Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 46/latex
\setcounter{section}{46}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {\varphi} {V} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {total differenzierbare Abbildung}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left(D\varphi\right)_{P}
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $\varphi$ konstant ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
a) Berechne das \definitionsverweis {totale Differential}{}{} der Abbildung \maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb K}^2 } {{\mathbb K}^2 } {(x,y)} {\left( xy-2y^3+5 , \, x^3-xy^2+y \right) } {,} in jedem Punkt.
b) Was ist das totale Differential im Punkt
\mathl{(1,2)}{?}
c) Berechne die
\definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{}
in diesem Punkt in Richtung
\mathl{(4,-3)}{.}
d) Berechne den Wert von $\varphi$ in diesem Punkt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
a) Berechne das \definitionsverweis {totale Differential}{}{} der Abbildung \maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb K}^3 } { {\mathbb K}^2 } {(x,y,z)} {( xy-zy+2z^2, \sin (x^2yz)) } {,} in jedem Punkt.
b) Was ist das totale Differential im Punkt
\mathl{(1,-1,\pi)}{?}
c) Berechne die
\definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{}
in diesem Punkt in Richtung
\mathl{(2,0,5)}{.}
d) Berechne den Wert von $\varphi$ in diesem Punkt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
a) Berechne das \definitionsverweis {totale Differential}{}{} der Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {{\mathbb K}^2 } { {\mathbb K}^3 } {(x,y)} {( x+y^2,xy, \exp x) } {,} in jedem Punkt.
b) Was ist das totale Differential im Punkt
\mathl{(3,2)}{?}
c) Berechne die
\definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{}
in diesem Punkt in Richtung
\mathl{(-1,-7)}{.}
d) Berechne den Wert von $\varphi$ in diesem Punkt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {totale Differential}{}{}
der
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
\maabbeledisp {\det} {\operatorname{Mat}_{ n \times n } ({\mathbb K}) } { {\mathbb K}
} {M} { \det M
} {,}
für
\mathl{n=2,3}{} an der
\definitionsverweis {Einheitsmatrix}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wie betrachten die \definitionsverweis {komplexe Invertierung}{}{} \maabbeledisp {f} {{\mathbb C} \setminus \{0\} } { {\mathbb C} } {z} {z^{-1} } {.} \aufzaehlungvier{Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} $f'(z)$ von $f$. }{Beschreibe die Funktion \maabbdisp {f} {\R^2 \setminus \{0\}} { \R^2 } {} mit den reellen Koordinaten $x,y$ \zusatzklammer {bezüglich der reellen Basis \mathkor {} {1} {und} {{ \mathrm i}} {} von ${\mathbb C}$} {} {.} }{Bestimme das \definitionsverweis {totale Differential}{}{} zu $f$ bezüglich der Basis \mathkor {} {1} {und} {{ \mathrm i}} {} in einem beliebigen Punkt. }{Beschreibe die Multiplikation mit $f'(z)$ auf ${\mathbb C}$ durch eine reelle Matrix bezüglich der reellen Basis \mathkor {} {1} {und} {{ \mathrm i}} {.} }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestätige die Kettenregel für
\mathl{g \circ f}{} für die beiden differenzierbaren Abbildungen
\maabbeledisp {f} {\R} {\R^2
} {t} {(t^3-t,-t^2)
} {,} und
\maabbeledisp {g} {\R^2} {\R
} {(x,y)} {xy+x+y
} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestätige die
Kettenregel
anhand der beiden Abbildungen
\maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb K}^2 } { {\mathbb K}^3
} {(u,v)} {(u^2v^2,u+ \sin v,v^3)
} {,}
und
\maabbeledisp {\psi} { {\mathbb K}^3} { {\mathbb K}^2
} {(x,y,z)} {(x^2y-z^2,xy^2 +yz \exp x )
} {,}
und ihrer Komposition
\mathl{\psi \circ \varphi}{} in folgenden Schritten.
\aufzaehlungfuenf{Berechne für einen beliebigen Punkt
\mathl{P \in {\mathbb K}^2}{} das
\definitionsverweis {totale Differential}{}{}
\mathl{\left(D\varphi\right)_{P}}{} mit Hilfe von
\definitionsverweis {partiellen Ableitungen}{}{.}
}{Berechne für einen beliebigen Punkt
\mathl{Q \in {\mathbb K}^3}{} das totale Differential
\mathl{\left(D\psi\right)_{Q}}{} mit Hilfe von partiellen Ableitungen.
}{Berechne explizit die Komposition
\maabb {\psi \circ \varphi} { {\mathbb K}^2} { {\mathbb K} ^2
} {.}
}{Berechne direkt mit partiellen Ableitungen in einem Punkt
\mathl{P \in {\mathbb K}^2}{} das totale Differential von
\maabb {\psi \circ \varphi} { {\mathbb K}^2} { {\mathbb K}^2
} {.}
}{Berechne das totale Differential von
\maabb {\psi \circ \varphi} { {\mathbb K}^2} { {\mathbb K}^2
} {}
in einem Punkt
\mathl{P \in {\mathbb K}^2}{} mit Hilfe der Kettenregel und den Teilen (1) und (2).
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathl{G \subseteq \R^m}{} und
\mathl{D \subseteq \R^n}{}
\definitionsverweis {offene Mengen}{}{,}
und
\maabb {f} {G} {\R^n
} {}
und
\maabb {g} {D} {\R^k
} {}
\definitionsverweis {Abbildungen}{}{}
derart, dass
\mathl{f(G) \subseteq D}{} gilt. Es sei weiter angenommen, dass $f$ in
\mathl{P \in G}{} und $g$ in
\mathl{f(P) \in D}{}
\definitionsverweis {total differenzierbar}{}{}
ist. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial (g \circ f)_j }{ \partial x_i } } (P)
}
{ =} { \left( { \frac{ \partial g_j }{ \partial y_1 } } (f(P)) , \, \ldots , \, { \frac{ \partial g_j }{ \partial y_m } } (f(P)) \right) \begin{pmatrix} { \frac{ \partial f_1 }{ \partial x_i } } (P) \\ \vdots\\ { \frac{ \partial f_m }{ \partial x_i } } (P) \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq }{ {\mathbb K}^m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ \subseteq }{ {\mathbb K}^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offene Mengen}{}{,}
und
\maabb {f} {G} { {\mathbb K}^n
} {}
und
\maabb {g} {D} { {\mathbb K}^k
} {}
\definitionsverweis {Abbildungen}{}{}
derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(G)
}
{ \subseteq }{D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt. Es sei weiter angenommen, dass $f$ und $g$ $\ell$-fach
\definitionsverweis {stetig differenzierbar}{}{}
sind. Zeige, dass auch
\mathl{g \circ f}{} $\ell$-fach stetig differenzierbar ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
und
\maabbdisp {\psi} {W} {U
} {}
in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bzw. in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi(P)
}
{ \in }{W
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {total differenzierbare}{}{}
Abbildungen. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Vektor. Zeige mit der Kettenregel, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( D_{v} ( \psi \circ \varphi) \right) } { \left( P \right) }
}
{ =} { { \left( D_{ { \left( D\varphi \right) }_{P} { \left( v \right) } } ( \psi) \right) } { \left( \varphi(P) \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq }{ {\mathbb R}^m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ \subseteq }{ {\mathbb R}^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offene Mengen}{}{,}
und
\maabb {f} {G} { {\mathbb R}^n
} {}
und
\maabb {g} {D} { {\mathbb R}^k
} {}
\definitionsverweis {Abbildungen}{}{}
derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(G)
}
{ \subseteq }{D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt. Es sei weiter angenommen, dass $f$ und $g$
\definitionsverweis {stetig differenzierbar}{}{}
sind. Zeige, dass auch
\mathl{g \circ f}{} stetig differenzierbar ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel für
\definitionsverweis {partiell differenzierbare}{}{}
Funktionen
\maabb {f} {\R^n} {\R^m
} {}
und
\maabb {g} {\R^m} {\R^k
} {}
derart, dass
\mathl{g \circ f}{} nicht partiell differenzierbar ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel für
\definitionsverweis {partiell differenzierbare}{}{}
Funktionen
\maabb {f} {\R^n} {\R^m
} {}
und
\maabb {g} {\R^m} {\R^k
} {}
derart, dass auch
\mathl{g \circ f}{} partiell differenzierbar ist, dass aber
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Jak}(g \circ f )_P
}
{ =} { \operatorname{Jak}(g )_{ f(P)} \circ \operatorname{Jak}( f )_P
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{}
nicht gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
eine Funktion. Zeige, dass die Funktion
\maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R
} {(x,y)} {xf(y)
} {,}
genau dann im Punkt
\mathl{(0,0)}{}
\definitionsverweis {total differenzierbar}{}{}
ist, wenn $f$ in $0$
\definitionsverweis {stetig}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {euklidische Vektorräume}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {G} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{.}
Zeige, dass $\varphi$ genau dann
\definitionsverweis {stetig differenzierbar}{}{}
ist, wenn $\varphi$
\definitionsverweis {total differenzierbar}{}{}
ist und wenn die Abbildung
\maabbeledisp {} {G} { \operatorname{Hom} \, (V,W)
} {P} { \left(D\varphi\right)_{P}
} {,}
\definitionsverweis {stetig}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {f} { \R^n} { \R^n
} {}
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
im Nullpunkt und sei
\mathl{{(h_m)}_{m \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
in
\mathl{\R^n \setminus \{ 0\}}{} mit
\mathdisp {\lim_{m \to \infty} h_m = 0, \lim_{m \to \infty} \frac{h_m}{ \Vert {h_m} \Vert } = v \in \R^n, f(h_m) = f(h_k) \text { für alle } m,k \in \N} { . }
Zeige, dass $v$ ein
\definitionsverweis {Eigenvektor}{}{}
von $\left(Df\right)_{0}$ zum
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
$0$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die Funktion
\maabbdisp {f} {\R^2} {\R
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x,y)
}
{ \defeq} { \begin{cases} { \frac{ x^3 }{ x^2+y^2 } } \text{ für } (x,y) \neq (0,0) \, , \\ 0 \text{ für } (x,y) = (0,0) \, . \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
a) Zeige, dass $f$ \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.
b) Zeige, dass die Einschränkung von $f$ auf jede Gerade durch den Nullpunkt eine lineare Abbildung ist.
c) Zeige, dass zu $f$ im Nullpunkt in jede Richtung die \definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{} existiert.
d) Zeige, dass $f$ im Nullpunkt nicht \definitionsverweis {total differenzierbar}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt und es sei
\maabbdisp {f} {M} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{.}
Es sei
\maabb {h} {\R} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {streng wachsende}{}{}
Funktion. Zeige, dass $f$ in $P$ genau dann ein
\definitionsverweis {lokales Maximum}{}{}
besitzt, wenn
\mathl{h \circ f}{} ein lokales Maximum in $P$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {L} {und} {M} {}
\definitionsverweis {metrische Räume}{}{} und es sei
\maabbdisp {\varphi} {L} {M
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{.}
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(P)
}
{ =} {Q
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und es sei
\maabbdisp {f} {M} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{,}
die im Punkt
\mathl{Q \in M}{} ein
\definitionsverweis {lokales Extremum}{}{}
besitze. Zeige, dass
\mathdisp {f \circ \varphi} { }
in $P$ ein lokales Extremum besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{.} Zeige, dass eine von $0$ verschiedene \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {f} {V} {\R } {} keine \definitionsverweis {lokalen Extrema}{}{} besitzt. Gilt dies auch für unendlichdimensionale Vektorräume? Braucht man dazu Differentialrechnung?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $f$ ein Polynom in zwei Variablen der Bauart
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x,y)
}
{ =} { x^2+y^2 + \sum_{(r_1,r_2) \in \N^2,\, r_1+r_2 \geq 3} a_{(r_1,r_2)} x^{r_1}y^{r_2}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige ohne Differentialrechnung, dass $f$ im Nullpunkt ein
\definitionsverweis {isoliertes lokales Minimum}{}{}
besitzt. Bestimme in Abhängigkeit der Koeffizienten $a_{(r_1,r_2)}$ ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass die Einschränkung von $f$ auf $U { \left( 0,\epsilon \right) }$ außerhalb des Nullpunktes echt positiv ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{5}
{
Wir wollen die
Kettenregel
anhand der beiden Abbildungen
\maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb K} ^2 } { {\mathbb K}^3
} {(u,v)} {(uv,u-v,v^2)
} {,}
und
\maabbeledisp {\psi} { {\mathbb K}^3} { {\mathbb K}^2
} {(x,y,z)} {(xyz^2,y \exp(xz))
} {,}
und ihrer Komposition
\mathl{\psi \circ \varphi}{} veranschaulichen.
\aufzaehlungfuenf{Berechne für einen beliebigen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{ {\mathbb K}^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das
\definitionsverweis {totale Differential}{}{}
\mathl{\left(D\varphi\right)_{P}}{} mit Hilfe von
\definitionsverweis {partiellen Ableitungen}{}{.}
}{Berechne für einen beliebigen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ \in }{ {\mathbb K}^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das totale Differential
\mathl{\left(D\psi\right)_{Q}}{} mit Hilfe von partiellen Ableitungen.
}{Berechne explizit die Komposition
\maabb {\psi \circ \varphi} { {\mathbb K}^2} { {\mathbb K}^2
} {.}
}{Berechne direkt mit partiellen Ableitungen in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{ {\mathbb K}^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das totale Differential von
\maabb {\psi \circ \varphi} { {\mathbb K}^2} { {\mathbb K}^2
} {.}
}{Berechne das totale Differential von
\maabb {\psi \circ \varphi} { {\mathbb K}^2} { {\mathbb K}^2
} {}
in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{ {\mathbb K}^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit Hilfe der Kettenregel und den Teilen (1) und (2).
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{8}
{
Wir betrachten die Funktionen
\mathdisp {\R^2 \stackrel{f}{\longrightarrow} \R^3 \stackrel{g}{\longrightarrow} \R^2 \stackrel{h}{\longrightarrow} \R^2} { }
mit
\mathdisp {f(u,v) = (u^2,uv,u-v^2)} { , }
\mathdisp {g(x,y,z) = (x+y^2-z,x^2yz)} { , }
und
\mathdisp {h(r,s) = (r^2s,s^2)} { . }
Berechne das
\definitionsverweis {totale Differential}{}{}
von
\mathl{h \circ g \circ f}{} in einem beliebigen Punkt
\mathl{P=(u,v)}{} auf vier verschiedene Arten.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Untersuche die Abbildung \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {f(x,y) = \begin{cases} { \frac{ xy }{ \sqrt{x^2+y^2} } } \text{ bei } (x,y) \neq (0,0) \, , \\ 0 \text{ bei } (x,y) = (0,0) \, , \end{cases} } {} auf \definitionsverweis {partielle Ableitungen}{}{} und \definitionsverweis {totale Differenzierbarkeit}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei \maabbdisp {f} {\R^n} {\R^m \setminus \{ 0\} } {} eine \definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{.} Zeige, dass dann auch die Abbildung \maabbeledisp {} {\R^n} {\R } {P} { \Vert {f(P)} \Vert } {,} differenzierbar ist und bestimme das \definitionsverweis {totale Differential}{}{} davon.
}
{} {}
\inputaufgabe
{10}
{
Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {differenzierbare Kurve}{}{} \maabbdisp {\varphi} { \R} { \R^n } {} und eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{} \maabbdisp {f} {\R^n} {\R } {,} für die die \definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{} in jede Richtung existiert, derart, dass die Verknüpfung \maabbdisp {f \circ \varphi} {\R} {\R } {} nicht differenzierbar ist.
}
{} {}