (x_n)_{n \in \N_+} \text{ konvergiert gegen 0} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein
$K$-\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
von $V$ ist.
b) Sind die beiden Folgen
\mathdisp {( 1/n)_{ n \in \N_+} \text{ und } (1/n^2)_{ n \in \N_+}} { }
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{}
in $V$?
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Berechne den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{} der Folge
\mathdisp {x_n = 5 \left( { \frac{ 2n+1 }{ n } } \right)^3-4\left( { \frac{ 2n+1 }{ n } } \right)^2+2\left( { \frac{ 2n+1 }{ n } } \right)-3} { }
für
\mathl{n \rightarrow \infty}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {archimedisch angeordneter Körper}{}{} und seien
\mathkor {} {P(x) = \sum_{ i = 0 }^{ d } a_{ i } x^{ i}} {und} {Q(x) = \sum_{ i = 0 }^{ e } b_{ i } x^{ i}} {} \definitionsverweis {Polynome}{}{} mit $a_d, b_e \neq 0$.
Man bestimme in Abhängigkeit von
\mathkor {} {d} {und} {e} {,} ob die durch
\mathdisp {z_n = \frac{P(n)}{Q(n)}} { }
\zusatzklammer {für $n$ hinreichend groß} {} {} definierte \definitionsverweis {Folge}{}{}
\definitionsverweis {konvergiert}{}{} oder nicht, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {archimedisch angeordneter Körper}{}{} und sei $P(x) = \sum_{ i = 0 }^{ d } a_{ i } x^{ i}$ ein
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
mit $d \geq 1$ und $a_d \neq 0$
.
Zeige, dass dann die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y_n
}
{ \defeq} { P(n)
}
{ =} { \sum_{ i = 0 }^{ d } a_{ i } n^{ i}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definierte Folge bestimmt gegen $+ \infty$
\definitionsverweis {divergiert}{}{,}
falls $a_d>0$ ist, und bestimmt gegen $- \infty$ divergiert, falls $a_d <0$ ist.
Man folgere, dass die Folgenglieder
\mathdisp {\frac{1}{y_n}} { }
für $n$ hinreichend groß definiert sind und gegen $0$ konvergieren.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es seien
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N } , \, { \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }} {}
\definitionsverweis {Folgen}{}{}
in einem
\definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{}
\mathl{K}{} derart, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ \leq} {y_n
}
{ \leq} {z_n
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt. Es seien
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }} {}
\definitionsverweis {Cauchy-Folgen}{}{}
und es sei die Differenzfolge
\mathl{z_n-x_n}{} eine
\definitionsverweis {Nullfolge}{}{.}
Zeige, dass dann auch
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{} eine Cauchy-Folge ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{}
in einem
\definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{}
$K$, die sowohl unendlich viele positive als auch unendlich viele negative Folgenglieder besitzt. Zeige, dass es sich um eine
\definitionsverweis {Nullfolge}{}{}
handelt.
}
{} {}