Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 42/latex
\setcounter{section}{42}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Löse das
\definitionsverweis {lineare Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} v_1 \\v_2 \end{pmatrix}' = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\v_2 \end{pmatrix} \text{ mit } \begin{pmatrix} v_1(0) \\v_2(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\-11 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {quadratische}{}{}
$n \times n$-Matrix über ${\mathbb K}$. Es sei $\varphi_1$ eine
\definitionsverweis {Lösung}{}{}
der
\definitionsverweis {linearen Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v'
}
{ =} { Mv +z_1(t)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mathl{\varphi_2}{} eine Lösung der
\definitionsverweis {linearen Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v'
}
{ =} { Mv +z_2(t)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\mathl{\varphi_1+ \varphi_2}{} eine Lösung der linearen Differentialgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v'
}
{ =} { Mv +z_1(t)+z_2(t)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v'
}
{ =} {Mv
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten}{}{}
zu einer reellen $n \times n$-Matrix $M$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u
}
{ \in }{ {\mathbb C}^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Eigenvektor}{}{}
von $M$ zum
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\lambda
}
{ = }{ a+b { \mathrm i}
}
{ \in }{{\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\mathl{e^{at} \cos \left( bt \right) \begin{pmatrix}
\operatorname{Re} \, { \left( u_1 \right) } \\ \vdots\\
\operatorname{Re} \, { \left( u_n \right) } \end{pmatrix}}{} und
\mathl{e^{at} \sin \left( bt \right) \begin{pmatrix} \operatorname{Im} \, { \left( u_1 \right) } \\ \vdots\\ \operatorname{Im} \, { \left( u_n \right) } \end{pmatrix}}{} Lösungen des Systems sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v'
}
{ =} {Mv
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten}{}{,}
sei $L$ der Lösungsraum dieses Systems und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t_0
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Abbildung
\maabbeledisp {} {L} { {\mathbb K}^n
} {\varphi} {\varphi(t_0)
} {,}
ein
\definitionsverweis {Vektorraum-Isomorphismus}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wie transformieren sich in Lemma 42.5 die Anfangsbedingungen?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Löse das
\definitionsverweis {lineare Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} v_1 \\v_2 \end{pmatrix}' = \begin{pmatrix} 3 & -4 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\v_2 \end{pmatrix} \text{ mit } \begin{pmatrix} v_1(0) \\v_2(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\1 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Löse das
\definitionsverweis {lineare Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} v_1 \\v_2 \end{pmatrix}' = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\v_2 \end{pmatrix} \text{ mit } \begin{pmatrix} v_1(0) \\v_2(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\-4 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Lösungsraum}{}{}
zum
\definitionsverweis {linearen Differentialgleichungssystem}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} v_1 \\v_2 \end{pmatrix}' = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\v_2 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
a) Bestimme den Lösungsraum des linearen Differentialgleichungssystems
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}'
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
b) Löse das Anfangswertproblem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}'
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit der Anfangsbedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x(0) \\y(0) \end{pmatrix}
}
{ =} {\begin{pmatrix} 2 \\7 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
a) Bestimme den Lösungsraum des linearen Differentialgleichungssystems
\mathdisp {\begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}' = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}} { . }
b) Löse das Anfangswertproblem
\mathdisp {\begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}' = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}} { }
mit der Anfangsbedingung
\mathl{\begin{pmatrix} x(0) \\y(0) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -4 \\3 \end{pmatrix}}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Beschreibe für das zeitunabhängige
\definitionsverweis {Differentialgleichungssystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} u \\v \end{pmatrix} '
}
{ =} { \begin{pmatrix} v \\u \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\v \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die allgemeine Lösung mit
\aufzaehlungzwei {Exponentialfunktionen,
} {Hyperbelfunktionen.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde für das zeitunabhängige
\definitionsverweis {Differentialgleichungssystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} u \\v \end{pmatrix} '
}
{ =} { \begin{pmatrix} -v \\u \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\v \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Lösungen mit
\mathkor {} {u(0) =a} {und} {v(0) = b} {,}
wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v'
}
{ =} {Mv
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {oberen Dreiecksmatrix}{}{}
$M$. Zeige, dass es ein
\definitionsverweis {Fundamentalsystem}{}{}
von Lösungsfunktionen
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v_i
}
{ =} { \begin{pmatrix} v_{i1} \\ \vdots \\ v_{ii}\\0\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
Die folgenden Aufgaben löse man mit Satz Anhang 4.1, man spricht vom \stichwort {Ansatz vom Typ der rechten Seite} {.}
\inputaufgabe
{}
{
Löse die
\definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y^{\prime \prime} -2y' +5y
}
{ =} { e^{t}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Löse die
\definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^{\prime \prime} - y
}
{ =} { e^{ t}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Löse die
\definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y^{\prime \prime} -3y' +9y
}
{ =} { (t^2-8) e^{ 5t}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Löse die
\definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y^{\prime \prime} +4y' +6y
}
{ =} { (t^3+5t+3) e^{2 { \mathrm i} t}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v'
}
{ = }{Mv
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten}{}{}
in $d$ Variablen und sei ein Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{\R^d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{}
}
{}{}{}
vorgegeben.
\aufzaehlungdrei{Erstelle eine rekursive Formel für die Punkte $P_n$ im
\definitionsverweis {Polygonzugverfahren}{}{}
zum Startpunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_0
}
{ = }{P
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und zur Schrittweite $s$ in dieser Situation.
}{Erstelle eine geschlossene Formel für $P_n$ zur Schrittweite
\mathl{s}{.}
}{Erstelle eine Formel für $P_n$ zur Schrittweite
\mathl{{ \frac{ 1 }{ n } }}{.}
}
}
{} {}
In eine Potenzreihe kann man nicht zur Zahlen einsetzen, sondern auch quadratische Matrizen, wobei die Potenzen als Matrixpotenzen zu interpretieren sind, und sich fragen, ob die entstehenden Folgen im Raum der Matrizen konvergieren.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine reelle
\zusatzklammer {oder komplexe} {} {}
$d \times d$-\definitionsverweis {Matrix}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{\exp M
}
{ =} { E_d +M + { \frac{ 1 }{ 2 } } M^2 +{ \frac{ 1 }{ 3! } } M^3 + \ldots
}
{ =} { \sum_{k = 0}^\infty { \frac{ 1 }{ k! } } M^k
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{}
im Raum der Matrizen
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v'
}
{ = }{Mv
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten}{}{.}
Zeige, dass die Lösung des Anfangswertproblems mit der Anfangbedingung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v(0)
}
{ = }{w
}
{ \in }{\R^d
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v(t)
}
{ =} { { \left( \exp \left( tM \right) \right) } w
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben ist.
}
{} {Verwende, dass die Ableitung der Abbildung
\maabbeledisp {} {\R} { \operatorname{Mat}_{ d } (\R) \cong \R^{d^2}
} {t} { \exp \left( tM \right)
} {,}
gleich
\mathl{M \cdot \exp \left( tM \right)}{} ist.}
\inputaufgabe
{}
{
Begründe Lemma 42.1 mit Aufgabe 42.20.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v'
}
{ = }{Mv
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten}{}{}
in $d$ Variablen und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Abbildung
\maabbdisp {} {\R^d} { \R^d
} {,}
die einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{w
}
{ \in }{ \R^d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
den Ortspunkt zum Zeitpunkt $s$ der Lösung des Anfangswertproblems
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v(0)
}
{ = }{w
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zuordnet, eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
ist und durch die Matrix
\mathl{\exp \left( sM \right)}{} beschrieben wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
der sogenannten \stichwort {Begleitmatrix} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 \\ -a_0 & -a_1 & \ldots & -a_{n-2} & -a_{n-1} \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M }
}
{ =} { X^n +a_{n-1}X^{n-1} + \cdots + a_1 X+a_0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ die Menge aller beliebig oft differenzierbaren Funktionen von $\R$ nach $\R$ und $D$ die Ableitung, aufgefasst als Operator\zusatzfussnote {Eine Abbildung, die Funktionen in Funktionen überführt, nennt man häufig Operator} {.} {}
\maabbeledisp {D} {M} {M
} {f} {D(f) = f'
} {.}
Zu einem Polynom
\mathl{P \in \R[X]}{,}
\mathl{P=a_nX^n + \cdots + a_2X^2+ a_1 X +a_0}{,} betrachten wir den Operator
\maabbeledisp {P(D)} {M } {M
} {f} { (P(D))(f) = a_nD^n(f) + \cdots + a_2D^2(f) + a_1D (f) + a_0 f
} {.}
Berechne $(P(D))(f)$ für
\mathl{P=2X^3-4X^2+7X-3}{} und
\mathl{f=x^4, e^x, e^{2x}, \sin x}{.} Zeige, dass $P(D)$ eine lineare Abbildung auf $M$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{\lambda \in \R}{} und
\mathl{n \in \N_+}{.} Zeige, dass der
Differentialoperator
\mathl{(D- \lambda)^n}{} die Funktionen
\mathl{x^j e^{\lambda x }}{} mit
\mathl{0 \leq j < n}{} auf die Nullfunktion abbildet.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{6}
{
Löse das
\definitionsverweis {lineare Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} v_1 \\v_2\\ v_3 \end{pmatrix}' = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 2 \\ 0 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\v_2\\ v_3 \end{pmatrix} \text{ mit } \begin{pmatrix} v_1(0) \\v_2(0)\\ v_3(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\0\\ -1 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Lösungsraum}{}{}
zum
\definitionsverweis {linearen Differentialgleichungssystem}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} v_1 \\v_2\\ v_3\\v_4 \end{pmatrix}' = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\v_2\\ v_3\\v_4 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bestimme den
\definitionsverweis {Lösungsraum}{}{}
zum
\definitionsverweis {linearen Differentialgleichungssystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} v_1 \\v_2\\ \vdots\\v_n \end{pmatrix}'
}
{ =} { \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \lambda & 1 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & \lambda \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\v_2\\ \vdots\\v_n \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Bestimme die allgemeine Lösung des
\definitionsverweis {linearen Differentialgleichungssystems}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}' = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} t^2+e^t \\t \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Löse die
\definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y^{\prime \prime} +y' -8y
}
{ =} { (t^2-4t+7) e^{3t}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}