Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 47/latex
\setcounter{section}{47}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} von
\definitionsverweis {endlicher Dimension}{}{.}
Zeige, dass der
\definitionsverweis {Dualraum}{}{}
\mathl{{ V }^{ * }}{} die gleiche Dimension wie $V$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
$V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektor\-raum}{}{} mit
\definitionsverweis {Basis}{}{}
$\mathfrak{ v }= v_1 , \ldots , v_n$. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { V }^{ * }
}
{ \defeq} {\operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , K \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Dualraum}{}{}
zu $V$. Zeige, dass auf ${ V }^{ * }$ die
\definitionsverweis {Koordinatenfunktionen}{}{}
$v^*_1 , \ldots , v^*_n$, die durch
\mathdisp {v_j^* (v_k) = \begin{cases} 1, \text{ falls } j=k , \\ 0 \text{ sonst} , \end{cases}} { }
definiert sind, eine Basis von ${ V }^{ * }$ bilden.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die
\definitionsverweis {Linearform}{}{}
\maabbeledisp {L} {\R^3} {\R
} {(x,y,z)} {x+3y-4z
} {.}
\aufzaehlungzwei {Bestimme den Vektor
\mathl{u \in \R^3}{} mit der Eigenschaft
\mathdisp {\left\langle u , v \right\rangle = L(v) \text { für alle } v \in \R^3} { , }
wobei
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} das
\definitionsverweis {Standardskalarprodukt}{}{}
bezeichnet.
} {Es sei
\mathdisp {E= { \left\{ (x,y,z) \mid 3x-2y-5z = 0 \right\} } \subset \R^3} { }
und es sei
\mathl{\varphi=L {{|}}_E}{} die
\definitionsverweis {Einschränkung}{}{}
von $L$ auf $E$. Bestimme den Vektor
\mathl{w \in E}{} mit der Eigenschaft
\mathdisp {\left\langle w , v \right\rangle = \varphi (v) \text { für alle } v \in E} { , }
wobei
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} die Einschränkung des Standardskalarprodukts auf $E$ bezeichnet.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass ein \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{} eine \definitionsverweis {nicht-ausgeartete}{}{} \definitionsverweis {Bilinearform}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{,}
der mit dem induzierten Skalarprodukt versehen sei. Es sei
\maabbdisp {f} {V} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {Linearform}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der zugehörige Gradient im Sinne von
Lemma 47.5.
Zeige, dass der Gradient
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zur Einschränkung
\mathl{f {{|}}_U}{} die
\definitionsverweis {orthogonale Projektion}{}{}
von $v$ auf $U$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{.} Zeige, dass eine von $0$ verschiedene \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {f} {V} {\R } {} keine \definitionsverweis {lokalen Extrema}{}{} besitzt. Gilt dies auch für unendlichdimensionale Vektorräume? Braucht man dazu Differentialrechnung?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne den
\definitionsverweis {Gradienten}{}{}
der Funktion
\maabbeledisp {f} {\R^3} {\R
} {(x,y,z)} {x^2y-z^3xe^{xyz}
} {,}
in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ \R^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne den
\definitionsverweis {Gradienten}{}{}
der Funktion
\maabbeledisp {f} {G} {\R
} {(x,y,z)} { { \frac{ xyz-z^2 }{ \ln (xy) +z^2 } }
} {,}
in jedem Punkt
\mathl{P \in G}{} mit
\mathl{G=\R_{> 1} \times \R_{> 1} \times \R}{}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $(V, \left\langle - , - \right\rangle)$ ein
\definitionsverweis {euklidischer}{}{}
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{,}
\mathl{G \subseteq V}{} eine
\definitionsverweis {offene Menge}{}{,}
\mathl{P \in G}{} ein Punkt und
\maabbdisp {f} {G} {\R
} {}
eine in $P$
\definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{.}
Zeige, dass
\mathkor {} {f} {und} {\left(Df\right)_{P}} {}
im Punkt $P$ den gleichen
\definitionsverweis {Gradienten}{}{}
besitzen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten Dreiecke mit den beiden fixierten Eckpunkten
\mathkor {} {(-1,0)} {und} {(1,0)} {}
und dem variablen Eckpunkt
\mathl{(x,y)}{.}
\aufzaehlungvier{Erstelle eine Formel für den Flächeninhalt des Dreieckes mit den Eckpunkten
\mathl{(-1,0), (1,0), (x,y)}{.}
}{Erstelle eine Formel für den Umfang des Dreieckes mit den Eckpunkten
\mathl{(-1,0), (1,0), (x,y)}{.}
}{In welche Richtung muss man den dritten Punkt
\mathl{(x,y)}{} bewegen, damit der Flächeninhalt möglichst schnell wächst?
}{In welche Richtung muss man den dritten Punkt
\mathl{(x,y)}{} bewegen, damit der Umfang möglichst schnell wächst?
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten ein Ballspiel, bei dem das Tor durch die Eckpfosten
\mathkor {} {(-1,0)} {und} {(1,0)} {}
gegeben ist. Der Ball
\zusatzklammer {bzw. der ballführende Spieler} {} {}
befindet sich in der variablen Position
\mathl{(x,y)}{.} Die Wahrscheinlichkeit, von einer bestimmten Position aus ein Tor zu erzielen, hänge direkt vom Winkel
\zusatzklammer {Torschusswinkel} {} {}
ab, der das Dreieck
\mathl{(-1,0), (1,0), (x,y)}{} im Punkt $(x,y)$ besitzt
\zusatzklammer {man denke an die Situation, wo der Spieler allein vor dem leeren Tor steht und es allein auf die Zielgenauigkeit ankommt} {} {.}
\aufzaehlungdrei{Erstelle eine Formel für den Torschusswinkel in Abhängigkeit von der Ballposition $(x,y)$.
}{Skizziere die Menge der Punkte, für die der Toreinschusswinkel gleich $90$ Grad ist.
}{In welche Richtung muss der Ball bewegt werden, damit der Torschusswinkel möglichst schnell wächst?
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $(V, \left\langle - , - \right\rangle)$ ein
\definitionsverweis {euklidischer}{}{}
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{,}
\mathl{G \subseteq V}{} eine
\definitionsverweis {offene Menge}{}{,}
\mathl{P \in G}{} ein Punkt und
\maabbdisp {f} {G} {\R
} {}
eine in $P$
\definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{.}
Zeige, dass ein Vektor
\mathl{v \in V}{} genau dann zum
\definitionsverweis {Kern}{}{}
von
\mathl{\left(Df\right)_{P}}{} gehört, wenn er
\definitionsverweis {orthogonal}{}{}
zum
\definitionsverweis {Gradienten}{}{}
\mathl{\operatorname{Grad} \, f ( P )}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {kritischen Punkte}{}{} der Funktion \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {x^2+y^2 } {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {kritischen Punkte}{}{} der Funktion \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {xy^2-x } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {kritischen Punkte}{}{} der Funktion \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {x^2y-y^2+x } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {L} {und} {M} {} Mengen und
\mathl{L \times M}{} ihre
\definitionsverweis {Produktmenge}{}{.}
Beschreibe die
\definitionsverweis {Faser}{}{} der
\definitionsverweis {Projektion}{}{}
\maabbeledisp {} {L\times M} {M
} {(x,y)} {y
} {,} über einem Punkt
\mathl{y \in M}{.} Kann die Faser leer sein?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Seien
\mathkor {} {L_1 , \ldots , L_n} {und} {M_1 , \ldots , M_n} {}
Mengen und seien
\maabbdisp {\varphi_i} {L_i} {M_i
} {}
\definitionsverweis {Abbildungen}{}{.}
Zu einem Punkt
\mathl{P_i \in M_i}{} sei
\mathl{F_i \subseteq L_i}{} die
\definitionsverweis {Faser}{}{} von $\varphi_i$ über $P_i$. Zeige, dass die Faser der
\definitionsverweis {Produktabbildung}{}{}
\mathl{\varphi= \varphi_1 \times \cdots \times \varphi_n}{} über
\mathl{P=(P_1 , \ldots , P_n )}{} gleich
\mathl{F_1 \times \cdots \times F_n}{} ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Berechne den Anstieg der Funktion
\maabbeledisp {f} {\R^2} {\R
} {(x,y)} {x^2y-x+y^3
} {,}
im Punkt
\mathl{P=(1,1)}{} in Richtung des Winkels
\mathl{\alpha \in [0, 2 \pi]}{.} Für welchen Winkel ist der Anstieg maximal?
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Betrachte die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\maabbeledisp {f} {\R^3} {\R
} {(x,y,z)} {x+ \sin \left( y \right)-xz
} {.}
\aufzaehlungdrei{Bestimme den
\definitionsverweis {Gradienten}{}{}
$G$ von $f$ im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ (0,0,0)
}
{ \in }{ \R^3
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bezüglich des
\definitionsverweis {Standardskalarprodukts}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.}
}{Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ E
}
{ =} { { \left\{ (x,y,z) \mid 2x-y+3z = 0 \right\} }
}
{ \subseteq} { \R^3
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ = }{ f {{|}}_E
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Einschränkung}{}{}
von $f$ auf $E$. Bestimme den Gradienten $\tilde{G}$ von
\mathl{g}{} bezüglich der Einschränkung des Standardskalarprodukts auf $E$.
}{Zeige, dass $\tilde{G}$ die
\definitionsverweis {orthogonale Projektion}{}{}
von $G$ auf $E$ ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme die \definitionsverweis {kritischen Punkte}{}{} der Funktion \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {xy^3-xy+ \sin y } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {kritischen Punkte}{}{}
zur Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x,y)
}
{ =} {x^4+y^4+2x^2y^2-6y^3-6x^2y+8y^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
aus
Beispiel 46.9.
}
{} {}