Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 56/latex
\setcounter{section}{56}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Finde eine Lösung
\maabb {v} {\R} {\R
} {}
für die Integralgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v(t)
}
{ =} { 1 + \int_0^t v(s) ds
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Finde eine Lösung
\maabb {v} {\R_+} {\R
} {}
für die Integralgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v(t)
}
{ =} { -1 + \int_1^t v(s)^2 ds
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Formuliere Eigenschaften für Differentialgleichungen wie zeitunabhängig, ortsunabhängig, getrennte Variablen, linear um für die zugehörigen Integralgleichungen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $L$ und $M$
\definitionsverweis {metrische Räume}{}{.}
Zeige, dass die Menge $C$ der
\definitionsverweis {stetigen Abbildungen}{}{}
von $L$ nach $M$ durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d(f,g)
}
{ \defeq} { {\min { \left( {\operatorname{sup} \, ( d(f(x), g(x)) ,x \in L ) } , 1 \right) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zu einem metrischen Raum wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $L$ und $M$
\definitionsverweis {metrische Räume}{}{,}
wobei $M$
\definitionsverweis {vollständig}{}{}
sei. Zeige, dass die Menge $C$ der stetigen Abbildungen von $L$ nach $M$ durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d(f,g)
}
{ \defeq} { {\min { \left( {\operatorname{sup} \, ( d(f(x), g(x)) ,x \in L ) } , 1 \right) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zu einem vollständigen metrischen Raum wird.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b
}
{ \geq} {1
}
{ \geq} {a
}
{ >} {0
}
{ } {
}
}
{}{}{}
fixiert und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { { \left\{ f: [a,b] \rightarrow [a,b] \mid f \text{ stetig} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
a) Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {H} {M} {M } {f} {H(f) = \sqrt{f} } {,} wohldefiniert ist.
b) Es sei nun zusätzlich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ > }{ { \frac{ 1 }{ 4 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Abbildung $H$ aus a) eine
\definitionsverweis {starke Kontraktion}{}{}
ist
\zusatzklammer {wobei $M$ mit der Maximumsnorm versehen sei} {} {.}
c) Zeige, dass $M$ durch die Maximumsnorm ein vollständiger metrischer Raum wird.
d) Bestimme den Fixpunkt von $H$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {I \times U} {V
} {}
ein
\definitionsverweis {stetiges}{}{}
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{,}
das auf einer
\definitionsverweis {offenen Menge}{}{}
\mathl{U \subseteq V}{} eines
\definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{}
\definitionsverweis {reellen Vektorraums}{}{}
definiert sei und
\definitionsverweis {lokal einer Lipschitz-Bedingung}{}{}
genüge. Es sei
\mathl{W \subseteq V}{} ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
mit der Eigenschaft, dass für alle
\mathl{t \in I}{} und
\mathl{P \in U \cap W}{} die Beziehung
\mathl{f(t,P) \in W}{} gilt. Zeige, dass eine
\definitionsverweis {Lösung des Anfangswertproblems}{}{}
\mathdisp {v'=f(t,v) \text{ mit } v(t_0)=w \in U \cap W} { }
ganz in $W$ verläuft.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Löse das Anfangswertproblem
\mathdisp {y^{\prime} = y+1 \text{ mit } y(0)=0} { . }
mit der
\definitionsverweis {Picard-Lindelöf-Iteration}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme für das Anfangswertproblem
\mathdisp {y^{\prime} = y \text{ mit } y(0)=1} { }
explizite Formeln für die
\definitionsverweis {Picard-Lindelöf-Iterationen}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme in Beispiel 56.5 eine explizite Formel für die Iterationen $\varphi_n$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die ersten drei Iterationen in der
\definitionsverweis {Picard-Lindelöf-Iteration}{}{}
für die
\definitionsverweis {gewöhnliche Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'
}
{ =} {y^2+t+yt^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit der Anfangsbedingung
\mathl{y(0)=0}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die ersten vier Iterationen in der
\definitionsverweis {Picard-Lindelöf-Iteration}{}{}
für die
\definitionsverweis {lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}'
}
{ =} { \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit der Anfangsbedingung
\mathkor {} {x(0)=2} {und} {y(0)=-7} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die ersten drei Iterationen in der
\definitionsverweis {Picard-Lindelöf-Iteration}{}{}
für die
\definitionsverweis {lineare gewöhnliche Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}'
}
{ =} { \begin{pmatrix} t & 3 \\ 1 & t \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit der Anfangsbedingung
\mathkor {} {x(0)= 0} {und} {y(0)=1} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die ersten vier Iterationen in der
\definitionsverweis {Picard-Lindelöf-Iteration}{}{}
für die
\definitionsverweis {lineare gewöhnliche Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}'
}
{ =} { \begin{pmatrix} -t & t^2 \\ 2 & t \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit der Anfangsbedingung
\mathkor {} {x(0)=1} {und} {y(0)=-1} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wogegen konvergiert die Picard-Lindelöf-Itertion in der Situation von Bemerkung 56.6, wenn $w$ ein \definitionsverweis {Eigenvektor}{}{} von $M$ ist?
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Wir betrachten das
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{}
\maabbeledisp {f} {\R \times \R^2} {\R^2
} {(t,u,v)} {(t^2uv,u^2-tv^2)
} {.}
Bestimme für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die nicht-\definitionsverweis {regulären}{}{}
Punkte des Vektorfeldes
\maabbeledisp {f_t} {\R^2} {\R^2
} {(u,v)} {(t^2uv,u^2-tv^2)
} {.}
Welche Ortspunkte sind zu keinem Zeitpunkt regulär?
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Löse das
\definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {v'=f(t,v) \text{ und } v(1)= (3,2,6)} { }
zum
\definitionsverweis {ortsunabhängigen Vektorfeld}{}{}
\maabbeledisp {f} {\R \times \R^3} {\R^3
} {(t,x,y,z)} { t^3(3,1,4)-e^{-2t}(2,-1,7)+(t-t^2 e^t )(0,4,5)+(2,2,2)
} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme die ersten vier Iterationen in der
\definitionsverweis {Picard-Lindelöf-Iteration}{}{}
für die
\definitionsverweis {lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}'
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit der Anfangsbedingung
\mathkor {} {x(0)=4} {und} {y(0)=5} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Bestimme die ersten vier Iterationen in der
\definitionsverweis {Picard-Lindelöf-Iteration}{}{}
für die
\definitionsverweis {lineare gewöhnliche Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}'
}
{ =} { \begin{pmatrix} t^2 & -1 \\ t & t^3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit der Anfangsbedingung
\mathkor {} {x(0)=1} {und} {y(0)=1} {.}
}
{} {}