Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 7/latex
\setcounter{section}{7}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I_n
}
{ = }{[a_n,b_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{}
für $x$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{J_n
}
{ = }{[c_n,d_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Intervallschachtelung für $y$. Beschreibe eine Intervallschachtelung für
\mathl{x+y}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir beschreiben eine Konstruktion von ineinander enthaltenen Intervallen, und gehen vom Einheitsintervall
\mathl{[0,1]}{} aus. Das Intervall wird in zehn gleichlange Teilintervalle zerlegt und davon nehmen wir das achte Teilintervall. Das entstehende Intervall teilen wir ebenfalls in zehn gleichlange Teilintervalle und nehmen davon wieder das achte Teilintervall. Dieser Teilungsprozess wird unendlich oft durchgeführt, wobei eine Folge von Intervallen
\mathbed {I_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
entsteht
\zusatzklammer {$I_0$ ist das Einheitsintervall, das als Startintervall dient} {} {.}
\aufzaehlungdrei{Bestimme die Intervallgrenzen des Intervalls, das im zweiten Schritt konstruiert wird.
}{Erstelle eine Formel, die die untere und die obere Intervallgrenze des Intervalls
\mathl{I_{n}}{,}
\mathl{n \in \N}{,} ausdrückt.
}{Es gibt genau eine rationale Zahl $c$, die in jedem Intervall $I_n$ enthalten ist. Bestimme $c$ als Bruch.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mathbed {I_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{}
in $\R$. Zeige, dass der Durchschnitt
\mathdisp {\bigcap_{n \in \N} I_n} { }
aus genau einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besteht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathbed {I_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{}
in $\R$ und sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {reelle Folge}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ \in }{ I_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass diese Folge gegen die durch die Intervallschachtelung
bestimmte Zahl
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {archimedisch angeordneter Körper}{}{} mit der Eigenschaft, dass jede \definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{} in $K$ einen Punkt enthält. Zeige, dass $K$ \definitionsverweis {vollständig}{}{} ist.
}
{} {}
Vor der nächsten Aufgabe erinnern wir an die beiden folgenden Definitionen.
Zu zwei
\definitionsverweis {reellen Zahlen}{}{}
\mathkor {} {x} {und} {y} {}
heißt
\mathdisp {{ \frac{ x+y }{ 2 } }} { }
das \definitionswort {arithmetische Mittel}{.}
Zu zwei nichtnegativen
\definitionsverweis {reellen Zahlen}{}{}
\mathkor {} {x} {und} {y} {}
heißt
\mathdisp {\sqrt{ x \cdot y}} { }
das \definitionswort {geometrische Mittel}{.}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien \mathkor {} {x} {und} {y} {} zwei nichtnegative reelle Zahlen. Zeige, dass das \definitionsverweis {arithmetische Mittel}{}{} der beiden Zahlen mindestens so groß wie ihr \definitionsverweis {geometrisches Mittel}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathl{b > a > 0}{} positive reelle Zahlen. Wir definieren rekursiv zwei Folgen
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {}
durch
\mathl{x_0= a}{,}
\mathl{y_0= b}{} und durch
\mathdisp {x_{n+1} = \text{ geometrisches Mittel von } x_n \text{ und } y_n} { , }
\mathdisp {y_{n+1} = \text{ arithmetisches Mittel von } x_n \text{ und } y_n} { . }
Zeige, dass
\mathl{[x_n,y_n]}{} eine
\definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass das \stichwort {Quadrieren} {} \maabbeledisp {} {\R_{\geq 0} } {\R_{\geq 0} } {x} {x^2 } {,} eine \definitionsverweis {wachsende Funktion}{}{} ist. Man folgere daraus, dass auch die Quadratwurzel \maabbeledisp {} {\R_{\geq 0}} {\R_{\geq 0} } {u} { \sqrt{u} } {,} eine wachsende Funktion ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass für nichtnegative
\definitionsverweis {reelle Zahlen}{}{}
\mathkor {} {s} {und} {t} {} die Beziehung
\mathdisp {\sqrt{st} = \sqrt{s} \sqrt{t}} { }
besteht.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Begründe geometrisch, dass die Wurzeln
\mathl{\sqrt{n} }{,}
\mathl{ n \in \N }{,} als Länge von \anfuehrung{natürlichen}{} Strecken vorkommen.
}
{} {Tipp: Satz des Pythagoras.}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Halbkreis.jpg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Halbkreis.jpg } {} {MGausmann} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass man zu jeder gegebenen Streckenlänge $a$ (also jedem
\mathl{a \in \R_{\geq 0}}{}) die Quadratwurzel $\sqrt{a}$ mit Zirkel und Lineal konstruieren kann.
}
{} {Tipp: Satz des Pythagoras und Bild rechts.}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Formuliere und beweise die \stichwort {Lösungsformel für eine quadratische Gleichung} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ax^2+bx+c
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mathbed {a,b,c \in \R} {}
{a \neq 0} {}
{} {} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $x$ eine
\definitionsverweis {reelle Zahl}{}{,}
von welcher der Beginn der
\definitionsverweis {kanonischen Dezimalbruchentwicklung}{}{}
gleich
\mathdisp {0{,}3333333333\dotso} { }
\zusatzklammer {die weiteren Ziffern sind nicht bekannt} {} {.}
Was kann man über die Dezimal\-bruchentwicklung von $3x$ sagen? In welchem
\zusatzklammer {möglichst kleinen} {} {}
\definitionsverweis {Intervall}{}{}
liegt $3x$?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Die beiden reellen Zahlen
\mathkor {} {x} {und} {y} {}
seien durch ihre
\definitionsverweis {Dezimalbruchentwicklung}{}{}
\mathdisp {x=0,z_1z_2z_3 \ldots} { }
und
\mathdisp {y=0,u_1u_2u_3 \ldots} { }
gegeben. Man gebe unter Bezug auf diese Ziffernentwicklungen eine Folge mit rationalen Gliedern an, die gegen $xy$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Untersuche die durch
\mathdisp {x_n = { \frac{ 1 }{ \sqrt{n} } }} { }
gegebene Folge
\zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ n
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
auf
\definitionsverweis {Konvergenz}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{} der durch
\mathdisp {x_n = { \frac{ 2n+5 \sqrt{n} +7 }{ -5 n+3 \sqrt{n} -4 } }} { }
definierten
\definitionsverweis {reellen Folge}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_n
}
{ \in }{\R_{\geq 0}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {konvergente Folge}{}{}
mit dem Grenzwert $x$. Zeige, dass die Folge
\mathl{\sqrt{x_n}}{} gegen
\mathl{\sqrt{x}}{} konvergiert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{ \R_{\geq 0}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass zu einem beliebigen Startwert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_0
}
{ \in }{ \R_{+}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_{n+1}
}
{ \defeq} { { \frac{ (k-1)x_n + { \frac{ a }{ x_n^{k-1} } } }{ k } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Folge definiert wird, die gegen $\sqrt[k]{a}$ konvergiert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{a \in \R_{\geq 0}}{,}
\mathl{k \in \N}{,}
\mathl{M = { \left\{ x \in \R_{\geq 0} \mid x^k \leq a \right\} }}{} und
\mathl{s= {\operatorname{sup} \, ( M ) }}{.} Zeige
\mathl{s^k=a}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mathl{a,b}{} positive reelle Zahlen und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m,n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige mit
geeigneten Potenzgesetzen
die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungdrei{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\sqrt[m] { \sqrt[n] {b} }
}
{ =} { \sqrt[mn]{b}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sqrt[m]{ab}
}
{ =} { \sqrt[m]{a} \sqrt[m]{b}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sqrt[m]{b^{-1} }
}
{ =} { { \left( \sqrt[m]{b} \right) }^{-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine reelle Zahl. Wir betrachten die reelle Folge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ \defeq} { b^{ { \frac{ 1 }{ n } } }
}
{ =} { \sqrt[n]{b}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {mit
\mathl{n \in \N_+}{}} {} {.}
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass die Folge monoton fallend ist.
}{Zeige, dass sämtliche Folgenglieder $\geq 1$ sind.
}{Zeige, dass die Folge gegen $1$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Untersuche die Folge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \sqrt[k]{n} } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf
\definitionsverweis {Konvergenz}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $A$ und $B$ beschränkte Teilmengen von $\R$. Ferner sei
\mathl{A + B := { \left\{ a + b \mid a \in A , \, b \in B \right\} }}{} und
\mathl{A - B := { \left\{ a - b \mid a \in A , \, b \in B \right\} }}{.}
\aufzaehlungfuenf{Zeige, dass
\mathl{\sup(A+B) = \sup(A) + \sup(B)}{.}
}{Wie lautet die entsprechende Formel für
\mathl{\sup(A-B)}{?}
}{Zeige, dass
\mathl{\sup(A \cup B) = \max \{\sup(A), \sup(B) \}}{.}
}{Was lässt sich über
\mathl{\sup(A \cap B)}{} sagen?
}{Wie lautet die Entsprechung zu 3. für unendlich viele Mengen?
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mathdisp {f(x) = x^2+x- { \frac{ 7 }{ 4 } }} { . }
Zu jedem Startwert
\mathl{x_0 \in \R}{} betrachten wir die reelle Folge
\mathdisp {x_n = f^n(x_0)} { , }
es gilt also die rekursive Beziehung
\mathl{x_{n +1} =f(x_{n})}{.} Zeige, dass die Folge für
\mathl{x_0 \in [-2,1]}{} einen Häufungspunkt besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein angeordneter Körper, der nicht archimedisch angeordnet sei. Zeige, dass für $K$ die Aussage das Satzes von Bolzano-Weierstraß nicht gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige die folgenden Abschätzungen.
a)
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \binom { n } { k } \cdot { \frac{ 1 }{ n^k } }
}
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ k! } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
b)
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( 1 + { \frac{ 1 }{ n } } \right) }^n
}
{ \leq} { \sum_{k = 0}^n { \frac{ 1 }{ k! } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne mit einem Computer die ersten hundert Nachkommastellen im Zehnersystem von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{e
}
{ \defeq} { \lim_{ n \rightarrow \infty} { \left( 1+ { \frac{ 1 }{ n } } \right) }^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für welches $n$ wird diese Genauigkeit erreicht?
}
{} {}
Eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt \definitionswort {dicht}{,} wenn es zu jeder reellen Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { t-x }
}
{ <} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {rationalen Zahlen}{}{} $\Q$ in $\R$ \definitionsverweis {dicht}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {Dezimalbrüche}{}{} in $\R$ \definitionsverweis {dicht}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{k \in \N_{\geq 2}}{} eine fixierte natürliche Zahl und es sei $T$ die Menge aller rationalen Zahlen, die man mit einer Potenz von $k$ als Nenner schreiben kann. Zeige, dass $T$ in $\R$
\definitionsverweis {dicht}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge. Zeige, dass $T$ genau dann
\definitionsverweis {dicht}{}{}
in $\R$ ist, wenn es zu jeder reellen Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Folge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \left( x_n \right) }_{n \in \N }
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt, die gegen $x$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Menge der irrationalen Zahlen in $\R$ \definitionsverweis {dicht}{}{} ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{7 (1+3+3)}
{
Wir beschreiben eine Konstruktion von ineinander enthaltenen Intervallen, und gehen vom Einheitsintervall
\mathl{[0,1]}{} aus. Das Intervall wird in sieben gleichlange Teilintervalle zerlegt und davon nehmen wir das sechste Teilintervall. Das entstehende Intervall teilen wir ebenfalls in sieben gleichlange Teilintervalle und nehmen davon wieder das sechste Teilintervall. Dieser Teilungsprozess wird unendlich oft durchgeführt, wobei eine Folge von Intervallen
\mathbed {I_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
entsteht
\zusatzklammer {$I_0$ ist das Einheitsintervall, das als Startintervall dient} {} {.}
\aufzaehlungdrei{Bestimme die Intervallgrenzen des Intervalls, das im ersten Schritt konstruiert wird.
}{Erstelle eine Formel, die die untere und die obere Intervallgrenze des Intervalls
\mathl{I_{n}}{,}
\mathl{n \in \N}{,} ausdrückt.
}{Es gibt genau eine rationale Zahl $c$, die in jedem Intervall $I_n$ enthalten ist. Bestimme $c$ als Bruch.
}
}
{} {Der dritte Teil erfordert Grundtatsachen über den Divisionsalgorithmus.}
\inputaufgabe
{3}
{
Entscheide, ob die
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_n
}
{ =} { \sqrt{n+1} - \sqrt{n}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {konvergiert}{}{,}
und bestimme gegebenenfalls den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Untersuche die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ =} {{ \frac{ \sqrt{n}^n }{ n! } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebene Folge auf
\definitionsverweis {Konvergenz}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei ${ \left( f_n \right) }_{n \in \N }$ die Folge der
\definitionsverweis {Fibonacci-Zahlen}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ =} { { \frac{ f_n }{ f_{n-1} } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass diese Folge in $\R$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{}
und dass der Grenzwert $x$ die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} {1 + x^{-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllt. Berechne daraus $x$.
}
{} {Tipp: Zeige zuerst mit Hilfe der Simpson-Formel, dass man mit diesen Brüchen eine Intervallschachtelung basteln kann.}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} mit der Eigenschaft, dass in ihm jede nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge ein Supremum besitzt. Zeige, dass $K$ \definitionsverweis {vollständig}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Zeige, dass jede Folge in $\R$ eine monotone Teilfolge besitzt.
}
{} {}