Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 55/latex
\setcounter{section}{55}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {offenes Intervall}{}{}
und sei
\maabbdisp {\gamma} {I} { \R^n
} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Kurve}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma'(t)
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige auf zweifache Weise, dass es ein offenes Intervall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \in }{ J
}
{ \subseteq }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass $\gamma {{|}}_J$
\definitionsverweis {injektiv}{}{}
ist.
\aufzaehlungzwei {Mit
dem Satz über die injektive Abbildung.
} {Direkt.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Betrachte die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R^3 } {(s,t)} { (s, -s-t^2, t^3) = (x,y,z) } {.}
a) Erstelle die \definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{} von $\varphi$.
b) Bestimme die
\definitionsverweis {regulären Punkte}{}{}
\mathl{(s,t)}{} von $\varphi$.
c) Zeige, dass
\mathl{\varphi(s,t)}{} die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (x+y)^3+z^2
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllt.
d) Zeige, dass die Abbildung injektiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U
}
{ =} {(\R_+ \times \R ) \setminus \{(2,4), (4,2) \}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Begründe, ob die Abbildung
\maabbeledisp {\varphi} {U} { \R^3
} {(x,y)} {(x+y,xy,x^y) = (u,v,w)
} {.}
injektiv ist oder nicht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {reelles Intervall}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Menge}{}{}
und
\maabbeledisp {f} {I\times U} {V
} {(t,v)} {f(t,v)
} {,}
ein
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{}
auf $U$. Zeige die folgenden Aussagen.
a) Wenn $f$ \zusatzklammer {als Abbildung} {} {} \definitionsverweis {Lipschitz-stetig}{}{} ist, so genügt das Vektorfeld einer \definitionsverweis {Lipschitz-Bedingung}{}{.}
b) Wenn das Vektorfeld einer Lipschitz-Bedingung genügt, so sind für jedes feste
\mathl{t \in I}{} die Abbildungen
\maabbeledisp {} {U} {V
} {v} {f(t,v)
} {,}
Lipschitz-stetig.
c) Man gebe Beispiele, die zeigen, dass die Implikationen aus a) und b) nicht umkehrbar sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { { \left\{ f:[0,1] \rightarrow \R \mid \text{unendlich oft differenzierbar} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
versehen mit der durch die
\definitionsverweis {Supremumsnorm}{}{}
gegebenen Metrik. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
\maabbeledisp {} {M} {M
} {f} {f'
} {,}
keine
\definitionsverweis {starke Kontraktion}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{}
und sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
in $M$, die gegen $x \in M$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
Es sei $T$ eine Menge und es seien
\maabbeledisp {f_n} {T} {M
} {t} {f_n(t) = x_n
} {,}
die zu $x_n$ gehörenden
\definitionsverweis {konstanten Funktionen}{}{.}
Zeige, dass die Funktionenfolge ${ \left( f_n \right) }_{n \in \N }$
\definitionsverweis {gleichmäßig}{}{}
gegen die konstante Funktion
\maabbeledisp {f} {T} {M
} {t} {f(t) = x
} {,}
konvergiert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $T$ eine \definitionsverweis {endliche}{}{} Menge und \maabbdisp {f_n} {T} {X } {} eine \definitionsverweis {Abbildungsfolge}{}{} in einen \definitionsverweis {metrischen Raum}{}{} $X$. Zeige, dass diese Folge genau dann \definitionsverweis {punktweise konvergiert}{}{,} wenn sie \definitionsverweis {gleichmäßig konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{(Y,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge. Es sei $T \subseteq \tilde{T} \subseteq \overline{ T }$ und
\maabbdisp {g_n} {\tilde{T} } { {\mathbb K}
} {}
eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
von
\definitionsverweis {stetigen Funktionen}{}{.}
Zeige, dass diese Folge genau dann
\definitionsverweis {gleichmäßig konvergiert}{}{,}
wenn die auf $T$
\definitionsverweis {eingeschränkte}{}{}
Folge $f_n=g_n {{|}} _T$ gleichmäßig konvergiert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $T$ eine Menge und $E$ ein
\definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{ \operatorname{Abb} \,(T,E)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
versehen mit der
\definitionsverweis {Supremumsnorm}{}{.}
Beweise die folgenden Eigenschaften für diese \anfuehrung{Norm}{}
\zusatzklammer {dabei ist der Wert $\infty$ erlaubt und sinnvoll zu interpretieren} {} {.}
\aufzaehlungvier{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {f} \Vert
}
{ \geq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {f} \Vert
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {\lambda f} \Vert
}
{ =} { \betrag { \lambda } \cdot \Vert {f} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g,f
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {g+f} \Vert
}
{ \leq} { \Vert {g} \Vert + \Vert {f} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathdisp {C=C^0([0,1], \R)} { }
die Menge der
\definitionsverweis {stetigen Funktionen}{}{,}
die mit der
\definitionsverweis {Supremumsnorm}{}{}
versehen sei. Skizziere zu $\epsilon>0$ die offene und die abgeschlossene $\epsilon$-Umgebung von einem
\mathl{f \in C}{.}
}
{} {}
Es sei $V$ ein
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\Vert {-} \Vert} {V} {\R
} {v} { \Vert {v} \Vert
} {,}
heißt
\definitionswort {Norm}{,}
wenn die folgenden Eigenschaften gelten.
\aufzaehlungvier{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {v} \Vert
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {v} \Vert
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ \in }{ {\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {\lambda v} \Vert
}
{ =} { \betrag { \lambda } \cdot \Vert {v} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v,w
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {v+w} \Vert
}
{ \leq} { \Vert {v} \Vert + \Vert {w} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
Die Norm zu einem Skalarprodukt erfüllt diese Eigenschaften.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $T$ eine Menge und $E$ ein
\definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{.}
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { { \left\{ f:T \rightarrow E \mid \Vert {f} \Vert_T < \infty \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Menge der beschränkten
\definitionsverweis {Abbildungen}{}{}
von $T$ nach $E$. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Supremumsnorm}{}{}
auf $M$ eine
\definitionsverweis {Norm}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass ein
\definitionsverweis {normierter}{}{}
$\R$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d(u,v)
}
{ \defeq} { \Vert {u-v} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zu einem
\definitionsverweis {metrischen Raum}{}{}
wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $T$ eine Menge, $E$ ein
\definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { { \left\{ f:T \rightarrow E \mid \Vert {f} \Vert_T < \infty \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Menge der beschränkten
\definitionsverweis {Abbildungen}{}{}
von $T$ nach $E$. Zeige, dass eine Folge
\mathl{{ \left( f_n \right) }_{n \in \N }}{} aus $M$ genau dann gegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {gleichmäßig konvergiert}{}{,}
wenn diese Folge im durch die
\definitionsverweis {Supremumsnorm}{}{}
gegebenen
\definitionsverweis {metrischen Raum}{}{}
$M$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei
\maabbdisp {\gamma} {[a,b]} {\R^n
} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{}
\definitionsverweis {reguläre Kurve}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Faser}{}{}
über jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
endlich ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Es sei
\mathl{G \subseteq \R^m}{} offen und
\maabbdisp {\varphi} {G} {\R^n
} {}
eine in $P \in G$
\definitionsverweis {total differenzierbare Abbildung}{}{}
mit
\definitionsverweis {injektivem}{}{}
\definitionsverweis {totalen Differential}{}{.}
Zeige, dass es eine
\definitionsverweis {offene Umgebung}{}{}
$U$ von $P$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi^{-1}(\varphi(P)) \cap U
}
{ = }{ \{P\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {Tipp: Betrachte das totale Differential auf der Einheitssphäre. Der Satz über die injektive Abbildung ist hier nicht anwendbar.}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $T \subseteq \R^n$ eine
\definitionsverweis {kompakte Teilmenge}{}{}
und $E$ ein
\definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{.}
Es sei
\mathl{C= C^0 (T,E)}{} der Raum der stetigen Abbildungen von $T$ nach $E$, versehen mit der
\definitionsverweis {Supremumsnorm}{}{.}
Es seien
\mathl{x_1 , \ldots , x_n \in T}{} und
\mathl{y_1 , \ldots , y_n \in E}{} Punkte. Zeige, dass die Teilmenge
\mathdisp {{ \left\{ f \in C \mid f(x_1) = y_1 , \ldots , f(x_n) = y_n \right\} }} { }
\definitionsverweis {abgeschlossen}{}{}
in $C$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mathl{M_k=({(a_{ij} })_k)_{1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n}}{} eine Folge von reellen
\mathl{m\times n}{-}Matrizen und
\maabbdisp {\varphi_k} {\R^n} {\R^m
} {}
die zugehörige Folge von linearen Abbildungen. Zeige, dass die Folgen der Einträge
\mathl{({a_{ij} })_k}{} für alle
\mathl{i,j}{} genau dann konvergieren, wenn die Folge der Abbildungen
\definitionsverweis {punktweise konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $T$ eine Menge und
\maabbdisp {f_n} {T} {\R^m
} {}
eine Folge von Abbildungen. Zeige, dass $f_n$ genau dann gegen eine
\definitionsverweis {Grenzabbildung}{}{}
\maabbdisp {f} {T} {\R^m
} {}
\definitionsverweis {gleichmäßig konvergiert}{}{,}
wenn die
\definitionsverweis {Komponentenfunktionen}{}{}
\mathl{(f_i)_n}{}
\definitionsverweis {gleichmäßig}{}{}
gegen $f_i$ konvergieren.
}
{} {}