Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 35/latex
\setcounter{section}{35}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den \definitionsverweis {Abschluss}{}{} von $\Q$ in $\R$
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Abschluss}{}{}
für die folgenden Teilmengen von $\R_{\geq 0}$.
\aufzaehlungzwei {Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
fixiert. $S_k$ ist die Menge der reellen Zahlen $\geq 0$, deren Dezimalentwicklung nach der $k$-ten Nachkommastelle abbricht.
} {$T$ ist die Menge aller reellen Zahlen $\geq 0$, deren Dezimalentwicklung irgendwo abbricht.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge in einem
\definitionsverweis {metrischen Raum}{}{}
$M$. Zeige für den
\definitionsverweis {Abschluss}{}{}
von $T$ die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \overline{T}
}
{ =} { \bigcap_{T \subseteq A \subseteq M, \, A \text{ abgeschlossen} } A
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge in einem
\definitionsverweis {metrischen Raum}{}{}
$M$. Zeige für den
\definitionsverweis {Abschluss}{}{}
von $T$ die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \overline{ T }
}
{ =} { { \left\{ x \in M \mid \text{ es gibt eine Folge } x_n \text{ in } T, \text{ die gegen } x \text { konvergiert} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass in einem
\definitionsverweis {metrischen Raum}{}{}
$M$ der
\definitionsverweis {Abschluss}{}{}
einer
\definitionsverweis {offenen Kugel}{}{}
\mathl{U { \left( x,r \right) }}{}
nicht die
\definitionsverweis {abgeschlossene Kugel}{}{}
\mathl{B \left( x,r \right)}{} sein muss.
} {Zeige, dass in einem
\definitionsverweis {euklidischen Raum}{}{}
$V$ der Abschluss einer offenen Kugel
\mathl{U { \left( x,r \right) }}{} gleich der
abgeschlossenen Kugel
\mathl{B \left( x,r \right)}{} ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $M$ ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{,}
zu einer Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bezeichnet
\mathl{\overline{ A }}{} den
\definitionsverweis {Abschluss}{}{}
von $A$. Beweise oder widerlege die folgenden Eigenschaften
\aufzaehlungzwei {
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \overline{ A \cup B }
}
{ =} { \overline{ A } \cup \overline{ B }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
} {
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \overline{ A \cap B }
}
{ =} { \overline{ A } \cap \overline{ B }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
Eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eines
\definitionsverweis {metrischen Raumes}{}{}
$X$ heißt \definitionswort {dicht}{,} wenn es zu jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d(t,x)
}
{ < }{ \epsilon
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge in einem
\definitionsverweis {metrischen Raum}{}{}
$M$. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.
\aufzaehlungvier{$T$ ist
\definitionsverweis {dicht}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \overline{ T }
}
{ = }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es eine Folge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \left( x_n \right) }_{n \in \N }
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die gegen $x$ konvergiert.
}{Für jede nichtleere offene Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T \cap U
}
{ \neq }{ \emptyset
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {dichte}{}{}
Teilmenge in einem
\definitionsverweis {metrischen Raum}{}{}
$L$ und seien
\maabb {\varphi, \psi} {L} {M
} {}
\definitionsverweis {stetige Abbildungen}{}{}
in einen weiteren metrischen Raum $M$. Für die Einschränkungen gelte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi {{|}}_T
}
{ = }{ \psi {{|}}_T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi
}
{ = }{ \psi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der \definitionsverweis {Grenzwert}{}{} einer Funktion in einem \definitionsverweis {Berührpunkt}{}{} der Definitionsmenge im Falle der Existenz eindeutig bestimmt ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{,} sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Berührpunkt}{}{} von $T$. Es sei
\maabbdisp {f} {T} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
in einen
\definitionsverweis {euklidischen Vektorraum}{}{}
$V$ mit den
\definitionsverweis {Komponentenfunktionen}{}{}
\maabbdisp {f_1 , \ldots , f_n} {T} {\R
} {}
bezüglich einer Basis von $V$. Zeige, dass der
\definitionsverweis {Limes}{}{}
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, f(x)} { }
genau dann existiert, wenn sämtliche Limiten
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, f_j(x)} { }
existieren.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{,} sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Berührpunkt}{}{} von $T$. Es seien
\maabb {f} {T} { {\mathbb K}
} {}
und
\maabb {g} {T} { {\mathbb K}
} {}
\definitionsverweis {Funktionen}{}{} derart, dass die
\definitionsverweis {Grenzwerte}{}{}
\mathkor {} {\operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, f(x)} {und} {\operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, g(x)} {}
existieren. Zeige, dass die folgenden Beziehungen gelten.
\aufzaehlungdrei{Die Summe
\mathl{f+g}{} besitzt einen Grenzwert in $a$, und zwar ist
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, (f(x)+g(x)) = \operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, f(x) + \operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, g(x)} { . }
}{Das Produkt
\mathl{f \cdot g}{} besitzt einen Grenzwert in $a$, und zwar ist
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, (f(x) \cdot g(x)) = \operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, f(x) \cdot \operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, g(x)} { . }
}{Es sei
\mathl{g(x) \neq 0}{} für alle
\mathl{x \in T}{} und $\operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, g(x) \neq 0$. Dann besitzt der Quotient
\mathl{f/g}{} einen Grenzwert in $a$, und zwar ist
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{ \operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, f(x) }{ \operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, g(x) }} { . }
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathl{D,E,F}{}
\definitionsverweis {metrische Räume}{}{}
und sei
\maabbdisp {h} {D} {E
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Berührpunkt}{}{}
von
\mathl{D \setminus \{P\}}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h(P)
}
{ =} { Q
}
{ \in} { E
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein Berührpunkt von
\mathl{E \setminus\{Q\}}{.} Es sei
\maabbdisp {g} {E \setminus \{Q \}} {F
} {}
eine Abbildung und es sei vorausgesetzt, dass
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ y \rightarrow Q } \, g(y)} { }
existiert. Zeige, dass dann auch
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ x \rightarrow P } \, g(h(x))} { }
existiert und mit
\mathl{\operatorname{lim}_{ y \rightarrow Q } \, g(y)}{} übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge eines
\definitionsverweis {metrischen Raumes}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Berührpunkt}{}{}
von $T$,
\maabbdisp {g} {T} {L
} {}
eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
in einen weiteren metrischen Raum und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b
}
{ \in }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass für den
\definitionsverweis {Limes}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, g(x)
}
{ =} { b
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
genau dann gilt, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, d { \left( g(x), b \right) }
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge. Es sei
\maabbdisp {f} {T} { L
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{}
in einen weiteren metrischen Raum $L$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \notin }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
ein Punkt, der ein
\definitionsverweis {Berührpunkt}{}{}
von $T$ sei. Zeige, dass der
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{}
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ x \in T , \, x \rightarrow a } \, f(x)} { }
genau dann existiert, wenn $f$ eine
\definitionsverweis {stetige Fortsetzung}{}{}
\maabbdisp {\tilde{f}} { T \cup \{ a\} } {L
} {}
besitzt.
}
{} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Neighborhood_edge.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Neighborhood edge.png } {} {Zasdfgbnm} {Commons} {gemeinfrei} {}
Die nächsten Aufgaben verwenden den folgenden Begriff.
Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge. Ein Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt \definitionswort {Randpunkt}{} von $T$, wenn für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der offene Ball
\mathdisp {U { \left( x,\epsilon \right) }} { }
sowohl Punkte aus $T$ als auch Punkte aus
\mathl{M \setminus T}{} enthält.
Die Menge aller Randpunkte von $T$ heißt \definitionswort {Rand}{} von $T$, geschrieben $\operatorname{Rand} \, (T)$.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge. Zeige, dass der
\definitionsverweis {Rand}{}{}
von $T$ gleich dem Durchschnitt von
\mathkor {} {\overline{ T }} {und} {\overline{ M \setminus T }} {}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge. Zeige, dass der
\definitionsverweis {Rand}{}{}
von $T$
\definitionsverweis {abgeschlossen}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge. Zeige, dass die Menge
\mathdisp {T \cup \operatorname{Rand} \, (T)} { }
\definitionsverweis {abgeschlossen}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge. Zeige, dass die Menge
\mathdisp {T \setminus \operatorname{Rand} \, (T)} { }
\definitionsverweis {offen}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge. Zeige, dass $T$ genau dann
\definitionsverweis {abgeschlossen}{}{}
ist, wenn die Inklusion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Rand} \, (T)
}
{ \subseteq }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und sei $M=A \cup B$ mit nichtleeren Teilmengen $A,B \subseteq M$ und $A \cap B = \emptyset$. Es gebe ein $\delta > 0$ mit
\mathdisp {d(x,y) \geq \delta \text { für alle } x \in A,\, y \in B} { . }
Zeige, dass $A$
\zusatzklammer {und auch $B$} {} {}
sowohl
\definitionsverweis {offen}{}{}
als auch
\definitionsverweis {abgeschlossen}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass in $\R$ der nichtleere Durchschnitt von \definitionsverweis {zusammenhängenden}{}{} Teilmengen wieder zusammenhängend ist. Muss dies auch für den nichtleeren Durchschnitt von zusammenhängenden Teilmengen im $\R^2$ gelten?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $I$ ein nichtleeres \definitionsverweis {reelles}{}{} \definitionsverweis {Intervall}{}{} und $x \in I$ ein Punkt. Bestimme die Teilmengen von $I \setminus \{x\}$, die sowohl \definitionsverweis {offen}{}{} als auch \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Beweise den Zwischenwertsatz mit Satz 35.9 und Satz 35.10.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass $\Q$ nicht \definitionsverweis {zusammenhängend}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {zusammenhängenden}{}{} Teilmengen von $\Q$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der $\R^n$ \definitionsverweis {wegzusammenhängend}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $T$ eine \definitionsverweis {offene}{}{} \zusatzklammer {oder \definitionsverweis {abgeschlossene}{}{}} {} {} \definitionsverweis {Kugel}{}{} im $\R^n$. Zeige, dass $T$ \definitionsverweis {wegzusammenhängend}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt. Zeige, dass $\R^n \setminus \{P\}$
\definitionsverweis {wegzusammenhängend}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass ein
\definitionsverweis {reelles Intervall}{}{}
\mathl{I \subseteq \R}{}
\definitionsverweis {wegzusammenhängend}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {reelles Intervall}{}{}
und
\maabb {f} {I} { \R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.}
Zeige, dass der
\definitionsverweis {Graph}{}{}
von $f$
\zusatzklammer {als Teilmenge von $I \times \R$} {} {}
\definitionsverweis {wegzusammenhängend}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Untersuche den
\definitionsverweis {Graphen}{}{}
der durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { \begin{cases} \sin \frac{1}{x} \text{ für } x \neq 0\, , \\ 0 \text{ sonst}\, , \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebenen Funktion
\maabb {f} {\R} {\R
} {}
auf
\definitionsverweis {Zusammenhangseigenschaften}{}{.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge. Zeige, dass der
\definitionsverweis {Rand}{}{} von $T$ genau dann leer ist, wenn $T$ sowohl
\definitionsverweis {offen}{}{}
als auch
\definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge. Es sei $T$
\definitionsverweis {zusammenhängend}{}{.}
Zeige, dass auch der
\definitionsverweis {Abschluss}{}{}
$\overline{ T }$
zusammenhängend ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Man gebe ein Beispiel für eine
\definitionsverweis {offene}{}{,}
nicht
\definitionsverweis {zusammenhängende}{}{}
Teilmenge
\mathl{U \subseteq \R^2}{} mit der Eigenschaft, dass der
\definitionsverweis {Abschluss}{}{}
von $U$ zusammenhängend ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Abschluss}{}{}
der Menge
\mathl{T= U { \left( 0,1 \right) } \cap \Q^2}{} in $\R^2$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,r
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K
}
{ =} { { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid (x-a)^2+(y-b)^2 = r^2 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der \stichwort {Kreis} {} mit dem \stichwort {Mittelpunkt} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{ (a,b)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und dem \stichwort {Radius} {} $r$. Es sei $G$ eine \stichwort {Gerade} {} in $\R^2$ mit der Eigenschaft, dass es auf $G$ mindestens einen Punkt $P$ gibt mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d(M,P)
}
{ \leq }{ r
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K \cap G
}
{ \neq }{ \emptyset
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Zeige, dass die Kugeloberfläche
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S
}
{ =} { { \left\{ (x,y,z) \in \R^3 \mid x^2+y^2+z^2 = 1 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {wegzusammenhängend}{}{}
ist. Man gebe dabei für je zwei Punkte einen expliziten Weg an, der diese Punkte stetig verbindet.
}
{} {}