Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 45/latex
\setcounter{section}{45}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
Für dieses Aufgabenblatt darf die Beziehung zwischen totalem Differential und partiellen Ableitungen bzw. Richtungsableitungen nicht verwendet werden.
\inputaufgabe
{}
{
Ist die Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {x^2 } {,} im Punkt $-3$ \definitionsverweis {total differenzierbar}{}{?} Was ist das \definitionsverweis {totale Differential}{}{} in diesem Punkt?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die Funktion
\maabbeledisp {} {\R^2} {\R
} {(x,y)} {x^2y^3
} {.}
\aufzaehlungzwei {Man schreibe
\mathl{(x+v)^2(y+w)^3}{} als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (x+v)^2(y+w)^3
}
{ =} { x^2y^3 +av +bw+ cv^2 +dvw+ew^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit geeigneten Termen
\mathl{a,b,c,d,e}{,} wobei
\mathkor {} {a} {und} {b} {}
nicht von $v$ und $w$ abhängen dürfen.
} {Man folgere aus der Darstellung aus (1), dass $x^2y^3$ in einem beliebigen Punkt $(x,y)$
\definitionsverweis {total differenzierbar}{}{}
ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne für die Addition \maabbeledisp {+} { {\mathbb K}^2} { {\mathbb K} } {(x,y)} {x+y } {,} und für die Multiplikation \maabbeledisp {\cdot} { {\mathbb K}^2 } { {\mathbb K} } { (x,y) } { x \cdot y } {,} das \definitionsverweis {totale Differential}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die Funktion
\maabbeledisp {f} { \R^2} {\R
} {(x,y)} { {\min { \left( x , y \right) } }
} {.}
\aufzaehlungvier{Skizziere die Funktion.
}{Zeige, dass $f$
\definitionsverweis {stetig}{}{}
ist.
}{Bestimme für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{\R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und jede Richung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \in }{\R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
ob die
\definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{}
in diesem Punkt und in diese Richtung existiert.
}{Bestimme für jeden Punkt, ob in diesem Punkt die Funktion $f$
\definitionsverweis {total differenzierbar}{}{}
ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {\varphi} {V} {W
} {}
konstant mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(v)
}
{ = }{w
}
{ \in }{ W
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $\varphi$ differenzierbar ist mit totalem Differential $0$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{.}
Es sei
\maabb {\varphi} {G} {W
} {}
im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
mit dem Differential
\mathl{\left(D\varphi\right)_{P}}{.} Zeige, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{{\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left(D(a \varphi)\right)_{P}
}
{ =} { a \left(D\varphi\right)_{P}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabbdisp {f} { \R^n } { \R } {} eine \definitionsverweis {Polynomfunktion}{}{.} Zeige, dass $f$ im Nullpunkt \definitionsverweis {total differenzierbar}{}{} ist. Man gebe dabei explizit das totale Differential und die Abweichungsfunktion an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabbdisp {f} { \R^n } { \R } {} eine \definitionsverweis {Polynomfunktion}{}{.} Zeige, dass $f$ in jedem Punkt \definitionsverweis {total differenzierbar}{}{} ist. Man gebe dabei explizit das totale Differential und die Abweichungsfunktion an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $V$, $W_1$ und $W_2$
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{.}
\aufzaehlungzwei {Es seien
\maabb {L_1} {V} {W_1
} {}
und
\maabb {L_2} { V} {W_2
} {}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {lineare Abbildungen}{}{.}
Zeige, dass die Abbildung
\maabbeledisp {L_1 \times L_2} {V} { W_1 \times W_2
} {v} {(L_1(v),L_2(v))
} {,}
${\mathbb K}$-linear ist.
} {Es seien
\maabb {f_1} { V} {W_1
} {}
und
\maabb {f_2} {V } { W_2
} {}
im Punkt
\mathl{P \in V}{}
\definitionsverweis {differenzierbare Abbildungen}{}{.}
Zeige, dass die Abbildung
\maabbeledisp {f=(f_1 \times f_2)} {V} {W_1 \times W_2
} {Q} {(f_1(Q),f_2(Q))
} {,}
im Punkt P differenzierbar ist mit dem totalen Differential
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left(Df\right)_{P}
}
{ =} {\left(Df_1\right)_{P} \times \left(Df_2\right)_{P}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
Die folgende Aufgabe verwendet das Konzept Äquivalenzrelation.
Eine \definitionswort {Äquivalenzrelation}{} auf einer Menge $M$ ist eine
\definitionsverweis {Relation}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq }{M \times M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die die folgenden drei Eigenschaften besitzt
\zusatzklammer {für beliebige
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{x,y,z
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}.
\aufzaehlungdrei{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \sim }{x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {\definitionswort {reflexiv}{}} {} {.}
}{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \sim }{y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ \sim }{x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {\definitionswort {symmetrisch}{}} {} {.}
}{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \sim }{y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ \sim }{z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \sim }{z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {\definitionswort {transitiv}{}} {} {.}
}
Dabei bedeutet
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \sim }{y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
dass das Paar
\mathl{(x,y)}{} zu $R$ gehört.
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $V,W$
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene}{}{}
Teilmenge. Weiter seien
\maabb {f,g} {G } {W
} {}
Abbildungen und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir nennen
\mathl{f,g}{} im Punkt $P$ \stichwort {tangential äquivalent} {,} wenn der
\definitionsverweis {Limes}{}{}
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ v \rightarrow 0 } \, { \frac{ (f-g)(P+v) }{ \Vert {v} \Vert } }} { }
existiert und gleich $0$ ist.
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass dadurch eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
auf der Abbildungsmenge von $G$ nach $W$ gegeben ist.
}{Es sei $f$
\definitionsverweis {total differenzierbar}{}{.}
Zeige, dass $f$ zu seiner linearen Approximation tangential äquivalent ist.
}{Es seien
\mathkor {} {f} {und} {g} {}
tangential äquivalent. Zeige, dass in diesem Fall $f$ genau dann in $P$ total differenzierbar ist, wenn dies für $g$ gilt, und dass ihre totalen Differentiale im Punkt $P$ übereinstimmen.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$\R$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Skalarmultiplikation}{}{}
\maabbeledisp {\varphi} { \R \times V} { V
} {(s,v)} {sv
} {,}
in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{ (s,v)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {total differenzierbar}{}{}
ist mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left(D\varphi\right)_{P} (t,w)
}
{ =} {tv+ sw
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Leite aus der allgemeinen Kettenregel die Kettenregel für Funktionen in einer Variablen ab.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Leite aus der allgemeinen Kettenregel die Kettenregel für differenzierbare Kurven \zusatzklammer {für eine differenzierbare Kurve \maabb {f} {J} {V } {} und eine differenzierbare Umparametrisierung \maabb {h} {I} {J } {}} {} {} ab.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Intervall,
\mathl{W}{} ein
\definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {I} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare Kurve}{}{.}
Zeige, dass zwischen dem
\definitionsverweis {totalen Differential}{}{}
und der
\definitionsverweis {Kurven-Ableitung}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( D\varphi \right) }_{t} { \left( 1 \right) }
}
{ =} { \varphi'(t)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
besteht.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum $V$, sei
\maabb {f} {G} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {total differenzierbare}{}{}
Funktion und
\maabb {g} {\R} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left(D { \left( g \circ f \right) } \right)_{P}
}
{ =} { g'(f(P)) \cdot \left(D f\right)_{P}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $I \subseteq \R$ ein \definitionsverweis {reelles Intervall}{}{} und seien \maabbdisp {f,g} {I} {\R } {} zwei \definitionsverweis {differenzierbare Funktionen}{}{.} Beweise die Produktregel aus der allgemeinen Kettenregel unter Verwendung von Aufgabe 45.4.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$\R$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene}{}{}
Teilmenge. Weiter seien
\maabb {f,g} {G } {\R
} {}
zwei in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {differenzierbare Funktionen}{}{.}
Wende die
Kettenregel
und
Aufgabe 45.4
auf das Diagramm
\mathdisp {G \stackrel{f,g} \longrightarrow \R \times \R \stackrel{\operatorname{mult} } \longrightarrow \R} { }
an, um zu zeigen, dass die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left(D(f \cdot g)\right)_{P}
}
{ =} { g(P) \cdot \left(Df \right)_{P} + f(P) \cdot \left(Dg\right)_{P}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Menge}{}{,}
\maabb {\varphi} {G} {W
} {}
eine Abbildung und
\maabb {L} {V} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}
Zeige, dass folgende Eigenschaften äquivalent sind.
\aufzaehlungdrei{$\varphi$ ist
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
in $P$ mit dem
\definitionsverweis {totalen Differential}{}{}
$L$.
}{
Der
\definitionsverweis {Limes}{}{}
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ v \rightarrow 0, v \neq 0 } \, \frac{\varphi(P+v) - \varphi(P) -L(v)}{ \Vert {v} \Vert }} { }
existiert und ist gleich $0$.
}{Der Limes
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ v \rightarrow 0, v \neq 0 } \, \frac{ \Vert {\varphi(P+v)-\varphi(P)-L(v)} \Vert}{ \Vert {v} \Vert }} { }
existiert und ist gleich $0$.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es seien
\mathl{f_1 , \ldots , f_n}{}
\definitionsverweis {differenzierbare Funktionen}{}{}
in einer Variablen. Bestimme das
\definitionsverweis {totale Differential}{}{}
der Abbildung
\maabbeledisp {} { {\mathbb R}^n} { {\mathbb R}^n
} {(x_1 , \ldots , x_n)} {(f_1(x_1) , \ldots , f_n(x_n))
} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{.}
Zeige, dass $\varphi$ genau dann eine
\definitionsverweis {Verschiebung}{}{}
ist, also von der Art
\mathl{P \mapsto P+v}{} mit einem festen Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left(D\varphi\right)_{P}
}
{ =} {
\operatorname{Id}_{ V }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es seien $V$ und $W$
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Mengen}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt,
\maabb {\varphi} {G} {W
} {}
und
\maabb {f} {G} { {\mathbb K}
} {}
in $P$
\definitionsverweis {differenzierbare Abbildungen}{}{.}
Zeige, dass dann die Produktabbildung
\maabbdisp {f \cdot \varphi} {G} {W
} {}
in $P$ differenzierbar ist mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left(D(f \cdot \varphi)\right)_{P}
}
{ =} { f(P) \cdot \left(D \varphi\right)_{P} + \left(Df\right)_{P} \cdot \varphi (P)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {Tipp: Verwende
Aufgabe 45.12
und die Kettenregel.}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\maabbeledisp {f} { {\mathbb C} } { {\mathbb C}
} {z} {f(z)
} {,}
eine im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {komplex differenzierbare}{}{}
Funktion. Zeige, dass $f$ auch als Funktion von $\R^2$ nach $\R^2$ im reellen Sinn
\definitionsverweis {total differenzierbar}{}{}
ist. In welcher Beziehung steht die komplexe Zahl $f'(P)$ und das totale Differential
\maabb {\left(Df\right)_{P}} {\R^2} { \R^2
} {?}
}
{} {}