Kurs:Analysis 1 (TU Dortmund)/§2 Vollständigkeit

2.1. Schranken

Sei $M\subseteq \mathbb {R} ,M\not =\emptyset$

$k\in \mathbb {R}$ heisst obere Schranke von $M$, wenn $x\leq k$ für alle $x\in M$ gilt.

$k\in \mathbb {R}$ heisst untere Schranke von $M$, wenn $x\geq k$ für alle $x\in M$ gilt.

Falls eine obere (untere) Schranke existiert, so heisst $M$ nach oben (nach unten) beschränkt.

$M$ heisst beschränkt, wenn $M$ nach oben und nach unten beschränkt ist.

Beispiel

$M=\{x:\ x={\frac {1}{1+t}},\ t>0\}$

$M$ ist nach unten beschränkt, z.B. durch 0. $M$ ist nach oben beschränkt, z.B. durch 1.

2.2. Vollständigkeitsaxiom

Jede nach oben beschränkte Menge $M$ besitzt eine kleinste[größte] obere[untere] Schranke, das Supremum[Infimum] von M: sup M[inf M].

Bespiel (2.1): $\sup M=1:1$ ist obere Schranke

Annahme: $s=\sup M<1,\ \ t=1-s>0$

Hier fehlt noch etwas ...

2.3. Größte untere Schranke

Ist $M\subseteq R,\ M\neq \emptyset$, nach unten beschränkt, dann existiert die größte untere Schranke von $M$, das Infimum von M $(\inf M)$. Wenn inf $M\in M$, so heißt es Minimum $(\min M)$.

Beweis

Sei $M=\lbrace -x:\ x\in M\rbrace$ nach oben beschränkt.

$\sup M=-\inf M$

zu zeigen

$-\sup M$ ist die größte untere Schranke von $M$. (Übung)

Beispiel

$M=\lbrace x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}:\ x>0\rbrace$

Behauptung

$\inf M=2$

$x>0:$

$x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}-2=(x-{\frac {1}{x}})^{2}\geq 0$

$\Rightarrow 2$ ist eine untere Schranke

$x=1:$

$1^{2}+{\frac {1}{1^{2}}}=2\ \in M$

$\Rightarrow 2=\min M=\inf M$ .

2.8. Erweiterung von $\mathbb {R}$ durch $\infty ,-\infty$

Dieser Kurs gehört zum Fachbereich Mathematik.