Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 52/latex
\setcounter{section}{52}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
Mit diffeomorph ist im Folgenden stets $C^1$-diffeomorph gemeint.
\inputaufgabe
{}
{
Definiere explizit einen
\definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{} zwischen $\R^n$ und einer offenen Kugel
\mathl{U { \left( 0,r \right) } \subseteq \R^n}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass eine offene Kreisscheibe
\mathl{U { \left( P,r \right) } \subseteq \R^2}{}
\zusatzklammer {\mathlk{r >0}{}} {} {}
und ein offenes Rechteck
\mathl{]a,b[ \times ]c,d[}{}
\zusatzklammer {\mathlk{b >a, d>c}{}} {} {}
\definitionsverweis {diffeomorph}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige die folgenden Aussagen. \aufzaehlungvier{Die Identität ist ein Diffeomorphismus. }{Eine lineare bijektive Abbildung ist ein Diffeomorphismus. }{Die Umkehrabbildung eines Diffeomorphismus ist wieder ein Diffeomorphismus. }{Die Hintereinanderschaltung von Diffeomorphismen ist ein Diffeomorphismus. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathl{U_1 \subseteq V_1}{,}
\mathl{U_2 \subseteq V_2}{,}
\mathl{U_3 \subseteq V_3}{,} und
\mathl{U_4 \subseteq V_4}{}
\definitionsverweis {offene Teilmengen}{}{}
in reellen endlichdimensionalen Vektorräumen. Es seien
\maabbdisp {\varphi} { U_1} {U_3
} {}
und
\maabbdisp {\psi} {U_2} {U_4
} {}
$C^1$-\definitionsverweis {Diffeomorphismen}{}{.}
Zeige, dass auch die
\definitionsverweis {Produktabbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi \times \psi} {U_1 \times U_3} {U_2 \times U_4
} {}
ein $C^1$-Diffeomorphismus ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U_1
}
{ =} { { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid x>y \right\} }
}
{ \subseteq} {\R^2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U_2
}
{ =} { { \left\{ (u,v) \in \R^2 \mid u^2 > 4v \right\} }
}
{ \subseteq} {\R^2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
a) Skizziere
\mathkor {} {U_1} {und} {U_2} {.}
b) Zeige, dass \mathkor {} {U_1} {und} {U_2} {} \definitionsverweis {offen}{}{} sind.
c) Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {U_1} {U_2 } {(x,y)} { (x+y,xy) } {,} ein \definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {regulären Punkte}{}{}
der
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R^2
} {(x,y)} {(x^2y,x- \sin y )
} {.}
Zeige, dass $\varphi$ in
\mathl{P=(1,0)}{} regulär ist und bestimme das
\definitionsverweis {totale Differential}{}{}
der
\definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{}
von $\varphi |_U$ in $\varphi(P)$, wobei $U$ eine offene Umgebung von $P$ sei
\zusatzklammer {die nicht explizit angegeben werden muss} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Man gebe für jedes
\mathl{n \in \N_+}{} eine bijektive,
\definitionsverweis {total differenzierbare}{}{}
Abbildung
\maabbdisp {\varphi_n} {\R^n} {\R^n
} {}
an, für die das totale Differential in mindestens einem Punkt nicht
\definitionsverweis {regulär}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathl{U,V,W}{}
\definitionsverweis {euklidische Vektorräume}{}{}
und seien
\mathkor {} {\varphi:U \longrightarrow V} {und} {\psi:V \longrightarrow W} {}
\definitionsverweis {differenzierbare Abbildungen}{}{.}
Es sei $\varphi$
\definitionsverweis {regulär}{}{}
in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $\psi$ regulär in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ = }{\varphi(P)
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Ist dann
\mathl{\psi \circ \varphi}{} regulär in $P$? Unter welchen Voraussetzungen stimmt dies?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Das \definitionsverweis {komplexe}{}{} Quadrieren \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {z} {z^2 } {,} kann man reell als \maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R^2 } { x+{ \mathrm i}y = (x,y)} {(x+ { \mathrm i} y)^2 = x^2-y^2 +2{ \mathrm i}xy = (x^2-y^2,2xy) } {,} schreiben. Untersuche $\varphi$ auf \definitionsverweis {reguläre Punkte}{}{.} Auf welchen \zusatzklammer {möglichst großen} {} {} offenen Teilmengen ist $\varphi$ \definitionsverweis {umkehrbar}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde möglichst große offene Teilmengen
\mathl{G \subseteq {\mathbb C} \cong \R^2}{} und
\mathl{H \subseteq {\mathbb C}}{} derart, dass die Abbildung
\maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C}
} {z} {z^3
} {,}
einen
\definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{} von $G$ nach $H$ induziert.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} { \R \setminus \{0\} \times \R } {\R^2 } {(x,y)} {\left( { \frac{ y^2 }{ x } } , \, { \frac{ y^3 }{ x^2 } } \right) } {.}
a) Bestimme die regulären Punkte der Abbildung $\varphi$.
b) Zeige, dass $\varphi$ in
\mathl{P=(1,2)}{} lokal eine differenzierbare Umkehrabbildung
\mathl{\psi= \varphi^{-1}}{} besitzt, und bestimme das totale Differential von $\psi$ im Punkt
\mathl{\varphi(P)}{.}
c) Man gebe alle Punkte
\mathl{Q \in \R \setminus \{0\} \times \R}{} an, in denen $\varphi$ nicht lokal invertierbar ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Transformation \maabbeledisp {} {[0,2 \pi] \times [0,1]} { B \left( 0,1 \right) } {(\alpha,w)} {( \sqrt{w} \cos \alpha, \sqrt{w} \sin \alpha) } {,} auf geeigneten offenen Teilmengen ein \definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{} ist und berechne die \definitionsverweis {Jacobi-Determinante}{}{} in jedem Punkt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathl{P_1 , \ldots , P_n}{} und
\mathl{Q_1 , \ldots , Q_n}{} Punkte in der Ebene $\R^2$. Zeige, dass die beiden offenen Mengen
\mathl{U=\R^2 \setminus \{P_1 , \ldots , P_n\}}{} und
\mathl{V=\R^2 \setminus \{Q_1 , \ldots , Q_n\}}{} zueinander
\definitionsverweis {diffeomorph}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{T
}
{ =} { { \left\{ { \frac{ 1 }{ n } } \mid n \in \N_+ \right\} } \cup \{0\}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U
}
{ =} {\R \setminus T
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} {\R \setminus \N
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\mathkor {} {U} {und} {V} {}
zueinander
\definitionsverweis {diffeomorph}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{T
}
{ =} { { \left\{ \left( { \frac{ 1 }{ n } },0 \right) \mid n \in \N_+ \right\} } \cup \{(0,0)\}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U
}
{ =} {\R^2 \setminus T
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} {\R^2 \setminus \N
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\mathkor {} {U} {und} {V} {}
zueinander nicht
\definitionsverweis {homöomorph}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {\R^6} {\R^4 } {(a,b,c,d,u,v)} {(au+bv+c+d,ad-bc,ac-b^2,bd-c^2) } {.}
a) Bestimme die Jacobi-Matrix zu dieser Abbildung.
b) Zeige, dass $\varphi$ im Nullpunkt nicht regulär ist.
c) Zeige, dass $\varphi$ in
\mathl{(1,1,0,0,1,1)}{} regulär ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die Abbildung
\maabbeledisp {F} {\R^3} {\R^3
} {(x,y,z)} {(x+y+z,xy+xz+yz,xyz)
} {.}
Zeige, dass ein Punkt
\mathl{P=(x,y,z)}{} genau dann ein
\definitionsverweis {regulärer Punkt}{}{}
von $F$ ist, wenn die Koordinaten von $P$ paarweise verschieden
\zusatzklammer {also $x \neq y$, $x \neq z$ und
\mathl{y \neq z}{}} {} {} sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mathl{G \subseteq \R^n}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {G} {\R^n
} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{}
Abbildung. Zeige, dass die Menge der
\definitionsverweis {regulären Punkte}{}{}
von $\varphi$ offen ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {\R^2 \setminus \{ (0,0) \} } {\R^2 \setminus \{ (0,0) \} } {(u,v)} { \left( { \frac{ -u }{ u^2+v^2 } } , \, { \frac{ -v }{ u^2+v^2 } } \right) } {,} ein \definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
endlichdimensionale reelle Vektorräume,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U'
}
{ \subseteq }{W
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offene Teilmengen}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {U} {U'
} {}
ein
\definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{.}
Es sei
\maabbeledisp {F} {I \times U} {V
} {(t,x)} {F(t,x)
} {,}
ein
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{}
auf $U$. Es sei $G$ das durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G(t,y)
}
{ \defeq} { { \left( D \varphi \right) }_{ \varphi^{-1}(y)} { \left( F(t, \varphi^{-1} (y)) \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definierte Vektorfeld auf $U'$. Zeige, dass
\maabbdisp {\alpha} {J} {U
} {}
genau dann eine
\definitionsverweis {Lösung des Anfangswertproblems}{}{}
\mathdisp {x' = F(t,x) \text{ mit } x(t_0)=x_0} { , }
wenn
\mathl{\varphi \circ \alpha}{} eine Lösung des Anfangswertproblems
\mathdisp {y' = G(t,y) \text{ mit } y(t_0)= \varphi( x_0)} { }
ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{5}
{
Betrachte die
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\varphi} {\R^3} {\R^3
} {(x,y,z)} {(x+y+z,xy+xz+yz,xyz)
} {.}
Zeige, dass ein Punkt
\mathl{(x,y,z)}{} genau dann ein
\definitionsverweis {kritischer Punkt}{}{}
von $\varphi$ ist, wenn in
\mathl{(x,y,z)}{} zwei Zahlen doppelt vorkommen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Betrachte die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {\R^3} {\R^2 } {(x,y,z)} {(x^2-y^2z,y+ \sin xz ) } {.} Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {kritischen Punkte}{}{} von $\varphi$ eine Gerade umfasst, aber auch noch weitere \zusatzklammer {mindestens einen} {} {} Punkte enthält.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Wir betrachten die Abbildung
\maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R^2
} {(x,y)} {(x,xy)
} {.}
Bestimme die
\definitionsverweis {regulären Punkte}{}{,}
die
\definitionsverweis {Fasern}{}{
\zusatzklammer {also die Urbilder zu einem Punkt
\mathl{(u,v) \in \R^2}{}} {} {},}
das
\definitionsverweis {Bild}{}{}
und das Bild aller regulären Punkte dieser Abbildung. Man gebe möglichst große offene Mengen
\mathl{U_1 , U_2 \subseteq \R^2}{} derart an, dass
\maabbdisp {\varphi {{|}}_{U_1}} {U_1} {U_2
} {}
ein
\definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es seien
\mathl{U_1,U_2 \subseteq \R^k}{} und
\mathl{V_1,V_2 \subseteq \R^n}{}
\definitionsverweis {offene Teilmengen}{}{} mit
\mathl{0 \in V_1,V_2}{} und es sei
\maabbdisp {\varphi} {U_1 \times V_1} {U_2 \times V_2
} {}
ein
\definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{,} der eine
\definitionsverweis {Bijektion}{}{} zwischen
\mathkor {} {U_1 \times \{0\}} {und} {U_2 \times \{0\}} {}
induziert. Zeige, dass dann auch die Einschränkung von $\varphi$ auf
\mathl{U_1 \cong U_1 \times \{0\}}{} nach
\mathl{U_2 \cong U_2 \times \{0\}}{} ein Diffeomorphismus ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Beschreibe das komplexe Potenzieren \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {z} {z^n } {,} in \definitionsverweis {Polarkoordinaten}{}{.}
}
{} {}